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    淺談駐波實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)理論及其“二分頻“現(xiàn)象

    2013-08-14 05:27:52
    河南科技 2013年11期
    關(guān)鍵詞:弦線音叉駐波

    常 理

    (華南理工大學(xué)廣州學(xué)院 物理實(shí)驗(yàn)中心,廣東 廣州 510800)

    駐波實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的一個重要組成部分,可以讓學(xué)生對駐波形成條件、橫波產(chǎn)生與傳播等形象直觀地理解,是力學(xué)演示實(shí)驗(yàn)的重要內(nèi)容之一。駐波實(shí)驗(yàn)研究種類多,如驗(yàn)證頻率與波長的關(guān)系、驗(yàn)證波長與張力的關(guān)系、平面駐波和立體駐波判別、“二分頻“現(xiàn)象等等。各類研究都離不開駐波實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)理論,只有有效掌握基礎(chǔ)理論,方可對實(shí)驗(yàn)進(jìn)行清晰合理的解釋和有效的改進(jìn)。如在頻率測量中,弦線與音叉臂平行共振或者是垂直共振是最常見的兩種實(shí)驗(yàn)方案,實(shí)驗(yàn)中用平行共振方法可以得到的駐波的頻率與音叉的振動頻率相同,而用垂直共振法得到的駐波的頻率僅有音叉的振動頻率的50%,這種“二分頻”現(xiàn)象如何讓學(xué)生利用基礎(chǔ)理論知識與物理規(guī)律去理解,是實(shí)驗(yàn)教學(xué)需要重點(diǎn)探討的問題。

    1 駐波實(shí)驗(yàn)原理理論

    1.1 駐波形成理論

    駐波的形成是張緊的弦線在電振音叉的帶動下發(fā)生振動,促使得入射波形成,再在弦線的支撐點(diǎn)滑輪時發(fā)生反射,從而促使反射波也形成,在迭加的情況下,當(dāng)達(dá)到某一條件就可以發(fā)生共振,形成駐波,其方程為:

    在x=0處,y=0,由1-1式可得,當(dāng)?shù)竭_(dá)反射條件時,可知在弦線的另一端必定出現(xiàn)另一個節(jié)點(diǎn),即有:

    由1-1和1-2式可知,在駐波地弦線上形成時,弦線長度l必定是半波長n倍(n為整數(shù)),所以,駐波實(shí)驗(yàn)可以用于測試波長。

    1.2 橫波傳播理論

    橫波傳播理論主要討論傳播速度與波長。設(shè)x軸為正方向傳播,若橫波地張緊的弦線上向正方向傳播,取某一小段作AB=ds為研究對象。設(shè)弦線的線密度用ρ表示,弦線質(zhì)量用ρds表示,AB的張力分別為TA、TB,與沿弦線切線方向一致,與正方向x軸的交角分別是?A、?B角。一般情況下,橫波在沿線上傳播時,x方向并無明顯的振動,因此,在AB段上的張力分量為0,可以得:

    由力學(xué)知識可得在y方向AB的運(yùn)動方程為:

    在AB段發(fā)生的小振動,?A、?B比較小,可以認(rèn)為 ds≈dx,cos?A=cos?B=1,sin?A=tg?A,sin?B=tg?B,可導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以得到:

    由1-4與1-5式可知,TA=TB,這就說明了弦線的張力比較穩(wěn)定,不隨時間和地點(diǎn)變化而變化,設(shè)弦線張力為T,有:

    由泰勒級數(shù)展開式推導(dǎo)可得:

    由1-8式可知,波長λ在橫波傳播速度v、線密度ρ及張力T都知道的情況下,可以直接求解得出,波長隨著張力變化而變化,并可利用1-2式進(jìn)行驗(yàn)證。

    2 兩種共振實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及其理論分析

    下圖為弦線與音叉臂平行共振及垂直共振實(shí)驗(yàn)圖。當(dāng)弦線處在a位置時,而且保持張力為一定的值,就可以通過調(diào)整弦長來觀察駐波的波形。根據(jù)下圖下示,通過變換方位對來實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行分析。

    2.1 弦線與音叉臂平行共振

    在0-a方向上,通過調(diào)節(jié)得出弦長是半波長的偶數(shù)倍且駐波穩(wěn)定時,保持張力和弦長不改變,通過逐漸增大θ,波形穩(wěn)定之后,此時觀察到水平方向與豎直方向的波長比是1:2,同期也是1:2,當(dāng)張力和弦長發(fā)生改變時,弦上就會生產(chǎn)一些復(fù)雜的波形。

