基于概率模型的高速鐵路地震預(yù)警實(shí)時性與準(zhǔn)確性分析

王　瀾，戴賢春，習(xí)年生，魏　猛

(中國鐵道科學(xué)研究院 鐵道科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展中心，北京　100081)

高速鐵路地震預(yù)警，是根據(jù)地震監(jiān)測臺站實(shí)時測定的地震P波初至信息快速估算的地震動參數(shù)，確定地震影響區(qū)域及其警報等級，在破壞性地震波到達(dá)之前，向地震影響范圍內(nèi)的鐵路系統(tǒng)發(fā)布地震緊急處置信息，聯(lián)動觸發(fā)相關(guān)系統(tǒng)對運(yùn)行列車采取減速或緊急制動。有效的高速鐵路地震預(yù)警及緊急處置措施可使列車在地震災(zāi)害發(fā)生時的損失程度降至最小[1]。隨著我國大范圍高速鐵路的開通運(yùn)營，地震危害的潛在風(fēng)險越來越突顯，對地震預(yù)警系統(tǒng)的實(shí)時性與準(zhǔn)確性要求也越來越高[2-3]。

國外學(xué)者早將地震視為隨機(jī)事件，將概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法用于地震預(yù)警中。Iunio等[4]提出基于概率模型發(fā)布警報的決策規(guī)則：若實(shí)時預(yù)測分析的地震動加速度峰值大于給定警報閾值的概率超過某一臨界概率值時則發(fā)布警報。Andrew和Richard[5]采用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法預(yù)測地震震源位置。Vladimir[6]基于概率模型證明了地震預(yù)警有效性隨震中距和震級的不同而相應(yīng)變化。Richard等[7]采用地震P波初至到系統(tǒng)發(fā)出預(yù)警信息的時延描述地震預(yù)警實(shí)時性，并基于概率模型進(jìn)行了地震預(yù)警實(shí)時性分析。Huseyin等[8]采用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法對地震監(jiān)測臺站密度進(jìn)行了優(yōu)化，進(jìn)一步提高了地震預(yù)警的準(zhǔn)確性。Simona等[9]和Aldo等[10]基于統(tǒng)計(jì)學(xué)方法系統(tǒng)研究了地震事件識別、地震要素估計(jì)和地震預(yù)警方法，研發(fā)的基于概率模型的地震預(yù)警系統(tǒng)(PRESTo)得到成功應(yīng)用。Nakamura等[11]基于統(tǒng)計(jì)學(xué)方法實(shí)時估計(jì)地震要素，研發(fā)的緊急地震檢測報警系統(tǒng)(UrEDAS)提高了日本新干線抗震減災(zāi)能力。Iunio等[12]建立了基于概率模型的地震漏報與地震誤報數(shù)學(xué)模型，并用此評價地震預(yù)警的準(zhǔn)確性。由此可見，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法是研究地震預(yù)警實(shí)時性與準(zhǔn)確性的基礎(chǔ)。

本文結(jié)合我國高速鐵路技術(shù)特點(diǎn)與實(shí)際需求，建立數(shù)學(xué)概率模型，研究高速鐵路地震預(yù)警實(shí)時性與準(zhǔn)確性的分布特征和參數(shù)，通過實(shí)時性與準(zhǔn)確性綜合分析，提出高速鐵路地震預(yù)警發(fā)布決策方法。

1　地震預(yù)警實(shí)時性和準(zhǔn)確性模型

地震預(yù)警的實(shí)時性是指地震預(yù)警信息發(fā)出時刻相對于震中地震發(fā)生時刻的實(shí)時程度。本文采用首臺站地震P波初至到系統(tǒng)發(fā)出預(yù)警信息的時延(簡稱為地震預(yù)警時延)進(jìn)行評價，該時延越小，實(shí)時性越好。

地震預(yù)警的準(zhǔn)確性是指震源定位、震級估算和地震發(fā)生時刻推算的準(zhǔn)確程度；本文采用震源定位偏差進(jìn)行評價，該偏差越小，準(zhǔn)確性越好。

