無人直升機(jī)的自適應(yīng)動態(tài)面軌跡跟蹤控制*

賀躍幫 裴海龍 葉祥 張謙

(華南理工大學(xué) 自主系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)控制教育部重點實驗室，廣東 廣州 510640)

無人直升機(jī)具有懸停、垂直起降、機(jī)動靈活、體積小、成本低等優(yōu)點，在監(jiān)視、航拍、救災(zāi)、電力尋線等眾多領(lǐng)域引起了人們的廣泛關(guān)注.然而，無人直升機(jī)本身是一個非線性、強(qiáng)耦合、不穩(wěn)定的欠驅(qū)動系統(tǒng).因此，飛行控制器設(shè)計成為了一個很具有挑戰(zhàn)性的研究領(lǐng)域［1-2］.

近20 年來，許多控制方法已成功地應(yīng)用于無人直升機(jī)的自主控制.由于通過線性辨識技術(shù)很容易獲得懸停處的線性化模型［3］，因此線性控制器如PID［4］、線性二次型調(diào)節(jié)器/線性二次型高斯調(diào)節(jié)器(LQR/LQG)［5］、H∞［6］、μ 綜合［7］等得到了廣泛的應(yīng)用.然而，線性控制器只能保證懸停點附近的性能，當(dāng)飛行速度增加或機(jī)動飛行時，系統(tǒng)性能急劇下降甚至不穩(wěn)定.之后，很多研究人員開始嘗試將非線性控制方法應(yīng)用到直升機(jī)飛行控制中，如增益調(diào)度［8］、模型預(yù)測控制(MPC)［9］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［10］、反步法［11-13］等.其中反步法由于設(shè)計過程系統(tǒng)化，系統(tǒng)穩(wěn)定性和魯棒性也能得到保障，在最近幾年成為了研究的熱點.文獻(xiàn)［11］針對簡化的無人直升機(jī)系統(tǒng)，采用常規(guī)反步法控制器設(shè)計，獲得了一定的魯棒性能.文獻(xiàn)［12］在考慮直升機(jī)負(fù)載變化的情況下，采用自適應(yīng)積分反步法，獲得了質(zhì)量大范圍變化下的穩(wěn)定性能.文獻(xiàn)［13］針對無人直升機(jī)階數(shù)高、精確建模困難、外部干擾大等缺點，提出一種魯棒積分濾波反步法，解決了常規(guī)反步法計算量大、抗干擾能力不足、軌跡跟蹤效果差等問題.然而，常規(guī)反步法在遞推過程中需要不斷地對中間虛擬控制信號求導(dǎo)，對于無人直升機(jī)這種模型階數(shù)比較高的系統(tǒng)，其計算過程將變得非常繁瑣，雖然文獻(xiàn)［13］提出采用濾波器求導(dǎo)的方法可以簡化計算量，但是其在每步的設(shè)計過程中都要補(bǔ)償前步留下的控制誤差，因而造成各步之間相互耦合.當(dāng)控制器參數(shù)較小時，這種耦合就起主導(dǎo)作用，使得閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)對控制參數(shù)的調(diào)整不敏感.因此，反步法在無人直升機(jī)這種位置動態(tài)緩慢的系統(tǒng)中應(yīng)用時也無法滿足實際工程師對現(xiàn)場調(diào)參的需要.

針對反步法存在的微分”爆炸”和控制參數(shù)對閉環(huán)輸出響應(yīng)不敏感的問題，Swaroop 等［14］提出了動態(tài)面控制，克服了反步法控制技術(shù)的缺點.在此基礎(chǔ)上，眾多研究人員根據(jù)各種需求研究了動態(tài)面技術(shù)與自適應(yīng)技術(shù)［15］、魯棒技術(shù)［16］、智能技術(shù)［17］等各種先進(jìn)控制技術(shù)相結(jié)合的組合控制方法，并廣泛應(yīng)用于機(jī)器人和機(jī)械臂控制中［18-19］.

