數(shù)學中的類比歸納

李文天，安立堅，陰燕華

一、引言

美國數(shù)學家.波利亞曾說過，“科學家處理經(jīng)驗的步驟，通常稱為類比歸納法。類比歸納法的例子可以在數(shù)學研究中找到?！崩绽挂舱f過，“甚至在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比?！?/p>

類比歸納法是數(shù)學中最基本的方法之一，它有很大的創(chuàng)造性。許許多多有關數(shù)學的理論及數(shù)論的結(jié)果都是類比歸納的產(chǎn)物，而且有不少數(shù)學家都是類比歸納大師，高斯就曾說過，他的許多定理都是靠類比歸納發(fā)現(xiàn)的。通過閱讀數(shù)學大師波利亞的名著《數(shù)學與猜想》，結(jié)合一些實例對類比歸納在數(shù)學各分支及其它領域?qū)σ胄赂拍?、新?guī)律做一個比較系統(tǒng)而又實用的分析探討。

二、類比歸納的內(nèi)涵

（一）類比歸納的概念

“類比”，在古希臘語中是比例的意思。起初僅僅表示數(shù)目之間的一定關系，后來用在邏輯學上，作為獲得推出新知識的一種形式，即類比歸納。G.波利亞說過，“相似對象在某些方面有一致性，如果把它們相似的地方化為明確的概念，那么就把相似的對象看作是可以類比的。如果你把它變?yōu)橐粋€清楚的概念，那么也就闡明了類比關系?！?/p>

所謂“類比”就是將未知事物與已知事物進行對比比較，根據(jù)對象屬性在某些方面的相似處或相同點，進而推出未知事物也有可能顯示已知事物的某些屬性的方法。所謂“歸納”就是對個別或特殊事物概括出相同的本質(zhì)或一般原理的邏輯思維方法，邏輯學上又稱歸納原理。在類比歸納過程中，尋求熟知的舊知識和陌生的新知識之間的相似原則的原理，可以讓同學們對知識經(jīng)過正向遷移，做出合理大膽的假設或推理，進行類比歸納的探索，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的新思路，這種教學法叫做類比歸納。

（二）如何建立類比歸納思想

類比歸納的模式是簡單的，但是具體的類比歸納情況是多樣復雜的。那么我們想象一下事物之間的相似是怎樣建立起來的，又是如何進行歸納的呢？這其中有幾個關鍵的環(huán)節(jié)。

首先，從已知的經(jīng)驗引出最正確的信心。經(jīng)驗改變?nèi)藗兊男拍睿覀儜搹慕?jīng)驗里學習。能夠充分地利用經(jīng)驗是人類一項偉大的任務，為了這個任務而努力工作是科學家們的應有使命，科學家們?yōu)榱私㈥P于某個問題的正確信念而積累最正確的經(jīng)驗。一般處理經(jīng)驗的方法，通常稱作類比歸納法。

其次，對事物間的相似從一般化到特殊化到類比再到歸納的啟發(fā)性聯(lián)想。在1900年國際數(shù)學家大會上，偉大的數(shù)學家希爾伯特所做的著名演講《數(shù)學問題》中講了一般化與特殊化方法。一般化、特殊化是類比思維的左膀右臂。每當我們遇到一個新問題時，你會試圖想起一個與此有關的類似的比較簡單的問題嗎？雖然這是一句簡單的話，卻還是一句特殊的提示語，“與此有關”和“類似”，這就牽涉類比，只有正確有成效的類比才有可能引導我們解決適當?shù)奶厥鈫栴}。例如，我們從三角形考慮到任意多邊性，從多邊形轉(zhuǎn)化為考慮正多邊形，還可以從正多邊形轉(zhuǎn)化為考慮等邊三角形，而且通過類比考慮到不同的立體圖形。

再次，檢驗一下類比歸納出的結(jié)論，即支持性聯(lián)想。對于歸納得出的結(jié)論，要驗證它是正確的還是錯誤的。只要對于一個一般命題在新的特例中仍得以證實，那么此時它就會變得更可信了。

