復變函數課程的教學方法探討*

尹景本，趙晨萍

(河南科技學院數學科學學院，河南新鄉(xiāng)453003)

作為數學專業(yè)的一門重要基礎課，復變函數在數學課程體系的地位非常重要，它是數學分析在復數域上的延拓，在知識結構、理論體系、研究方法等方面，二者密切相關.數學專業(yè)的調和分析、泛函分析、數理方程等課程與復變函數有較大的聯系.通過本課程的學習不但鞏固了數學分析的知識，而且為后續(xù)課程打下了堅實的理論基礎.

上世紀末，我國的高等教育進行改革，新的專業(yè)課程不斷涌現，原來的一些專業(yè)課教學課時數不斷減少［1］.因此一些高校的復變函數課時縮減了25%，因此不可能像原來那樣按部就班地講授所有的課程內容，有些內容不得不讓學生自學，有些知識點一帶而過.老師為了趕課講得累，學生思維跟不上，對學過的知識像囫圇吞棗.這樣，課程的嚴謹性得不到保證，學生也不能系統(tǒng)地掌握基本理論.學生感到習題難做，因為他們對那些基本概念似懂非懂，從而失去了學習的積極性，這無益于人才的培養(yǎng).另外，復變函數是數學專業(yè)的專業(yè)基礎課，傳統(tǒng)認識是復變函數課程應該重視理論講授，但這種灌輸式教學不能很好發(fā)揮學生的主體作用，學生獲得的課堂信息量較小.

為了使學生在有限的課時內既能夠掌握基本理論，又了解其應用，在復變函數課程教學內容、教學方法與教學手段上進行了改進.

1 合理安排教學內容

數學專業(yè)的復變函數課時減少了，教材一般仍采用鐘玉泉編的《復變函數論》第三版，這必然涉及到教材內容的取舍.復變函數的主要研究對象是解析函數，主要的研究內容就是解析函數的Cauchy積分理論即復變函數的積分、解析函數的Weierstrass級數理論即解析函數的 Taylor展式及Laurent展式，以及Riemann的共形映射理論［2］.我們要重點講解基本概念、性質、定理，分類歸納基本解題方法，講清證明思路.對于復數的基本概念，學生在高中階段已經學習過，可以略講.解析延拓和調和函數可以刪去或僅簡要介紹一下基本內容和方法.解析理論部分著重講解初等解析函數的多值性及其單葉解析分支.對于那些費時多，學生又難于理解要求較高的章節(jié)，且與后續(xù)課程聯系不大的可以不講，讓學有余力的學生自學.

數學專業(yè)新的培養(yǎng)目標，不僅要求學生具備扎實的數學理論基礎，同時還要求學生有解決實際問題的能力.應當適當增設實驗課，那些繁雜的運算代之以計算機和數學軟件處理.譬如展開有理函數的部分分式、計算留數均可采用Matlab軟件來完成，使學生從這些初等運算中解脫出來，只需搞清其數學思想，知道怎么轉化即可，從而提高學生的學習興趣.

2 認真組織教學過程

2.1 課程的引入

第一堂課先向學生簡單介紹復變函數在數學專業(yè)培養(yǎng)方案中的重要地位，舉例說明它在理論物理、空氣動力學、流體力學、彈性力學、自動控制學、信號處理、電子工程技術等領域的應用，抓住學生的好奇心，使他們產生學習該課程的渴望，激發(fā)其學習的積極性;然后介紹復變函數的主要研究對象(解析函數)與數學分析的研究對象(連續(xù)函數)之間的區(qū)別與聯系，自始至終都可采用這種對比的教學方法.在研究極限與連續(xù)性時，與二元函數的極限進行比較，找尋其共性與差異，認真區(qū)別二者的本質.學習函數的連續(xù)性、可導性、可微性和可積性時，學生對照二元函數的一系列性質可以自己總結，培養(yǎng)學生的自學能力;最后向學生指明課程的幾大模塊，讓學生對該課程的框架有一個總體認知.

2.2 多種教學方法并用

概念是學好數學課程的關鍵.在引入概念時，先介紹一些物理背景，找出其共性，抽象出其本質，用數學語言來描述，從而形成概念.在對概念的啟發(fā)式教學過程中，建立復變函數知識構架，按照新的知識構架，加強學生的思維訓練，達到提高學生數學素養(yǎng)的目的.

在講授定理的證明與積分的計算時，多采用類比法.通過和數學分析比較，便于學生加深對實函數的理解，進而更清楚地認識復變函數.如在數學分析課程中，從幾何角度分析，總結歸納出定積分的定義，而在復變函數中，我們是直接從表達式入手得出復積分的定義［3］.