動態(tài)面控制技術(shù)解決了反步法設(shè)計過程中存在的微分“爆炸”問題，而且設(shè)計過程中每一步都無需補(bǔ)償前步遺留的控制誤差，因而不存在閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)對控制參數(shù)調(diào)整不敏感的問題.因此，文中設(shè)計了一種基于自適應(yīng)動態(tài)面法的無人直升機(jī)軌跡跟蹤控制方法.該方法簡化了控制器的設(shè)計過程，控制器參數(shù)的變化也顯著影響位置動態(tài)響應(yīng)，可極大地方便實際應(yīng)用工程師現(xiàn)場調(diào)參，同時通過自適應(yīng)律在線估計直升機(jī)重量，保證了閉環(huán)系統(tǒng)在大質(zhì)量變化下(有負(fù)載變化)的穩(wěn)定性和軌跡跟蹤性能.

1 無人直升機(jī)模型

無人直升機(jī)受到重力、空氣動力和驅(qū)動力的作用，可以視為在三維空間內(nèi)的剛體運動.設(shè)P =(x，y，z)T和V=(u，v，w)T分別為直升機(jī)質(zhì)心在慣性坐標(biāo)系下的位置矢量和速度矢量;ω=(p，q，r)T，為相對于機(jī)體坐標(biāo)系下的角速度矢量;m 為直升機(jī)質(zhì)量;Im∈R3×3，為直升機(jī)本身慣性矩陣.根據(jù)牛頓歐拉方程，可得無人直升機(jī)動態(tài)微分方程為

式中:姿態(tài)角向量η =(φ，θ，ψ)T，φ、θ、ψ 分別表示滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角;sk(ω)表示斜矩陣，

當(dāng)飛行速度不大時，所受合力F 和合力矩Γ 可簡化描述如下:

式中:g 表示重力加速度;Qmr和Qtr分別表示主旋翼和尾旋翼受到的反扭力矩;Tmr表示直升機(jī)升力控制量;uM=(Lmr，Mmr，Nmr)T∈R3，表示機(jī)體坐標(biāo)系下3 個方向的力矩控制量;e3=(0，0，1)T;K、G 為系數(shù)矩陣，可表示為

式中，hmr表示漿轂中心到質(zhì)心垂向距離，ltr表示尾旋翼中心到質(zhì)心距離，kβ表示主旋翼彈性系數(shù).

2 基于自適應(yīng)動態(tài)面的軌跡跟蹤控制

首先給出系統(tǒng)設(shè)計需滿足的假設(shè)條件.

假設(shè)1 期望軌跡Pd(t)充分光滑且Pd(t)∈Ωd，其中

假設(shè)2 期望航向角ψd充分光滑且ψd∈Ωψ，其中

對無人直升機(jī)飛行參考軌跡來說，以上兩條假設(shè)都成立，且常數(shù)ε0、ε1一般不大.

控制器的設(shè)計包括4 步.

步驟1 定義軌跡跟蹤誤差面矢量

求導(dǎo)并代入式(1)可得

其中k1為控制器參數(shù)，且k1＞0.

式中:1為濾波器的時間常數(shù)

步驟2 定義第2 個誤差面矢量s2=V-Vd，將s2對時間求導(dǎo)并代入式(1)可得

式中:2、d為濾波器的時間常數(shù)，均大于0;Xd(0)=

選擇升力控制量Tmr為

姿態(tài)角虛擬控制量ηd=(φd，θd，ψd)T，滿足

其中E=diag(1，1，0).

對直升機(jī)而言，Yd是小量，當(dāng)僅考慮(φd，θd)∈時，對給定的偏航角ψd，式(13)存在唯一解φd、θd.由于式(13)是一個二元非線性方程，因此φd、θd的求解非常復(fù)雜.為減小計算量，同時考慮當(dāng)R-R(ηd) 0 時，有η-ηd0，文中將R(ηd)作為虛擬控制量.

選擇自適應(yīng)律如下:

式中:γ1為自適應(yīng)控制參數(shù)，γ1＞0;mmax表示直升機(jī)滿載質(zhì)量;mmin表示直升機(jī)空載質(zhì)量.

步驟3 定義第3 個誤差面矢量

s3=E(R-R(ηd))TXd+e3(ψ- ψd)，并將s3對時間求導(dǎo)且代入式(1)、(13)可得

式中，N1=Esk(RTXd)+e3S，N2=E(RTd+d)-e3d.

