微分中值定理的推廣與應(yīng)用

程 娜

遼寧廣播電視大學(xué) （沈陽 110034）

1 中值定理的內(nèi)容及聯(lián)系

1.1 基本內(nèi)容

1.1.1 Rolle定理

1.1.2 Lagrange定理

1.1.3 Cauchy定理

1.2 三個(gè)定理之間的聯(lián)系

對這三個(gè)定理進(jìn)行觀察和類比，從中可以發(fā)現(xiàn)這三個(gè)定理?xiàng)l件和結(jié)論都很相似，通過改變條件還可能互相轉(zhuǎn)化。從而我們可以得出這樣的結(jié)論：拉格朗日（Lagrange）定理是羅爾（Rolle）定理的推廣，而羅爾（Rolle）定理是拉格朗日（Lagrange）定理的特例，拉格朗日（Lagrange）定理是柯西（Cauchy）定理收縮，而柯西定理則是拉格朗日定理的推廣。

2 定理的推廣

3 定理的應(yīng)用

3.1 利用微分中值定理來證明不等式

例 設(shè)函數(shù) f( x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f( 0)= 0 ,f( 1)= 1 。試證：對任意給定的正數(shù)a, b在(0,1)內(nèi)不同的ξ,η

又由于 f( x)在[0,1]上連續(xù)且 f ( 0)= 0 ,f ( 1)= 1 。由介值性定理,? τ ∈ ( 0,1)使得

f( x)在[0,τ],[τ,1]上分別用拉格朗日中值定理有

即

即

于是由上面兩式有

將兩式相加得

3.2 用微分中值定理求極限

解：根據(jù)題意，由Lagrangge定理，有

3.3 利用定理證明方程根（零點(diǎn)）的存在性

對微分中值定理的研究和應(yīng)用從微積分建立之初就開始了，本文從三個(gè)方面介紹了該定理的運(yùn)用。通過以上的例題讓大家了解，運(yùn)用中值定理的關(guān)鍵和解題的難點(diǎn)，是在于構(gòu)造輔助函數(shù)。對微分中值定理本課題主要是以羅爾定理、拉格朗日定理和柯西定理，三個(gè)定理之間的聯(lián)系為主要的研究對象，希望通過本篇文章能夠使大家對微分中值定理的內(nèi)容更加深刻了解，同時(shí)在應(yīng)用中值定理時(shí)更加熟練。

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析第三版[M].北京：高等教育出版社,2001.

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