由此可見類比歸納的過程：對于某個問題，抽取同類事物的特征，于是激起某一相似事物的另外一個問題，從不同角度、層次、背景建立類比關系，對照問題是否發(fā)現(xiàn)類比關系。如果有，然后進行知識的遷移、類比、歸納、總結(jié)。最后，檢驗疑問是否解決。

三、類比歸納引入數(shù)學新知識

類比歸納可以使學生對新舊知識有很好的對比理解，很容易記憶一些相似的知識并得到快速的應用，常?？梢越鉀Q一些無從下手的問題。對于老師，可以在實際的教學中突破一些教學難點，深入淺出地引入一些新概念和新規(guī)律，在教學中起到事半功倍的效果，是值得運用的一種教學方案。

（一）初等數(shù)學中互逆運算的類比歸納

初等數(shù)學中余弦與反余弦運算，余切與反余切運算，正切與反正切運算有相應的恒等式，并二者分別互為逆運算。

根據(jù)上面三組互逆運算的性質(zhì)，可以把關于逆運算的思想合理地類比歸納在微積分上，微分與（不定）積分運算互為逆運算，但不同的是在先微分，后積分的運算時，所得結(jié)果要在函數(shù)上再加一個積分常數(shù)，這是不定積分的性質(zhì)所決定的。

逆運算廣泛地存在于數(shù)學的教學內(nèi)容之中，上面的互逆運算有一定的類似之處，但由于各自的性質(zhì)又略有不同。在實際教學中，善于運用類比歸納可以讓同學們很快了解它們的性質(zhì)，并形象直觀地掌握新舊知識之間的聯(lián)系，便于深入理解知識，不易忘記。對于上面的逆運算可以簡單地歸納為：如果對某一事物進行某種運算后，再做逆運算，則得到該事物的回歸，也就是這兩種運算的抵消。這種抵消可以運用到數(shù)學中互逆的各種運算，也可以用在其它領域中，比如物理學中的作用力與反作用力的相互抵消。

（二）立體幾何中多面體的類比歸納

數(shù)學上，立體幾何是三維歐氏空間幾何的傳統(tǒng)名稱，因為實踐上這大致上就是我們生活的空間。立體幾何是研究空間幾何圖形性質(zhì)的一門學科,它主要是借助圖形（如棱柱、棱錐、圓柱、圓錐及球等等）的各種變換來研究空間圖形的性質(zhì)。

初學立體幾何，首先知道每一個多面體都有面、棱、角，這種模糊的說法幾乎每一個人都有所了解，但大多數(shù)人沒有認真地去深入研究這句話的意義，也沒有在此基礎上去探究更精確的知識。從不同角度熟悉一個多面體的面、棱、角及性質(zhì)后，我們在解決復雜的幾何問題時才可得心應手。

現(xiàn)在我們提出一個問題：人們潛意識里認為一個多面體的面數(shù)目是隨頂點數(shù)目的增大而增大，是否正確呢？

認真地觀察我們熟知的幾個多面體，例如三棱柱的面數(shù)是五、頂點數(shù)是六、棱的數(shù)目是九；立方體的面數(shù)是六、頂點數(shù)是八、棱的數(shù)目是十二；五棱柱的面數(shù)是七、頂點數(shù)是十、棱的數(shù)目是十五；三棱錐的面數(shù)是四、頂點數(shù)是四、棱的數(shù)目是六；四棱錐的數(shù)面是五、頂點數(shù)是五、棱的數(shù)目是八；五棱錐的面數(shù)是六、頂點數(shù)是六、棱的數(shù)目是十；八面體的面數(shù)是八、頂點數(shù)是六、棱的數(shù)目是十二等等。觀察上面數(shù)據(jù)，是否多面體的面數(shù)隨頂點數(shù)目的增大而增大呢？比較一下，上述問題是不成立的，即對于多面體建立的面數(shù)隨頂點數(shù)增大而增大的規(guī)律是不成立的。它們之間到底有什么樣的關系呢？通過觀察，面、頂點和棱都不會單獨隨其中任何一個增大而增大，但是否會有二者的聯(lián)合增大而增大呢？再次觀察，發(fā)現(xiàn)上面的多面體都符合這樣的規(guī)律，即面數(shù)加頂點數(shù)等于棱數(shù)加二。通過一般到特殊到類比得出一個關系，對于任何多面體來說，面數(shù)加頂點數(shù)等于棱數(shù)加二。對于歸納出的結(jié)論是否成立，我們得去檢驗。

