映射變換方法在數(shù)學分析中的應用

高婷婷，張明會

（隴南師范高等專科學校 數(shù)學系，成縣742500）

1 數(shù)學變換方法的特征概述

所謂數(shù)學變換方法，概括地講，就是在解決數(shù)學問題時，采用迂回的方式和“改頭換面”的手段來達到目的的一種方法.具體地講，就是在研究或解答數(shù)學問題時，將復雜的問題通過適當?shù)淖儞Q轉化成簡單的問題，將繁難的問題通過適當?shù)淖儞Q轉換成容易的問題，從而達到解決問題的目的.

從思維特征看：數(shù)學變換方法不是“守株待兔”，而是主張在運動、變化中去尋求問題的答案.這就是所謂的動態(tài)思維.

從方法的特征看：數(shù)學變換方法的主要特征是靈活、多樣，即對同一個數(shù)學結構，其變形方式并非唯一，而是多方位的，可以通過各種可能的途徑去求得問題的解決.正因為這種多樣性，就給人們解決問題提供了很大的自由度.

從數(shù)學結構的內在規(guī)律性看：數(shù)學結構組成元素之間的互相依存和聯(lián)結的形式具有可變性，人們正是利用了這種可變性的特征，來強化自身在解決數(shù)學問題時的應變能力，而不斷地提高自己解決數(shù)學問題的技能和技巧.

雖然用變換的方法解決數(shù)學問題形式多樣、方法靈活，但已解決問題過程的整體邏輯結構框架來看，卻有其相同和相似之處.因此，在介紹用變換方法解決具體問題之前，有必要指出它們的共性，即變換方法應用中都具有如下相同的思路結構框架：

從以上變換方法的邏輯結構框架可以看出，要用變換方法解決數(shù)學問題，關鍵在于尋找變換T與其逆變換T－1的表達式，這就為人們提出了兩個尚待探討的問題：一是對每一個數(shù)學問題都能通過某種變換方法得到解決.這就表明，變換方法盡管靈活且應用廣泛，但并非萬能.二是如果這樣的變換存在，如何具體地找出來？一般地講，這既非變換方法本身所能解決，也非全靠邏輯思維所能辦到，主要靠高度的想象力和洞察力去進行探索性的發(fā)現(xiàn).

2 映射變換

用集合與對應的觀點看，映射就是在兩個集合元素之間建立的一種特殊的對應關系.映射變換的主要特點是：靈活性強，覆蓋面廣.利用映射變換解決問題的思路結構框架是：

從現(xiàn)代數(shù)學的觀點看，數(shù)學分析中的函數(shù)關系，就是由實數(shù)集到實數(shù)集的特殊映射.下面舉例說明映射變換方法在數(shù)學分析中的一些具體應用.

例1 定積分的換元公式

設f在區(qū)間（a，b）上連續(xù)，函數(shù)x＝φ（t）足條件：

①將區(qū)間（α，β）變?yōu)閰^(qū)間（a，b），且φ（α）＝a，φ（β）＝b；

②在（α，β）上有連續(xù)導數(shù)φ′（t）；則

例2 在二重積分的計算中，極坐標變換為

其逆變換為：

此變換極為有用，二重積分極坐標變換公式為：

在三重積分的計算中，柱坐標與球坐標變換經常使用，點P 的直角坐標（x，y，z）與柱坐標（r，θ，z）有變換式；

三重積分的柱坐標變換公式是：

點P的直角坐標 （x，y，x）與球坐標（ρ，φ，θ）的變換式為

三重積分的球坐標變換式為：

例3 在求某些冪級數(shù)的和函數(shù)時，采用映射變換的方法往往很有效，例如

10求冪級數(shù)

的和函數(shù)

解 設和函數(shù)為f（x），取微分算子D作為映射，即

于是有

對上式兩邊積分得

從而有

又因f（0）＝0，故有

f（x）＝ （1＋x）ln（1＋x）－x 20求冥級數(shù)

1·2＋2·3x＋3·4x2＋…＋（n＋1）（n＋2）xn＋…的和函數(shù)

解 取積分算子∫作為映射，即

于是有

再對g（x）作一次積分映射，即

對（2）式兩邊求導，得

從而有

將（3）式代入（1）式有

對上式再兩邊求導，即得原級數(shù)的表達式.

［1］ 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［2］ 馬振華.離散數(shù)學導引［M］.北京：清華大學出版社，2006.

［3］ 裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法［M］.北京：高等教育出版社，2002.

［4］ 馬振民，呂克璞.微積分習題類型分析［M］.蘭州大學出版社，1999.

［5］ 張明會.恒等變換方法在數(shù)學分析中的應用［J］.湖南工程學院學報，2011（2）.