頁巖力學參數(shù)各向異性研究

王倩 王鵬 項德貴 馮宇思

中國石油集團鉆井工程技術(shù)研究院

頁巖氣儲層中的有機頁巖在形成過程中具有層理、片理等特征，組成的礦物結(jié)晶顆粒具有不同大小以及不同的組合方式，造成頁巖中具有不同層次的結(jié)構(gòu)構(gòu)造和這些結(jié)構(gòu)構(gòu)造的定向排列，所以有機頁巖具有明顯的強度和彈性各向異性。如果將頁巖儲層巖石當做各向同性體來處理，是顯然不符合實際情況的。對于存在明顯層理的頁巖，在研究其力學性質(zhì)時要考慮其各向異性［1－4］。層理性頁巖力學性質(zhì)受巖石本體和結(jié)構(gòu)面的力學性質(zhì)共同控制，通過理論和實驗研究獲得頁巖巖石強度、彈性力學參數(shù)的各向異性特征，結(jié)合聲波各向異性分析結(jié)果，進而完成有機頁巖力學性質(zhì)評價，能實現(xiàn)頁巖氣水平井的安全鉆井和優(yōu)化水力壓裂過程。

1 層理頁巖彈性參數(shù)變化規(guī)律的理論模型

層理頁巖的各向異性變動如圖1所示，垂直構(gòu)造面的壓縮性顯著大于平行構(gòu)造面的壓縮性，所以，這種巖石在層理面的應力—應變性狀是各向同性的。

圖1 層理頁巖的各向異性變形圖

描述這種性狀的巖石可以用5個獨立的彈性常數(shù)。分別用E1和E2表示平行和垂直各向同性面的彈性模量，用ν1和ν2表示平行和垂直各向同性面的泊松比，用G2表示各向同性面內(nèi)的剪切模量。假定在局部坐標系（x′，y′，z′）中，z′軸和可壓縮性最大面的法線方向一致，而x′和y′軸落在各向同性面內(nèi)。橫觀各向同性巖石的應力—應變關系為：

式中

在實際工程中，由于地層存在一定的走向和傾角，通常和上述坐標系不一致，如圖2所示。需要選用總體坐標系（x，y，z）?？傮w坐標系（x，y，z）和各向異性定向坐標系（x′，y′，z′）的關系可通過走向角（α）和傾向角（β）建立。

圖2 總體坐標系與局部坐標系的關系圖

借助轉(zhuǎn)換矩陣T和T＊，把總體坐標系中的應力｛σ｝和應變｛ε｝分別換算為局部坐標系中的應力｛σ′｝和應變｛ε′｝。

矩陣T的表達式為：

式中

矩陣T＊和T有如下關系：

將式（2）和式（3）代入式（1），得：

上式兩邊同乘T＊－1，利用式（5）的關系，得出：

根據(jù)單軸壓縮邊界條件，若沿z軸方向壓縮，即應力σx＝σy＝τxy＝τyz＝τzx＝0，α＝0，而β≠0，由式（7）得到：

由于在β＝45°情況下，ν2E1＝ν1E2，可得與z軸為任意角度β方向的彈性模量Eβ和泊松比νβ：

通過實驗測定層理頁巖垂直層理和平行層理方向的5個彈性常數(shù)，便可由式（11）和（12）從理論上得出層理頁巖彈性模量E和泊松比v隨層理傾角β的變化關系。

2 層理頁巖彈性常數(shù)各向異性的實驗研究

為探討層理頁巖的各向異性，按一定的β方向取樣（β角為層理面與巖樣端面間的夾角）。β角從0°～90°，每隔15°取1個樣，共計7個樣（圖3）。巖樣上下端面的不平行度小于0．2mm。對每塊巖樣做單軸壓縮實驗，測定巖石抗壓強度、彈性模量、泊松比，并且在實驗中測量每塊巖樣的彈性波速度Vp、Vs［5－7］。

圖3 巖心取樣示意圖

由聲波實驗結(jié)果根據(jù)式（13）、（14）計算各巖樣的動態(tài)彈性模量和動態(tài)泊松比，計算結(jié)果列于表1。

表1 巖石彈性模量的實測值Es和計算值Eβ表

式中Ed為巖石動態(tài)彈性模量，MPa；νd為巖石動態(tài)泊松比；Vp為縱波速度，m／s；Vs為橫波速度，m／s；ρ為巖石密度，g／cm3。

根據(jù)單軸壓縮實驗所得的巖樣應力—應變曲線，可求得巖石的靜態(tài)彈性模量Es和靜態(tài)泊松比νs，其值列于表2。

由表2測定的各個角度巖樣的單軸抗壓強度可以看出，β為60°時巖石的抗壓強度最小，即此時巖樣沿層理方向破壞。根據(jù)層理傾角為βmin＝45°＋φs／2時發(fā)生層理破壞，可以得到層理面的內(nèi)摩擦角φs為30°。還可以看出，如果β小于內(nèi)摩擦角，巖樣不會發(fā)生沿層理剪切破壞。