1.1　地震預(yù)警實(shí)時性常規(guī)概率分布模型

地震預(yù)警時延包括：信號濾波時延、數(shù)據(jù)采集時延、數(shù)據(jù)打包時延、數(shù)據(jù)處理時延、預(yù)警決策分析時延、數(shù)據(jù)發(fā)送時延、信息排隊(duì)與傳輸時延等。受地理構(gòu)造、地質(zhì)條件、環(huán)境等不確定性因素影響，在不同的預(yù)警方式、數(shù)據(jù)采集處理、警報發(fā)布決策、數(shù)據(jù)傳輸條件下，地震預(yù)警時延具有較強(qiáng)的不確定性、離散性和隨機(jī)性。實(shí)測數(shù)據(jù)表明，高速鐵路地震預(yù)警時延具有單邊、連續(xù)性、非對稱型隨機(jī)變量分布特征和統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。

針對上述特征，地震預(yù)警時延可采用隨機(jī)變量進(jìn)行描述。常規(guī)的概率分布模型包括正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、伽馬分布模型等。

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)、數(shù)學(xué)期望和方差分別為

-∞

(1)

E(X)=μ

D(X)=σ2

式中：y為概率密度函數(shù)；X為隨機(jī)變量；x為隨機(jī)變量取值；μ為平均數(shù)；σ為標(biāo)準(zhǔn)差。

對數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)、數(shù)學(xué)期望和方差分別為

0

(2)

D(X)=(eσ2-1)e2μ+σ2

伽馬分布的概率密度函數(shù)、數(shù)學(xué)期望和方差分別為

(3)

E(X)=αβ

D(X)=αβ2

式中：α為形狀參數(shù)；β為尺度參數(shù)；Γ(α)為Gamma函數(shù)。

(4)

1.2　地震預(yù)警實(shí)時性精確概率分布模型

1.2.1偏置伽馬分布模型的建立

實(shí)際上，信號濾波、數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)打包、數(shù)據(jù)處理、信息傳輸?shù)葧r延均可視為由隨機(jī)時延和固定時延兩部分組成。隨機(jī)時延由系統(tǒng)自然規(guī)律所決定，具有不確定性、離散性和隨機(jī)性；而固定時延相當(dāng)于接近常量的值，具有確定性和相對性。固定時延無法避免，也就是說，地震預(yù)警時延不會小于1個最小值，在這一最小值時間內(nèi)生成預(yù)警信息的可能性不存在。因而，采用正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布或伽馬分布等概率密度函數(shù)描述地震預(yù)警時延，均存在小概率情況下無法正確評價地震預(yù)警特征的問題。

鑒于此，為更精確地描述地震預(yù)警時延的特征，提出1種地震預(yù)警時延精確概率分布——偏置伽馬分布。偏置伽馬分布函數(shù)的特點(diǎn)是在常規(guī)的伽馬分布函數(shù)基礎(chǔ)上增加了1個偏置量，用于描述固定時延。偏置伽馬分布的概率密度函數(shù)為

T=f(t|α，β)

(5)

即T服從偏置伽馬分布，記為

T～Γ0(α，β，C)t>C

(6)

式中：T為時延隨機(jī)變量；t為時延隨機(jī)變量取值；C為偏置量，且C≥0，當(dāng)樣本數(shù)量足夠大時，可以用樣本最小值作為C的估計(jì)值；Γ0為偏置伽馬函數(shù)，即

(7)

偏置伽馬分布的數(shù)學(xué)期望和方差分別為

(8)

(9)

特征函數(shù)為

Ψ(t-C)=[1-iβ(t-C)]-α

(10)

1.2.2偏置伽馬分布的性質(zhì)

命題，設(shè)T～Γ0(α，β，C)，則有

T-C～Γ(α，β)

(11)

證明：將t-C=x代入式(3)，由于x>0，則t>C，由此可得到式(5)，從而可知T-C～Γ(α，β)，即T-C服從伽馬分布。

由此可知：偏置伽馬分布是一種廣義的伽馬分布，當(dāng)偏置量C=0時，偏置伽馬分布即是伽馬分布。因而，偏置伽馬分布具有伽馬分布的所有性質(zhì)，是一種非對稱、連續(xù)型分布。