    通過以上的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,我們可以得出,當(dāng)弦線在音叉的擺動下,容易產(chǎn)生擺動與拉伸的效果,并且產(chǎn)生對應(yīng)的二駐波,在迭加的情況下,產(chǎn)生了復(fù)雜的駐波。在滿足實(shí)驗(yàn)要求時,二駐波波長為1:2,與水平方向與豎直方向波長比相吻合。由實(shí)驗(yàn)圖可知,音叉在水平方向上擺動,這樣駐波的形成必定是水平平面;而橫波的形成主要是由于重力作用,因此駐波的形成必定為垂直平面,水平和豎直兩個不同方向觀察的波形是1:2。在偏離實(shí)驗(yàn)條件情況下,弦線的擺或者是拉伸沒同時滿足形成駐波條件,此時就會出現(xiàn)迭加復(fù)雜的平面波。

    2.2 弦線與音叉臂垂直共振

    由于音叉擺動是產(chǎn)生橫波的源頭,因此,要獲得穩(wěn)定的駐波,調(diào)整弦長也是一個很好的方法,但這方法與普通的方法存在著較大的區(qū)別,可以在同一平面上的兩個幅度差異比較大的垂直振動進(jìn)行拉伸,從而影響主駐波。當(dāng)弦線換成0-a,0-d時,也可以產(chǎn)生駐波,但最主要是以叉水平運(yùn)動為主,更改后變化不大。因此,可以得出音叉擺動同時作用于水平弦線的與垂直平面弦線,但通是以水平分量為主,垂直分量成為了影響主駐波的重要因素,等垂直分量明顯時,弦上的波形就越復(fù)雜。

    3 駐波實(shí)驗(yàn)“二分頻”現(xiàn)象

    在上述實(shí)驗(yàn)中,當(dāng)弦線與張力滿足一定條件時,就會看到弦線產(chǎn)生比較穩(wěn)定而清晰的共振駐波,設(shè)固定端為波節(jié)。在實(shí)驗(yàn)中,如果弦線與音叉臂發(fā)生平行共振且形成駐波的半波數(shù)為偶數(shù),那么,在不改變其他條件時,讓弦線與音叉臂垂直,可以看到狀態(tài)依然是共振狀態(tài),而且線上半波數(shù)變成了原來的一半,共振頻率僅是原來的一半,這就是“二分頻”現(xiàn)象。

    針對“二分頻”現(xiàn)象,解釋有兩種方法,一是根據(jù)基本的物理規(guī)律透過現(xiàn)象看物理本質(zhì),作出一定的解決;二是通過數(shù)值演示,讓學(xué)生在過程中受到啟發(fā)。由振動與波動理論可知,形成共振駐波有兩個條件,一是音叉的作用力對弦線做正功,二是弦線長度應(yīng)當(dāng)是波長的整數(shù)倍?,F(xiàn)通過數(shù)值模似方法來對“二分頻”現(xiàn)象進(jìn)行解釋。由受迫振動條件可知,在音叉給弦線的驅(qū)動力對系統(tǒng)不斷做功,使得系統(tǒng)能量不斷得以補(bǔ)充,從而產(chǎn)生共振駐波。此時的系統(tǒng)參數(shù)會發(fā)生系列變化,在重力和張力的作用下,法碼的單擺擺長也呈現(xiàn)出與時間的致的規(guī)律,關(guān)系如下式。

    化簡得:

    式中的參數(shù)β會隨著時間的改變而發(fā)生變化,由推導(dǎo)得出:

    從以上式中看出,3-2式顯然是一個非線性的微分方程,解決過程非常復(fù)雜,對于獨(dú)立學(xué)院非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說不作要求,但有條件的院校學(xué)生還可以通過Matlab軟件對以上方程進(jìn)行數(shù)值求解。

    [1]張建從,康良溪.駐波實(shí)驗(yàn)的研究與設(shè)計(jì)[J]教學(xué)儀器與實(shí)驗(yàn).2004年第12期

    [2]韓敬,鐘方川,李林.Matlab在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用[J]大學(xué)物理實(shí)驗(yàn).2008年第1期

    [3]吳澧旸,謝偉成.駐波實(shí)驗(yàn)演示裝置[J]教學(xué)儀器與實(shí)驗(yàn).2011年第5期

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