微積分在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

張 琪

（山西職業(yè)技術(shù)學(xué)院,山西 太原 030006）

微積分是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容。高職院校講授的微積分主要包括：函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用）、微分、不定積分以及定積分。高等數(shù)學(xué)作為一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科和一種精確的數(shù)學(xué)語言，以一種高度抽象的形式出現(xiàn)。任何學(xué)科，只有走向應(yīng)用，顯示出它在各個領(lǐng)域中的作用，才能真正做到“學(xué)以致用”。而數(shù)學(xué)建模，正是聯(lián)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用的重要橋梁，是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的必經(jīng)之路。

一、微積分的發(fā)展與數(shù)學(xué)模型

微積分的創(chuàng)立初衷是為解決17世紀(jì)的科學(xué)問題，如已知物體的加速度，求物體的速度和距離，求函數(shù)的最值，求曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、引力等問題。數(shù)學(xué)家通過對這些問題的研究，開啟了數(shù)學(xué)最龐大部分的開端，也就是分析部分的開端。英國數(shù)學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲，總結(jié)和發(fā)展了幾百年間前人的工作而建立了微積分，但他們的出發(fā)點是直觀的無窮小量，尚且缺乏嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)。19世紀(jì)，柯西和魏爾斯特拉斯把微積分建立在極限理論的基礎(chǔ)上，加之19世紀(jì)后半葉康托爾等建立了實數(shù)理論，又使極限理論有了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，從而使微積分的基礎(chǔ)和思想方法日臻完善。微積分從創(chuàng)立到之后的發(fā)展，都與應(yīng)用結(jié)合在一起，伴隨著在各個領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，微積分才能形成如此完善、嚴(yán)密的理論體系。

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)符號、數(shù)字、公式、文字、圖表等形式來對一個特定對象進(jìn)行刻畫描述，根據(jù)對象具有的內(nèi)在規(guī)律，在作出必要、合理的簡化假設(shè)的基礎(chǔ)上得到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。例如，某一地區(qū)的地質(zhì)結(jié)構(gòu)情況并不需要實物進(jìn)行模擬，它可以用抽象的數(shù)學(xué)符號、數(shù)字和公式來反映。數(shù)學(xué)模型便是一種模擬，它用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子、數(shù)學(xué)圖象等來對實際問題進(jìn)行抽象而又簡潔的刻畫，從數(shù)學(xué)的角度對它進(jìn)行研究，或者能解釋某些客觀現(xiàn)象，或者能預(yù)測未來的發(fā)展變化等等。數(shù)學(xué)模型的建立需要對實際問題作深入細(xì)致的觀察和研究，并且要巧妙地結(jié)合數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)工具，而這種從實際問題到提煉數(shù)學(xué)模型的過程，被稱為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模的基本過程可以簡單地歸納為四個步驟：模型準(zhǔn)備、建立模型、模型求解、模型檢驗。

二、微積分在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，可以說是繼歐氏幾何后數(shù)學(xué)科學(xué)中最輝煌的創(chuàng)造。微積分推動了天文學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個分支的發(fā)展。人們運(yùn)用微積分建立了許多數(shù)學(xué)模型，卓越的英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓在研究變速運(yùn)動過程中發(fā)明了微積分（當(dāng)時稱為流術(shù)法），又以微積分為工具在開普勒三定律及牛頓第二定律的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出牛頓第三定律——萬有引力定律，這一發(fā)現(xiàn)直到今天仍是物理學(xué)中一條基本定律。英國人口學(xué)家馬爾薩斯利用微積分建立了著名的人口指數(shù)增長模型（模型的基本假設(shè)為人口增長率是常數(shù)）。但從長期來看，人口不可能隨時間無限增長，人口增長率會隨環(huán)境、資源、戰(zhàn)爭等因素發(fā)生變化。19世紀(jì)中葉荷蘭生物數(shù)學(xué)家韋爾侯斯特通過微積分建立阻滯增長模型，它不僅能夠大體上描述人口及許多物種數(shù)量（魚塘中的魚群）的變化規(guī)律，而且在社會經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用，例如耐用消費品的銷售量。經(jīng)濟(jì)學(xué)中著名的數(shù)學(xué)模型道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)、經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式也是由微積分得到的。