1.2.3偏置伽馬分布參數(shù)的極大似然估計(jì)

偏置伽馬分布參數(shù)的極大似然估計(jì)方法如下：設(shè)ti是來自總體的樣本，對于ti>C，將式(5)取似然函數(shù)可得

(12)

對式(12)兩端取對數(shù)，得對數(shù)似然函數(shù)為

(13)

其一階條件為

(14)

(15)

由式(15)得到

[lnΓ0(α)]′

(16)

即

(17)

由此得出

(18)

即

(19)

綜合式(15)和式(17)可得

(20)

(21)

1.3　地震預(yù)警準(zhǔn)確性概率分布模型

震源定位參數(shù)包括震中距、方位角、震源深度等。為簡化起見，本文僅以震中距偏差和方位角偏差作為震源定位偏差，用于評價地震預(yù)警的準(zhǔn)確性。根據(jù)震中距偏差的分布特征，設(shè)其服從伽馬分布；方位角偏差取決于臺站與震中的相對位置、預(yù)警臺站數(shù)、計(jì)算方法等因素，當(dāng)樣本足夠大時，宏觀上可以認(rèn)為其服從均勻分布。因此，以震中距偏差和方位角偏差作為二維隨機(jī)變量，則震源定位偏差的服維概率密度函數(shù)為

(22)

其中，震中距偏差的概率密度函數(shù)為

(23)

式中：X為震中距偏差隨機(jī)變量；x為震中距偏差隨機(jī)變量取值；θ為方位角偏差隨機(jī)變量。

2　模型驗(yàn)證

采用新研發(fā)的某高速鐵路地震預(yù)警系統(tǒng)進(jìn)行地震預(yù)警性能試驗(yàn)。輸入的地震波包括國內(nèi)和日本天然地震記錄數(shù)據(jù)共300條，其震中距分別為0～50，50～100和100 km以上；試驗(yàn)中將地震監(jiān)測臺站坐標(biāo)按照各采集數(shù)據(jù)臺站的實(shí)際經(jīng)緯度進(jìn)行動態(tài)設(shè)置，將天然地震記錄數(shù)據(jù)按照各采集數(shù)據(jù)臺站的實(shí)際時差進(jìn)行回放；時延測試前利用GPS時間校準(zhǔn)；地震監(jiān)測臺站數(shù)分別選取1，2，…，5個。

2.1　實(shí)時性模型驗(yàn)證

分別用正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、伽馬分布、偏置伽馬分布函數(shù)對試驗(yàn)中測試的地震預(yù)警時延進(jìn)行擬合對比，結(jié)果如圖1和圖2所示。由圖1和圖2可以看出：單臺站與多臺站地震預(yù)警時延均可以采用本文提出的偏置伽馬分布概率密度函數(shù)進(jìn)行擬合；偏置伽馬分布概率密度函數(shù)可有效地描述地震預(yù)警時延的偏置量、非正態(tài)形狀以及分布特征。經(jīng)顯著性檢驗(yàn)，表明地震預(yù)警時延服從本文提出的偏置伽馬分布，記為

圖1　單臺站地震預(yù)警時延概率密度函數(shù)擬合

TEEW=Γ0(α，β，C)

(24)

圖2　5個臺站地震預(yù)警時延概率密度函數(shù)擬合

2.2　準(zhǔn)確性模型驗(yàn)證

分別用正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、伽馬分布函數(shù)對試驗(yàn)中測試的地震預(yù)警震中距偏差進(jìn)行擬合對比，結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3　單臺站地震預(yù)警震中距偏差概率密度函數(shù)擬合

圖4　5個臺站地震預(yù)警震中距偏差概率密度函數(shù)擬合

可以看出，采用伽馬分布概率密度函數(shù)描述地震預(yù)警震中距偏差，與其他類型的分布函數(shù)相比，可以更有效地描述其單邊性、連續(xù)性、非對稱型的分布特征。經(jīng)顯著性檢驗(yàn)，表明地震預(yù)警震中距偏差服從伽馬分布，記為

