相位式激光測距的FFT與apFFT鑒相研究

陳 棟，劉恩海

(1.中國科學(xué)院光電技術(shù)研究所，四川成都610290;2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100039)

1 引言

相位式激光測距作為一種高精度、非接觸的測量方式，在大地大氣探測、空間位置高精度測量等領(lǐng)域起著很重要的作用。其基本原理為:通過測量調(diào)幅連續(xù)波發(fā)射光束和反射光束的相位差來測量時(shí)間間隔，進(jìn)而求出測量距離［1］。假設(shè)光速為c，調(diào)制頻率為 f，相位差為 Δθ，則測量距離為 d=cΔθ/(4πf)，可看出鑒相精度影響測距精度［2］。為實(shí)現(xiàn)亞毫米精度的相位式激光測距，選取一種高速、高精度的鑒相方法具有重大的現(xiàn)實(shí)意義。總體上，常用的鑒相方法可分為模擬法和數(shù)字法兩種，模擬法有著電路復(fù)雜、元器件要求高、精度差等缺點(diǎn);而數(shù)字法具有成本低、適應(yīng)性好、測量精度高等優(yōu)點(diǎn)［3］。數(shù)字法主要包括自動(dòng)數(shù)字鑒相法、數(shù)字相關(guān)法和FFT法。由于被測距離的遠(yuǎn)近不同，回波幅度差別很大，采用自動(dòng)數(shù)字鑒相法會(huì)產(chǎn)生很大的測量誤差［4］。數(shù)字相關(guān)法和FFT法運(yùn)算量小，都能有效抑制高斯白噪聲 ，但數(shù)字相關(guān)法的反余弦運(yùn)算限制了其鑒相范圍為0～π。文獻(xiàn)［6］提出一種apFFT法，并證明該方法相比FFT法具有抑制頻譜泄漏的特性，文獻(xiàn)［7］證明apFFT法具有“相位不變性”，即在非同步采樣的情況下，無需附加校正措施即可準(zhǔn)確鑒相。現(xiàn)有文獻(xiàn)在對比FFT與apFFT的鑒相性能時(shí)未考慮兩者使用的采樣點(diǎn)數(shù)問題，而在相位式激光測距中考慮鑒相使用的采樣點(diǎn)數(shù)具有實(shí)際的工程意義。本文對FFT和apFFT進(jìn)行理論研究和仿真實(shí)驗(yàn)，對比兩者在高斯白噪聲和頻率偏移影響下的鑒相性能，并考慮采樣點(diǎn)數(shù)的問題，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果選擇適用于亞毫米精度相位式激光測距的鑒相方法。

2 FFT與apFFT的理論研究

2.1 FFT法的原理和偏差

FFT法通過對參考信號(hào)和測量信號(hào)的采樣數(shù)據(jù)分別做FFT，找到各自的主譜線，再以兩者主譜線對應(yīng)相位的差值作為相位式激光測距的相位差［8］。對于頻率為f的余弦信號(hào)，其頻譜應(yīng)該是在±f處的線譜，但在使用FFT鑒相時(shí)先對信號(hào)進(jìn)行采樣和截短，由于截短時(shí)使用的窗函數(shù)在頻域內(nèi)不是理想的沖擊函數(shù)，導(dǎo)致信號(hào)的頻譜不只在±f處有譜線，而且在以±f為中心的頻帶范圍內(nèi)都出現(xiàn)譜線，即產(chǎn)生頻譜泄露。文獻(xiàn)［9］證明，對余弦信號(hào)x(t)=Acos(2πft+φ)(其中A為幅度，φ為相位)進(jìn)行同步采樣，即采樣頻率fs和采樣數(shù)據(jù)長度N滿足以下條件:(1)fs=mf，m為大于2的正整數(shù)，即采樣頻率是信號(hào)頻率的整數(shù)倍;(2)N是m的整數(shù)倍，即采樣數(shù)據(jù)包括一個(gè)或多個(gè)整周期。那么，使用這N點(diǎn)數(shù)據(jù)做FFT時(shí)，所得的頻譜無泄漏。在相位式激光測距中，由于頻率源存在一定的頻率偏移，無法滿足上述條件，所以使用FFT進(jìn)行鑒相時(shí)會(huì)由于頻譜泄露帶來偏差。對FFT在相位式激光測距中的鑒相偏差進(jìn)行分析:

設(shè)參考信號(hào)為 x1(t)=A1cos(2πft+φ1)，測量信號(hào)為 x2(t)=A2cos(2πft+φ2)(其中 A1、A2為幅度，φ1、φ2為相位)。以 fs對兩信號(hào)采樣，采樣數(shù)據(jù)長度為N，則x1(t)對應(yīng)的離散序列為:

按歐拉公式展開:

則主譜線K=［Nf/fs］，括號(hào)表示四舍五入取整。設(shè)歸一化頻率偏移 δ=Nf/fs－ K，|δ≤0.5|，x1(n)的正頻率復(fù)信號(hào)和負(fù)頻率復(fù)信號(hào)在K處的DFT結(jié)果分別為:

將X11(K)和X12(K)進(jìn)行矢量相加得到X1(K)，即為x1(n)在K處的DFT結(jié)果。因?yàn)樵谙辔皇郊す鉁y距中進(jìn)行的是同步采樣，有|δ|1，當(dāng)1≤K≤N/2－1時(shí)有|X11(K)||X22|X22(K)|，故矢量相加得到X1(K)的相位可以表示為:

同理可得X2(K)的相位可以表示為:

則使用FFT法測得相位差為:

由以上推導(dǎo)可知:由于實(shí)際系統(tǒng)存在頻率偏移，F(xiàn)FT法會(huì)發(fā)生頻譜泄露，從而引起鑒相偏差。但是在相位式激光測距中，需求的是參考信號(hào)與測量信號(hào)的相位差，在作差過程中兩者鑒相偏差的(1－1/N)δπ部分得以抵消，所以FFT法用于相位式激光測距中仍有很高的鑒相準(zhǔn)確度。

2.2 apFFT法的原理

apFFT法以其“相位不變性”、頻譜泄露抑制能力好等優(yōu)點(diǎn)迅速應(yīng)用到相位式激光測距中［6－7］，apFFT 法先對采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行全相位預(yù)處理，對預(yù)處理的結(jié)果進(jìn)行FFT，然后求出主譜線對應(yīng)的相位作為鑒相結(jié)果。雙窗全相位預(yù)處理的過程為:對于長度為2L－1，中心樣點(diǎn)為s(0)的數(shù)據(jù)序列 s(n)=［s(L－1)，…，s(0)，…，s(－L+1)］，將L階對稱窗函數(shù)W1和W2卷積得到加權(quán)窗函數(shù)W=W1*W2，使用W對s(n)進(jìn)行加權(quán)，得到s(n)'=W×s(n)。將s(n)'從第一個(gè)數(shù)開始每隔L個(gè)數(shù)兩兩相加，得到長為L的序列s(n)″，s(n)″即為全相位預(yù)處理的結(jié)果。當(dāng)L=3時(shí)，apFFT法的等效框圖如圖1所示。

3 計(jì)算機(jī)仿真分析

為對比 FFT法和 apFFT法的鑒相性能，在MATLAB中設(shè)計(jì)仿真方案。設(shè)參考信號(hào)的信噪比為60 dB，相位為30°，測量信號(hào)的相位為60°，調(diào)制頻率為50 MHz，使用差頻鑒相技術(shù)混頻至20 KHz進(jìn)行測量，采樣頻率為1.28 MHz，即每個(gè)周期同步采樣64點(diǎn)。FFT使用的采樣點(diǎn)數(shù)分別為64點(diǎn)和128點(diǎn)，apFFT使用的采樣點(diǎn)數(shù)為127點(diǎn)，經(jīng)全相位預(yù)處理后進(jìn)行的是64點(diǎn)FFT。

3.1 頻率偏移影響下的鑒相性能

設(shè)歸一化頻率偏移量 δ∈［－0.1，0.1］，每隔0.01變化一次，在每個(gè)歸一化頻移量下做10000次蒙特卡洛仿真，鑒相偏差與歸一化頻移量的關(guān)系如圖2所示。

圖2 頻移下的鑒相偏差對比Fig.2 Deviation comparison with frequency deviation

由圖2可知:頻率偏移使FFT出現(xiàn)鑒相偏差，鑒相偏差隨著歸一化頻率偏移量的增大而增大;而apFFT能夠很好地抑制頻率偏移的影響，鑒相結(jié)果仍舊準(zhǔn)確。由δ=Nf/fs－K可知:當(dāng)歸一化頻率偏移量δ一定時(shí)，采樣點(diǎn)數(shù)N越小，則頻率偏移量Δf越大，故64點(diǎn)FFT的鑒相偏差曲線總在128點(diǎn)FFT的上方。

3.2 高斯白噪聲影響下的鑒相性能

設(shè)測量信號(hào)的信噪比在20～55 dB每隔1 dB變化一次，在每個(gè)信噪比下做10000次蒙特卡羅仿真，F(xiàn)FT與apFFT的鑒相性能如圖3所示。

圖3 不同信噪比下的鑒相性能對比Fig.3 Performance comparison with different SNR

由圖3可知:鑒相準(zhǔn)確度從高到低為:128點(diǎn)FFT、127點(diǎn) apFFT、64點(diǎn) apFFT。在只有高斯白噪聲影響的情況下，F(xiàn)FT使用的采樣點(diǎn)數(shù)越多，鑒相越準(zhǔn)確;在采樣點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，F(xiàn)FT比apFFT鑒相更準(zhǔn)確，且隨著信噪比降低，兩者鑒相準(zhǔn)確度相差得也越多;FFT與apFFT均對高斯白噪聲有很好的抑制作用，當(dāng)信噪比高于45 dB時(shí)，64點(diǎn)FFT、128點(diǎn) FFT與127點(diǎn)apFFT的鑒相標(biāo)準(zhǔn)誤差均小于0.04°，在50 MHz調(diào)制頻率下對應(yīng)的測距標(biāo)準(zhǔn)誤差小于0.34 mm。