微積分微分學(xué)主要涉及的科學(xué)問題是求曲線的切線、求瞬時變化率、求函數(shù)的極值及最值等問題，積分學(xué)則更多地運(yùn)用于求由平面曲線圍成的面積、立體圖形的體積以及曲線的弧長等等問題。不同的實際問題運(yùn)用微積分，用不同的數(shù)學(xué)語言來刻畫，得到的數(shù)學(xué)模型也不相同。

利用導(dǎo)數(shù)知識，可以討論經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的邊際分析和彈性分析，例如商家應(yīng)該怎樣對市場進(jìn)行預(yù)測、分析，產(chǎn)品如何定價及價格的調(diào)整會產(chǎn)生多大影響等問題。多元函數(shù)的微積分學(xué)涉及到多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、偏邊際、偏彈性和交叉彈性、條件極值等內(nèi)容，應(yīng)用實例有衣物怎樣漂洗最干凈、相互關(guān)聯(lián)商品的需求分析、拉格朗日乘數(shù)與影子價格等。函數(shù)的極值、最值多涉及比較簡單的優(yōu)化問題，例如易拉罐的形狀與尺寸問題，怎樣能提高材料的利用率，降低生產(chǎn)成本，特別是平均每天產(chǎn)量達(dá)到成千上萬的大企業(yè)，成本問題尤其重要。利用積分的微元法，可以驗證擺線的等時性（最速下降線問題），確定一條從A點到B點得曲線（B點在A點下方但不是正下方），使得一顆珠子在重力的作用下沿著這條曲線滑落所需時間最短，讓人意外的是，它不是連接兩點的直線或者圓弧，而是唯一的一條連接A點到B點的上凹擺線。這個結(jié)論可以解釋為什么我國古代的宮殿廟宇的大屋頂?shù)臋M截面大多近似呈擺線形狀，除了外形雄偉，更具有屋頂雨水流動快的特點。微分方程一般用于建立動態(tài)模型，實際對象的某些特性隨時間而變化，分析它的變化規(guī)律、預(yù)測未來的發(fā)展，有時會研究如何對其進(jìn)行有效的控制。不僅在自然科學(xué)中存在著大量的微分方程，在社會科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中也存在著微分方程，例如計算固定資產(chǎn)的折舊、放射性元素的衰變、水庫的污染問題等等。

微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱，對高職學(xué)生來說，除了必要的理論學(xué)習(xí)與計算之外，更重要的是學(xué)習(xí)一種數(shù)學(xué)思想，并且學(xué)會運(yùn)用這種思想來解決實際問題。微分就是“無限細(xì)分”，積分就是“無限求和”，“無限”便是極限，極限是微積分的基礎(chǔ)，它是用一種“動態(tài)”的角度看待問題。如何將微積分與實際問題結(jié)合在一起，通過微積分來建立數(shù)學(xué)模型呢？下面來看兩個實例。

1.森林救火模型

我們重點來分析建立數(shù)學(xué)模型的思路。

問題分析：消防站派出的隊員越多，相對來說，滅火速度越快，那么森林的損失越小，但是救援的費用越大。如果為了節(jié)省救援費用，只派出少量隊員，就會造成火災(zāi)持續(xù)時間延長，森林的損失就越大。所以需要綜合考慮森林的損失費和救援費，使得兩者的費用之和最低。顯然，森林損失費、救援費與消防隊員的人數(shù)有直接關(guān)系，以總費用最小來決定派出隊員的數(shù)目。這樣，救火問題便可以歸結(jié)為微積分中的函數(shù)極值問題，可以直接用微分法求解。

在對實際問題進(jìn)行深入分析之后，問題轉(zhuǎn)化為如何建立一個總費用與消防隊員人數(shù)兩者之間的函數(shù)關(guān)系，即模型的目標(biāo)函數(shù)。森林的損失費與森林燒毀面積成正比，救援費用分為兩部分，一是滅火器材的消耗，消防隊員的酬勞，與隊員人數(shù)、滅火所用的時間有關(guān)，二是從消防站到火災(zāi)現(xiàn)場的運(yùn)送費等一次性支出費，只和隊員人數(shù)有關(guān)。在明確目標(biāo)函數(shù)如何建立之后，其中一個難點便是如何找到森林燒毀面積B(t)的合理表示。下面我們就借助微積分來解決這一難題。由于森林的損失費用與森林的燒毀面積成正比，而燒毀面積與失火持續(xù)的時間有關(guān)，在沒有任何數(shù)據(jù)支持的情況下，很難得出燒毀面積與時間之間的函數(shù)關(guān)系。我們知道，在消防隊員到達(dá)之前，火勢一定蔓延得很快，可以認(rèn)為火勢以失火點為中心，以均勻速度向四周呈圓形蔓延，在消防隊員到達(dá)現(xiàn)場之后，如果消防隊員的救火能力足夠強(qiáng)，情況就會得到有效控制，火勢就會越來越小。在這種情況下，不如轉(zhuǎn)而去研究燒毀面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dB(t)/dt，也就是單位時間燒毀的面積（火勢蔓延的程度），這樣更為方便和直接。從火災(zāi)的開始時刻t=0到滅火時刻t1，這個時間段是火災(zāi)的持續(xù)時間，那么，我們便可以將森林在這一段時間的燒毀面積表示為在區(qū)間[0,t1]上dB(t)/dt的定積分了，問題迎刃而解。然后再對燒毀森林的損失費、救援費及火勢蔓延程度的形式作出假設(shè)，就能得到救火總費用的數(shù)學(xué)模型。