在講授概念的性質與定理的幾何意義時，多采用圖示法，加強幾何思想在教學中的滲透，積極培養(yǎng)學生的幾何直觀感，這樣不但改變學生普遍存在的幾何思想差的現象，同時由于幾何的直觀性更加容易引起學生的學習興趣.

在講授復變函數的應用時，多采用問題驅動法.教師根據授課內容，設置情景，提出問題，讓學生發(fā)現解決實際問題需要的理論知識，培養(yǎng)學生發(fā)現、分析、解決問題的能力.同時給學生留思考題，讓他們利用所學知識撰寫小論文.如學習復數的幅角時，我們提出:“為什么現在市場上涌現出大量的數碼相機，而普通的像機有被取而代之的趨向?”同學們會說:“數碼像機成像有立體感.”“為什么數碼成像會有立體感?”學生們陷入沉思，迫切想知道其原由，這樣引起了他們對知識的渴望.當學習了本節(jié)內容后，他們知道原來數碼相機不僅反映每個點的距離，而且也反映該點的位置，也就同時反映了復數的模和幅角.這樣學生對本節(jié)知識掌握得更加牢固，而且讓學生感到所學知識有非常廣泛的應用環(huán)境，激發(fā)他們的創(chuàng)造欲.

正如楊叔子先生所言，“學習是為了實踐.沒有實踐，沒有證實，就沒有科學”［1］.我們在講授復變函數理論知識時，一定要結合實際應用背景，唯有此，才能體現學科的價值，才能抓住學生的心理，把學生的思維緊緊集中在課堂上.

2.3 加強師生互動［4］

由于擴招后一個授課班級學數達到120人甚至更多，為了調動學生的積極性，活躍堂氣氛，必須加強師生互動，使學生真正參與到教學中去，成為教學的主體.在講授復級數基本性質時，先復習一下實級數的性質，讓學生猜想復級數的性質，然后重點分析二者的性質哪些是相同的，哪些是不同的.在學習復積分的計算時，先舉出實積分的一些例子，有些例子用實積分的方法處理非常麻煩，板書四、五板塊才能做出，有的甚至根本無法求解，這時啟發(fā)學生使用Cauchy積分公式或留數定理，轉化為初中代數運算，在一兩分鐘內解決問題.這樣讓學生感受到復積分方法的神奇，提高學生的學習熱情和積極性.

3 注重教學手段多樣化

數學專業(yè)的復變函數雖然以公式推導理論闡述居多，在教學中我們應將多媒體與傳統(tǒng)的板書結合起來，定理、例題等可以采用投影儀，證明與計算采用板書.對一些較復雜的圖像，最好采用多媒體，這樣立體感較強，圖文清晰，若采用人工畫圖，有時需要十幾分鐘，大大浪費了寶貴的授課時間.由于多媒體投影屏幕大，有利于大班授課，比較適合當前擴招的現狀.一些優(yōu)秀的數學軟件，像Mathematica、Matlab等在我們的教學過程中合理使用也會起到事半功倍的效果.多媒體課件與板書一樣是輔助講課的.利用數學軟件與多媒體授課，學生能把視聽結合起來，信息量大，老師有更多的時間幫助學生掌握復變函數的思想和方法，理解其本質與精髓.因此，利用多媒體授課即能豐富教學內容，開闊認知領域，擴大學生的視野，也使教學的互動性成為可能，解決了復變函數課時偏少的問題［5］.在定義復平面上的無窮遠點、描述擴充復平面和復球面的對應關系以及表示共形映射時，采用多媒體投影，學生反應強烈，情緒高漲.多媒體課件的制作花費大量的時間和精力，教師若將更多的精力放在課件的外觀、功能、效果的設計上，沒有花時間鉆研教材教法或忽視了教材教法的研究是不可取的，多媒體是用來支持教學工作，主要用來解決一些傳統(tǒng)教學中不易解決的問題.

4 結語

復變函數的講授重在讓學生掌握數學方法和數學思想，培養(yǎng)學生的數理邏輯思維和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學生的社會活動能力，這對教師提出了更高的要求.我們必須轉變傳統(tǒng)教學觀念，大膽進行教學改革，嘗試不同的教學方法與教學手段，加強教師與學生的互動，發(fā)揮學生的主體作用，不斷提高課堂效率和教學效果.

［1］谷群輝，鄭洲順，何勇，等.本科應用數學專業(yè)復變函數課程教學方法的改革與實踐［J］.數學理論與應用，2002，(4):23 －25.

［2］鐘玉泉.復變函數論［M］.北京:高等教育出版社，2004.

［3］陳躍.從歷史的角度引入復積分［J］.高等數學研究，2007，(1):14－17.

［4］劉小松.高校師院復變函數課程的教改［J］.湘潭師范學院學報，2007，(4):175 －176.

［5］肖杰，陳翔.大學計算機精品課程教學改革與實踐［J］.長沙大學學報，2011，(5):118 －120.