關于幾何直觀的思考

■文/周偉萍

著名數學家M.阿蒂亞指出“幾何是數學中這樣一個部分，其中視覺思維占主導地位……幾何直覺仍是增進數學理解力的很有效的途徑，而且它可以使人增加勇氣，提高修養(yǎng)”。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”中，而且在整個數學中都發(fā)揮著重要作用。

一﹑幾何直觀概念的內涵

在數學教育文獻中，直觀是直接“從感覺的具體的對象背后，發(fā)現抽象的、理想（狀態(tài)）的能力”。徐利治先生提出，幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知?！稑藴剩?011年版）》對此的闡述是：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把抽象的數學問題變得簡明﹑形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。

二﹑幾何直觀把抽象的數學問題變得簡明形象

數學是對抽象的東西作具體的研究，而抽象就是在思想上把事物的本質屬性、特征抽象出來，并把這些本質屬性、特征抽象與其他屬性、特征抽象分離開來的思維過程。

在平面幾何教學中，教師引導學生通過抽象思維在鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形中抽取出“三個角”和“三條邊”的共同特征。但單一地用文字表述“鈍角、直角、銳角、180°、等邊”等相關概念，對初學者來說是無法理解的，但使用幾何直觀，則一目了然。

三﹑幾何直觀培養(yǎng)要在整個數學學習過程中實現

借助圖形直觀研究問題，通常先把研究的“對象”抽象成為“圖形”，再把“對象之間的關系”轉化為“圖形之間的關系”，從而把所研究的問題轉化為關于“圖形的數量或位置關系”的問題，然后借助圖形直觀進行思考分析。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學習中，而且在“數與代數”、“統計與概率”的學習過程中都發(fā)揮著重要作用。如計算（-2）+3，我們用一個㈩表示+1，用一個㈠表示 -1，用㈩㈠表示 0，則（-2）+3=1。如合并同類項中使用幾何直觀，用小長方形表示8n、5n，求整個長方形的面積。長方形的面積可以用代數式表示為8n+5n，或(8+5)n，從而 8n+5n=(8+5)n=13n。先借助圖形直觀感受，再利用乘法分配率，使學生學習合并同類項由感性認識上升到理性的認識，有助于學生更好地理解掌握合并同類項法則。

四﹑學生的幾何直觀會隨經驗的積累逐漸增強

幾何直觀基于經驗，幾何直觀的培養(yǎng)依靠學生親身參與知識學習活動，觀察、操作、思考、類比、歸納、判斷等。如學習單項式乘以多項式，我們使用幾何直觀來說明等式成立，從“形”這一側面來了解“數﹑式”。隨后學習多項式乘以多項式﹑平方差公式﹑完全平方差公式時，學生會自覺聯想和使用幾何直觀來探究問題。隨著經驗的積累，學生幾何直觀的使用能力會逐漸增強，直接帶動解題能力的提高。

五﹑防止幾何直觀給學生解題帶來負遷移

我們把數學教材中的公理說成是不經證明而采用的數學命題。這“不經證明而采用”被部分教師解釋為“顯而易見的事實”。其實，一個公理顯然真實的性質并不是選它為公理的憑據，而是它便于推導其他命題。如北師大教材中“兩直線平行，同位角相等”，更方便推出“兩直線平行，內錯角相等”、“兩直線平行，同旁內角互補”。然而，這種“顯而易見的事實”的說法，可能給學生造成錯誤的印象。在證明幾何題時，幾何直觀給學生帶來負遷移。憑圖形的直觀，把某個顯然真實的東西作為理由來論證，這對學生的學習是非常有害的。教學過程中，借助幾何直觀把復雜的問題變得簡明﹑形象，同時又要防止幾何直觀給學生解題帶來負遷移。

在代數推理中，因為幾何直觀的直觀性﹑具體性，所以能有效地幫助學生理解和記憶代數結論的意義和結構，使代數結論變得看得見，摸得著，易掌握。

在幾何學習中，讓學生以直觀的認識為基礎進行說理，將幾何直觀與簡單推理相結合，發(fā)展學生的空間觀念和推理能力，解決實際問題。憑學生的經驗和直覺，發(fā)展合情推理，逐步滲透演繹推理，最后發(fā)展到兩者并舉。幾何直觀在幾何學習中更顯重要性。

在統計與概率的教學中，借助幾何直觀能很好地解決問題，如通過列表﹑畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結果，以及指定事件發(fā)生的所有可能的結果，了解事件的概率。

幾何直觀能有效地幫助學生理解問題，說明問題，解決問題，更能幫助學生預測結果，記憶結果。要真正培養(yǎng)學生的幾何直觀，必須注意“對直觀的培養(yǎng)不能單純依賴傳授，更重要的是依賴本人親身參與其中的活動，包括觀察﹑思考﹑判斷等”。