上述已經(jīng)驗證了立方體和八面體，用上面類比歸納所得的關系去驗證一下十二面體和二十面體。十二面體，有十二個面，每個面都是五角形，每個頂點處有三個面。十二個五角形共有六十個邊，但每個邊都有兩個邊重疊，故有三十個棱。同理，十二面體每個頂點處有三個面，十二個五角形共有六十個角，但每個頂點處都有三個五角形的頂點，故有二十個頂點。即面數(shù)是十二，頂點數(shù)是二十，棱數(shù)是三十。同理，二十面體有二十個面，每個面都是三角形，每個頂點處有五個面，故面數(shù)是二十，頂點數(shù)是十二，棱數(shù)是三十。這兩種情形也滿足我們類比歸納出的關系，即面數(shù)加頂點數(shù)等于棱數(shù)加二。

以上只是舉了一些特殊的棱柱和棱錐，那么對于所有的棱柱和棱錐成立嗎？對于無限數(shù)目的多面體也同樣成立，即對于我們初高中學習的各種多面體都成立。

通過類比歸納，我們對多面體有了一個更深層次的了解，學生可以用同樣的方法去研究直線分割平面或平面分割空間等問題，對于以后學習立體幾何、直線與平面及直線與圓錐曲線那部分知識有很大的用處，解決問題時能夠深入了解并熟練運用。

（三）數(shù)學疑難問題中的類比歸納

數(shù)列問題以其多變的形式和靈活的解題方法備受高考、會考和模擬考試命題者的青睞，歷年來都是高考命題的“熱點”。對學生來說，數(shù)列既是重點，又是難點，常常用到的就是數(shù)學類比歸納思想。

直到今天，對于數(shù)論中最著名的哥德巴赫猜想，即“每一個大于四的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)的和”，仍是一個我們所不能證明也不能推翻的關于數(shù)的一個問題。對于它的證明，許多科學家都是經(jīng)過類比歸納推理的。雖然它導致一些錯誤，但是只有在前人的教訓及經(jīng)驗的基礎上才導致了后來人對其更精確的推理，這才是它格外值得珍視的地方。我國數(shù)學家陳景潤在此問題的研究上取得了國際最先的研究成果，于1966年證明：“任何充分大的偶數(shù)都是一個質(zhì)數(shù)與一個自然數(shù)之和，而后者僅僅是兩個質(zhì)數(shù)的乘積?！蓖ǔ：喎Q這個結(jié)果為大偶數(shù)可表示為“1+2”的形式，稱為陳氏定理。他作為數(shù)學家運用類比歸納法探究所研究的問題，我們也應該運用到我們的學習中，盡量學會知識的類比、遷移、歸納總結(jié)，加強對知識的理解及應用，起到溫故而知新的作用。

四、小結(jié)

重視加強類比歸納思維的訓練可以引導學生發(fā)現(xiàn)新知，并運用所學的知識，做知識的類比、遷移、歸納總結(jié)，加強對知識的理解及應用，起到溫故而知新的作用。還可以激發(fā)學生主動性和研究興趣，培養(yǎng)勇于探索精神，形成嚴謹治學態(tài)度。在以后的學習生活中我們應培養(yǎng)類比歸納的思想,融會貫通各個學科間的聯(lián)系，如運籌學、化學、管理、醫(yī)學、生物學、計算機等領域，類比歸納極大程度上推動了這些學科的發(fā)展，并值得我們?nèi)ミM一步研究及應用。

[1]（美）波利亞.數(shù)學與猜想[M].北京：科學出版社，1991

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