定義

式中，ξ1、ξ2表示濾波誤差.則經(jīng)過一系列復(fù)雜計算，N1可描述成如下形式

求N1的行列式可得

比較式(18)和式(16)可得det(N1)≠0(即N1非奇異)的一個充分條件是

其中k3、3分別為控制器參數(shù)和濾波器時間常數(shù)，均大于0，ωd(0)=(0).

步驟4 定義第4 個誤差面矢量s4=ω- ωd，將s4對時間求導(dǎo)并代入式(1)可得

選擇控制輸入uM為

其中k4為控制參數(shù)，k4＞0.

3 穩(wěn)定性分析

定理1 在假設(shè)1 和假設(shè)2 成立的條件下，對給定的ki＞0(i=1，2，3，4)，γ1＞0，存在足夠大的 d和i(i=1，2，3)使得無人直升機(jī)系統(tǒng)(1)在控制律(12)、(22)以及自適應(yīng)律(14)的控制下，軌跡跟蹤誤差半全局一致最終有界，且適當(dāng)選取設(shè)計參數(shù)，跟蹤誤差可收斂到原點的一個小鄰域內(nèi).

證明 定義濾波誤差

對ξ1、ξd、ξ2以及ξ3求導(dǎo)并整理可得

控制器中4 個誤差面的導(dǎo)數(shù)可整理為

取李雅普諾夫函數(shù)

式中，i(i=1，2，3，4)為正數(shù).

對V 求導(dǎo)并代入式(24)、(25)，并整理可得

將自適應(yīng)律(14)代入上式，同時根據(jù)RTR =diag(1，1，1)，，以及Young’s 不等式，上式可整理成

式中:ρi(i=1，2，3)，σ 為正數(shù).

式中，Bi(i=1，2，…，5)為連續(xù)函數(shù).

定義緊集

其中ε2是可確定的常數(shù).

注意到Ω×Ωd×Ωψ也是緊集，其中Ωd、Ωψ是假設(shè)1 和2 中的緊集，^km有界(見自適應(yīng)律(14))，因此，Bi在集合Ω × Ωd× Ωψ內(nèi)存在最大值，記為Mi.同時取

式中，κ0為正數(shù).則有

注意到式(36)中對任意的控制器參數(shù)ki＞0(i=1，2，3，4)，都存在合適的參數(shù)i(i =1，2，3，4)、ρi(i =1，2，3)以及足夠大的參數(shù)i(i =1，2，3)和 d 使得κ0＞0，σ 任意小.

式(38)兩邊同乘e2κ0t，并從0 到t 積分得

根據(jù)分部積分法有

將式(40)代入式(39)，并兩邊同除e2κ0t，得

4 仿真結(jié)果

通過兩個仿真實驗驗證文中所提方法的有效性.第1 個仿真實驗檢驗閉環(huán)系統(tǒng)的懸停能力以及閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)是否對控制參數(shù)敏感.第2 個實驗檢驗閉環(huán)系統(tǒng)在受到干擾和質(zhì)量變化下的軌跡跟蹤能力.無人直升機(jī)模型相關(guān)參數(shù)見表1，自適應(yīng)動態(tài)面控制器參數(shù)見表2.

表1 無人直升機(jī)參數(shù)Table 1 Parameters of unmanned helicopter

表2 控制器參數(shù)Table 2 Controller parameters

4.1 懸停仿真

假設(shè)無人直升機(jī)初始位置Pd= (-1，-1，1)T(單位:m)，初始偏航角ψd=-90°，控制目標(biāo)是要求無人直升機(jī)懸停于原點.控制器參數(shù)選擇表2 中方案，并以同樣的參數(shù)設(shè)計反步法控制器.仿真結(jié)果如圖1、2 所示.

圖1 應(yīng)用動態(tài)面控制方法的無人直升機(jī)位置響應(yīng)Fig.1 Position responses of unmanned helicopter by use of dynamic surface control approach

圖2 應(yīng)用反步法的無人直升機(jī)位置響應(yīng)Fig.2 Position responses of unmanned helicopter by use of backstepping control method

從圖1、2 可以看出，兩種方法都能穩(wěn)定無人直升機(jī)系統(tǒng).但是反步法由于在設(shè)計過程中每步都要補(bǔ)償前步留下的控制誤差，因此造成各步之間相互耦合;當(dāng)控制器參數(shù)較小時，這種耦合就起主導(dǎo)作用，使得閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)對控制參數(shù)的調(diào)整不敏感.相反，采用文中提出的動態(tài)面控制方法，閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)明顯受控制器參數(shù)調(diào)整的影響.這極大地方便了實際應(yīng)用中工程師的現(xiàn)場調(diào)試.