XEEW～Γ(α，β)

(25)

3　地震預(yù)警實(shí)時性與準(zhǔn)確性

3.1　實(shí)時性

不同臺站數(shù)量時，從首臺站P波初至到地震預(yù)警監(jiān)測鐵路局中心系統(tǒng)發(fā)出地震預(yù)警信息，地震預(yù)警時延的偏置伽馬分布概率密度對比如圖5所示，時延統(tǒng)計(jì)值及偏置伽馬分布概率密度函數(shù)參數(shù)的極大似然估計(jì)值見表1，時延統(tǒng)計(jì)值及偏置伽馬分布概率密度函數(shù)參數(shù)變化規(guī)律如圖6所示。

圖5不同臺站數(shù)量時地震預(yù)警時延的偏置伽馬分布概率密度比較

表1　　　　不同臺站數(shù)量時地震預(yù)警時延統(tǒng)計(jì)值及偏置伽馬分布參數(shù)估計(jì)值

圖6不同臺站數(shù)量時地震預(yù)警時延統(tǒng)計(jì)值及偏置伽馬分布參數(shù)的變化規(guī)律

由圖5、圖6和表1不難看出：地震預(yù)警的實(shí)時性隨著預(yù)警臺站數(shù)的增加而下降；描述固定時延的偏置量C隨著預(yù)警臺站數(shù)的增加而明顯增加，描述隨機(jī)時延的平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ均成對數(shù)關(guān)系增長；偏置伽馬分布概率密度函數(shù)的形狀參數(shù)α與臺站數(shù)無顯著對應(yīng)變化規(guī)律；尺度參數(shù)β與臺站數(shù)對應(yīng)關(guān)系密切，雙臺站比單臺站的明顯增加，此后隨著預(yù)警臺站數(shù)的增加而緩慢增加。

3.2　準(zhǔn)確性

不同臺站數(shù)量時地震預(yù)警震中距偏差偏置伽馬分布概率密度對比如圖7所示，震中距偏差統(tǒng)計(jì)值及偏置伽馬分布概率密度函數(shù)參數(shù)的極大似然估計(jì)值見表2，震中距偏差偏置伽馬分布概率密度函數(shù)參數(shù)變化規(guī)律如圖8所示。

圖7不同臺站數(shù)量時地震預(yù)警震中距偏差的偏置伽馬分布概率密度比較

表2不同臺站數(shù)量時地震預(yù)警震中距偏差的統(tǒng)計(jì)值及偏置伽馬分布參數(shù)估計(jì)值

臺站數(shù)/個最小震中距偏差/km平均數(shù)μ/km標(biāo)準(zhǔn)差σ/km形狀參數(shù)α尺度參數(shù)β1137358520218662439014705920762514802245511689215054305917059017952091191869164052103690126230960810787550556133162951274348123

圖8不同臺站數(shù)量時地震預(yù)警震中距偏差的統(tǒng)計(jì)值及偏置伽馬分布參數(shù)變化規(guī)律

由圖7、圖8和表2不難看出：地震預(yù)警準(zhǔn)確性隨著臺站數(shù)的增加明顯提高；地震預(yù)警震中距偏差隨著臺站數(shù)的增加明顯降低，平均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ明顯減小并快速收斂；偏置伽馬分布概率密度函數(shù)形狀參數(shù)α呈凹狀曲線，尺度參數(shù)β呈凸?fàn)钋€。

依據(jù)表2給出的地震預(yù)警震中距偏差偏置伽馬分布參數(shù)估計(jì)值，采用式(21)并經(jīng)坐標(biāo)變換后可得出震源定位偏差的二維概率密度函數(shù)，其中單臺站與5個臺站地震預(yù)警震源定位偏差的二維概率密度如圖9和圖10所示。

圖9　單臺站地震預(yù)警震源定位偏差二維概率密度

圖10　5個臺站地震預(yù)警震源定位偏差二維概率密度

由圖9和圖10可以看出：單臺站地震預(yù)警震源定位偏差分布較為分散，并未向震源中心凝聚；隨著預(yù)警臺站數(shù)的增加，地震預(yù)警震源定位偏差快速減小，其偏差分布向震源中心凝聚，并由寬變窄，震源定位準(zhǔn)確性明顯提高。