3.3 白噪聲和頻移共同影響下的鑒相性能

由上述分析可知:在采樣點(diǎn)數(shù)相同的情況下，當(dāng)僅存在高斯白噪聲的影響時(shí)，F(xiàn)FT比apFFT鑒相準(zhǔn)確;當(dāng)僅存在頻率偏移的影響時(shí)，F(xiàn)FT會(huì)發(fā)生頻譜泄漏而引起偏差。故下面對比在高斯白噪聲和頻率偏移共同影響下FFT和apFFT的鑒相性能。設(shè)測量信號(hào)的信噪比為25 dB，歸一化頻移量δ∈［－0.1，0.1］，每隔0.005變化一次，在每個(gè)歸一化頻移量下做10000次蒙特卡洛仿真，在高斯白噪聲和頻移共同影響下的鑒相標(biāo)準(zhǔn)誤差曲線如圖4所示。

圖4 白噪聲和頻移共同影響下的鑒相標(biāo)準(zhǔn)誤差Fig.4 Standard error comparison with white noiseand frequency deviation

由圖4可知:在采樣點(diǎn)數(shù)相同，高斯白噪聲信噪比25 dB的情況下，當(dāng)歸一化頻率偏移量較小時(shí)(δ∈［－0.035，0.045］)，F(xiàn)FT 比 apFFT 鑒相準(zhǔn)確，且隨著頻率偏移的進(jìn)一步減小，兩者鑒相準(zhǔn)確度相差越多;當(dāng)歸一化頻率偏移量較大時(shí)，apFFT比FFT鑒相準(zhǔn)確，且隨著頻率偏移的進(jìn)一步增大，兩者鑒相準(zhǔn)確度相差越多;若FFT使用的采樣點(diǎn)數(shù)減半，則其鑒相的標(biāo)準(zhǔn)誤差總是大于apFFT。

在實(shí)際系統(tǒng)中，頻率源使用的晶振的穩(wěn)定度達(dá)到1 ppm，即128點(diǎn)FFT對應(yīng)的歸一化頻移量最大值僅為2×10－6，故為得到更高的鑒相準(zhǔn)確度，應(yīng)選用FFT作為鑒相方法。在50MHz的調(diào)整頻率下，若要求測距標(biāo)準(zhǔn)誤差低于1 mm，則鑒相標(biāo)準(zhǔn)誤差應(yīng)小于0.12°。

設(shè)測量信號(hào)信噪比為35 dB，歸一化頻率偏移量為0.02，在此條件下每采樣128點(diǎn)做FFT進(jìn)行一次鑒相，每采樣127點(diǎn)做apFFT進(jìn)行一次鑒相，重復(fù)10000次，其中FFT的測量結(jié)果如圖5所示。

由圖5可知:FFT鑒相結(jié)果近似成正態(tài)分布，均值為30.0073°，標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.0908°，在50MHz調(diào)整頻率下對應(yīng)測距標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.76mm，而apFFT的鑒相標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.1045°，鑒相準(zhǔn)確度低于FFT。實(shí)際中相位式激光測距系統(tǒng)的信噪比更高，頻率偏移更小，使用FFT鑒相能夠達(dá)到更高的準(zhǔn)確度。

圖5 FFT鑒相結(jié)果Fig.5 Results of phase discrimination using FFT

4 結(jié)束語

文中通過對FFT法和apFFT法進(jìn)行理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)，對比了兩者在高斯白噪聲和頻率偏移的影響下的鑒相性能，并考慮兩者使用的采樣點(diǎn)數(shù)。仿真結(jié)果表明:在使用采樣點(diǎn)數(shù)相同的情況下，當(dāng)只存在高斯白噪聲的影響時(shí)，F(xiàn)FT比apFFT鑒相準(zhǔn)確;當(dāng)只存在頻率偏移的影響時(shí)，F(xiàn)FT會(huì)出現(xiàn)鑒相偏差;當(dāng)存在白噪聲和頻率偏移共同影響時(shí)，在歸一化頻移量較小的情況下(25dB時(shí)對應(yīng) δ∈［－0.035，0.045］)，F(xiàn)FT比apFFT鑒相準(zhǔn)確，故結(jié)合實(shí)際系統(tǒng)的頻率偏移很小的具體情況，為得到更高的鑒相準(zhǔn)確度，應(yīng)該選用 FFT作為鑒相方法。在信噪比35dB、歸一化頻移量0.02的情況下使用128點(diǎn)FFT(即測距速率10KHz)的鑒相標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.0908，在調(diào)整頻率50MHz下對應(yīng)的測距標(biāo)準(zhǔn)誤差小于1mm。綜上所述，F(xiàn)FT適合用于文中研究的相位式激光測距的相位差測量，文中的研究為下一步實(shí)際系統(tǒng)的研制奠定了基礎(chǔ)。

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