4.2 軌跡跟蹤仿真

定義如下參考跟蹤軌跡:Pd= (5sin(0.4t)，5cos(0.4t)，-t)T、ψd=-0.4t，其中t 表示時間.自適應(yīng)動態(tài)面控制器參數(shù)選擇表2 中方案a 和c.直升機(jī)初始位置Pd(0)=(0，0，0)T，初始偏航角ψ(0)=-90°.仿真過程中，假設(shè)在t =10 s 時，直升機(jī)沿機(jī)體坐標(biāo)x 和y 方向分別受到30 N 的外界擾動力作用，持續(xù)時間為1 s.同時在t=20 s 時，直升機(jī)卸掉負(fù)載，質(zhì)量由m=19.2 kg 變?yōu)閙-mp=9.6 kg.仿真結(jié)果見圖3.

由圖3(a)-(d)可以看出，通過合適地選擇參數(shù)，基于自適應(yīng)動態(tài)面法控制的無人直升機(jī)閉環(huán)系統(tǒng)，在避免對虛擬控制量繁瑣的解析求導(dǎo)過程的情況下，軌跡跟蹤結(jié)果接近基于自適應(yīng)反步法設(shè)計的控制器的性能指標(biāo).從圖3(e)、(f)可以看出，通過合適地選擇參數(shù)，基于自適應(yīng)動態(tài)面控制的無人直升機(jī)閉環(huán)系統(tǒng)，其俯仰角和滾轉(zhuǎn)角動態(tài)響應(yīng)以及旋翼力和力矩控制量動態(tài)要明顯好于自適應(yīng)反步法.當(dāng)x 和y 方向受到持續(xù)1 s 的大擾動作用時，跟蹤軌跡都出現(xiàn)一定誤差，但隨后都收斂到期望軌跡附近.當(dāng)直升機(jī)卸掉負(fù)載后，機(jī)體坐標(biāo)z 方向出現(xiàn)一定跟蹤誤差，但隨著質(zhì)量自適應(yīng)估計結(jié)束，誤差也都收斂到期望軌跡附近. 雖然自適應(yīng)動態(tài)面方案 c 在抗干擾和大質(zhì)量變化下軌跡跟蹤性能要弱于方案 a，但姿態(tài)角響應(yīng)要好于方案 a. 因此，通過合適地選擇參數(shù)，可以在姿態(tài)角響應(yīng)需求以及軌跡跟蹤和抗干擾性能需求之間獲得一個合理的折中，而采用自適應(yīng)反步法無法滿足實際無人直升機(jī)控制時對姿態(tài)角響應(yīng)不宜過大的要求. 更有利的是，自適應(yīng)動態(tài)面控制器方便工程師現(xiàn)場調(diào)試參數(shù)，使其能夠更直觀地獲得滿意的控制效果

5 結(jié)語

針對常規(guī)反步法在無人直升機(jī)這種模型階數(shù)比較高、位置動態(tài)緩慢、負(fù)載變化大的系統(tǒng)中應(yīng)用的缺陷，文中設(shè)計了一種基于自適應(yīng)動態(tài)面法的控制方法.該方法通過一階濾波器對虛擬控制信號求導(dǎo)，顯著簡化了控制器的設(shè)計過程，而且相比反步法，控制器參數(shù)的變化更能影響位置動態(tài)響應(yīng)，從而方便實際應(yīng)用工程師現(xiàn)場調(diào)參，同時通過質(zhì)量自適應(yīng)估計，保證了閉環(huán)系統(tǒng)在大質(zhì)量變化下的穩(wěn)定性和軌跡跟蹤性能.基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的穩(wěn)定性分析和仿真結(jié)果都證實了該方法的有效性和可行性，為下一步將自適應(yīng)動態(tài)面法應(yīng)用到實際飛行實驗中提供了理論基礎(chǔ).

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