利用導(dǎo)數(shù)，便可求得問題的最優(yōu)解。建立這個模型的關(guān)鍵是對火勢蔓延程度的假設(shè)，當(dāng)然在建模過程中，我們沒有考慮風(fēng)力的大小，在風(fēng)勢的影響下，模型還需要進(jìn)一步改進(jìn)。

2.微波爐銷售模型

在生活水平日益提高的今天，微波爐越來越受到人們的青睞。對于微波爐生產(chǎn)廠家，應(yīng)該對產(chǎn)品銷售的變化規(guī)律來進(jìn)行研究，以科學(xué)制定生產(chǎn)計劃和促銷策略。顯然，銷售量可以看做是時間的函數(shù)，因為微波爐是耐用產(chǎn)品，所以假設(shè)人們不會重復(fù)購買，產(chǎn)品的累計銷售量與購買者人數(shù)相等。因此，假設(shè)x(t)為t時刻購買微波爐的人數(shù)，x1表示潛在消費者總數(shù)。在時間[t,t+△t]內(nèi)，購買者增量△x與已購買者人數(shù)和未購買者人數(shù)之積成正比，即

△x=ax(t)(x1－x(t))△t(a＆gt;0是比例系數(shù))

取x(0)=b,這就是微波爐銷售量的數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)建模本身就是一個創(chuàng)造性的思維過程，它是分析問題、解決問題的思維過程，數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容來自于實際、方法結(jié)合于實際、結(jié)果應(yīng)用于實際，要選準(zhǔn)切入點，爭取將微積分和實際問題有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想。在上面的例子中，所有的分析都是從實際問題出發(fā)，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，例如單位時間燒毀的面積（火勢蔓延的程度），正是燒毀面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。數(shù)學(xué)建模能力和純粹數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力是不一樣的，它需要不斷地鍛煉和培養(yǎng)。

到目前為止，幾乎數(shù)學(xué)學(xué)科的所有分支都存在于自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)和信息技術(shù)等領(lǐng)域。微積分是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，在數(shù)學(xué)建模中有著非常廣泛的應(yīng)用，優(yōu)化模型中，如存貯模型、最優(yōu)價格模型；微分方程模型中的傳染病模型、經(jīng)濟(jì)增長模型等一系列的經(jīng)典模型都是利用微積分建立起來的?，F(xiàn)在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)已經(jīng)不再僅僅是經(jīng)典理論的學(xué)習(xí)，更多的則是將所學(xué)知識應(yīng)用于實際問題中去，很多實際問題，都可以找到對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對模型的研究、分析，對實際問題會起到一定的指導(dǎo)作用。微積分從創(chuàng)立開始，就一直與實際應(yīng)用結(jié)合在一起。讓學(xué)生學(xué)會如何通過數(shù)學(xué)知識來解決實際問題。數(shù)學(xué)建模提供了一個理論與實際相結(jié)合的平臺，在微積分教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，不僅可以使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識在生活實際中的應(yīng)用，還能提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，做到“學(xué)以致用”。通過數(shù)學(xué)建模的實踐，提高了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，也為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下了堅實的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)走向應(yīng)用的必經(jīng)之路。了解微積分在眾多學(xué)科中的應(yīng)用，理解抽象的定義、公式背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生從實際問題到數(shù)學(xué)模型的提煉的能力，對高等數(shù)學(xué)的教學(xué)改革和課程建設(shè)都將起到積極的推動作用。

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