3.3　綜合分析

由于地震事件、地質(zhì)構(gòu)造等的不確定性，地震預(yù)警的實(shí)時性與準(zhǔn)確性是一對相互矛盾的性能參數(shù)。若過于強(qiáng)調(diào)實(shí)時性則必定會降低準(zhǔn)確性，若提高準(zhǔn)確性則一定會降低實(shí)時性。同時，準(zhǔn)確性的下降又會減少系統(tǒng)的可信度[13]。

在實(shí)際工程應(yīng)用中，地震預(yù)警的實(shí)時性和準(zhǔn)確性的取舍還與采取地震緊急處置措施所付出的代價有關(guān)[13]，三者的關(guān)系如圖11所示。是否實(shí)時采取地震緊急處置措施，取決于緊急處置措施的影響程度和采取緊急處置措施所付出的代價。如果采取地震緊急處置措施的代價昂貴，則不必過于強(qiáng)調(diào)地震緊急處置的實(shí)時性，如生命線工程的停機(jī)可能代價昂貴，那就不得不最大限度地提高地震預(yù)警的準(zhǔn)確性，以避免因可能發(fā)生的地震誤報而采取緊急處置所帶來的經(jīng)濟(jì)損失，但這樣可獲得的預(yù)警提前時間十分有限。對于學(xué)校而言，地震到來前，盡快讓人員逃離到室外空曠場地躲避是最好的地震應(yīng)對措施，該措施除造成一定的課時損失外幾乎不必付出任何代價，因而獲取充分的預(yù)警提前時間比過于強(qiáng)調(diào)預(yù)警準(zhǔn)確性更為重要。

圖11　地震預(yù)警的實(shí)時性和準(zhǔn)確性與措施代價的關(guān)系

對于高速鐵路而言，地震預(yù)警的實(shí)時性與準(zhǔn)確性均很重要。實(shí)時性好，可在破壞性地震波到達(dá)之前采取有效的制動措施，避免運(yùn)行的高速列車脫軌或傾覆；準(zhǔn)確性好，可減少對正常運(yùn)輸秩序的影響。鑒于實(shí)際上實(shí)時性與準(zhǔn)確性無法完全兼得，因此在進(jìn)行地震緊急處置決策時需兼顧地震預(yù)警的實(shí)時性與準(zhǔn)確性。為此，針對目前我國高速鐵路地震預(yù)警臺站布設(shè)現(xiàn)狀，建議采用3個臺站地震預(yù)警的方法。3個臺站地震預(yù)警可實(shí)現(xiàn)：在70%概率情況下地震預(yù)警時延小于7 s；在70%概率情況下震中距偏差小于20 km。

4　結(jié)　語

(1)地震預(yù)警時延服從偏置伽馬分布。隨著預(yù)警臺站數(shù)的增加，地震預(yù)警的時延增加，即地震預(yù)警的實(shí)時性相應(yīng)下降，其中描述固定時延的偏置量C明顯增加，描述隨機(jī)時延的平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ成對數(shù)關(guān)系增長。

(2)地震預(yù)警震中距偏差服從伽馬分布。隨著預(yù)警臺站數(shù)的增加，震中距偏差明顯降低，即地震預(yù)警的準(zhǔn)確性明顯提高，其中平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ明顯減小并快速收斂；隨著預(yù)警臺站數(shù)的增加，震源定位偏差快速減小，其偏差分布向震源中心凝聚，并由寬變窄，震源定位準(zhǔn)確性明顯提高。

(3)采用3個臺站地震預(yù)警方法可兼顧實(shí)時性與準(zhǔn)確性，是滿足高速鐵路地震預(yù)警需求的有效方法，實(shí)時性可達(dá)到全系統(tǒng)時延在70%概率情況下小于7 s，準(zhǔn)確性可實(shí)現(xiàn)在70%概率情況下震中距偏差小于20 km。

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