表2 巖石力學參數(shù)實驗和聲波實驗數(shù)據(jù)表

圖4為根據(jù)表2的實驗結(jié)果得出的動態(tài)彈性模量、泊松比和靜態(tài)彈性模量、泊松比隨層理傾角的變化圖。

由圖4可見Ed、Es、νd、νs都隨層理傾角（β）的增加呈上升趨勢，靜態(tài)參數(shù)比動態(tài)參數(shù)隨層理傾角的變化要陡一些，動態(tài)參數(shù)總比靜態(tài)參數(shù)高，動態(tài)彈性模量為靜彈性模量的1．35～1．50倍，動態(tài)泊松比為靜態(tài)泊松比的1．00～1．15倍。

對橫觀各向同性體來說，5個獨立的彈性常數(shù)（E1、E2、ν1、ν2、G2）確定之后，由式（11）可以計算出任一β角方向上的彈性模量值，表2為彈性模量實測值和計算值的結(jié)果數(shù)據(jù)。

從表2可以看出，計算的彈性模量與實測值接近，最大誤差為3%。因此，只要對巖石作平行和垂直層理以及45°方向的3組樣品單軸壓縮實驗，就可用計算值來代替樣品的實測值，而不需要對每一個方向（β角）的樣品進行單軸壓縮實驗來確定模量，可省去大量樣品加工及實驗工作。結(jié)果表明將層理巖石視為橫觀各向同性介質(zhì)來計算彈性模量是可行的。

圖4 巖樣動、靜態(tài)彈性參數(shù)實驗結(jié)果圖

由表1的數(shù)據(jù)通過式（12）計算泊松比隨角β的變化規(guī)律，泊松比的實測值和計算值結(jié)果數(shù)據(jù)見表3。

表3 巖石泊松比的實測值vs和計算值vβ表

從表3可以看出，泊松比的實測值與計算值也比較接近，誤差在合理的范圍內(nèi)，所以將層理巖石視為橫觀各向同性介質(zhì)來計算泊松比是可行的。

定義頁巖的各向異性指數(shù)e為：

式中A1為平行于各向同性面上的彈性模量或泊松比；A2為垂直于各向同性面上的彈性模量或泊松比。

利用實驗數(shù)據(jù)，可以得到巖石動態(tài)彈性模量和泊松比的各向異性程度分別為0．088和0．089，巖石靜態(tài)彈性模量和泊松比的各向異性程度分別為0．180和0．155?？梢钥闯鰩r石各向異性在靜態(tài)時更為突出，而動態(tài)時巖石各向異性有所減弱。巖石各向異性指數(shù)可評價巖石的各向異性程度，各向異性指數(shù)越大，表明巖石的各向異性程度越高。

3 結(jié)論

通過理論分析和實驗研究頁巖力學性質(zhì)的各向異性，主要得出以下結(jié)論：

1）層理頁巖平行于層理面的彈性模量和泊松比大于垂直于層理面的彈性模量和泊松比。

2）層理頁巖的彈性常數(shù)Ed、Es、vd、vs都隨層理與水平方向夾角的減小呈上升趨勢，動態(tài)彈性參數(shù)總比靜態(tài)彈性參數(shù)高，巖石各向異性在靜態(tài)時更明顯。

3）根據(jù)不同層理傾角頁巖巖樣的單軸抗壓強度結(jié)果可以看出，層理傾角為60°時巖樣的抗壓強度最小，巖樣沿層理方向破壞，若巖樣層理傾角小于層理面內(nèi)摩擦角，巖樣不會發(fā)生沿層理剪切破壞。

4）不同層理傾角頁巖巖樣的彈性模量、泊松比實驗結(jié)果和將層理頁巖作為橫觀各向同性介質(zhì)理論計算得出的彈性模量、泊松比基本一致，說明將層理頁巖視為橫觀各向同性介質(zhì)是合理的。

5）根據(jù)巖石的各向異性指數(shù)可評價頁巖的各向異性程度，各向異性指數(shù)越大，表明巖石的各向異性程度越高。

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