可交換冪等矩陣的性質(zhì)及推廣

袁 力 （鄖陽(yáng)師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)系，湖北 十堰442000）王建華 （武漢理工大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，湖北 武漢430070）

冪等矩陣及其線性組合的相關(guān)性質(zhì)在可對(duì)角化矩陣的譜分解和概率統(tǒng)計(jì)中都有著重要的應(yīng)用，現(xiàn)已成為矩陣?yán)碚撗芯恐幸粋€(gè)活躍的分支。1999年，Jurgen GroB給出了一個(gè)復(fù)矩陣Hermitian部分的冪等性［1］；2002年，Baksalary J K較為系統(tǒng)的討論了2個(gè)冪等矩陣線性組合冪等性的問題［2－3］；2004年，Ozdemir H，Ozban A Y研究了可交換冪等矩陣線性組合冪等的條件［4］；2008年Benite J，Thome N進(jìn)一步給出了當(dāng)A是冪等矩陣，B是t－冪等矩陣時(shí)，A與B不可交換以及可交換2種情況下，它們線性組合冪等性的刻畫［5－6］。下面，筆者將在可交換的基礎(chǔ)上對(duì)冪等矩陣的乘積、和、差，及其值域與核的性質(zhì)展開研究，并對(duì)文獻(xiàn) ［3－4］的結(jié)論做了推廣。

1 基本概念

定義1 設(shè)矩陣A∈Pn×n，滿足A2＝A，則稱A為冪等矩陣。

定義2 設(shè)矩陣A、B∈Pn×n且滿足AB＝BA，則稱矩陣A與B可交換。

引理1［7－9］設(shè)A ∈Pn×n，且A2＝A，則：

（1）存在可逆矩陣Q∈Pn×n，使得Q－1AQ ＝diag［Ir·O］，其中r＝rank（A）；

（2）I－A 仍為冪等矩陣，并且A（I－A）＝ （I－A）A＝O；

（3）A的核等于I－A的列空間，I－A的核等于A的列空間。

引理2［10］設(shè)A∈L（V）（A∈L（V）為定義在線性空間V上的所有線性變換構(gòu)成的集合），且A2＝A，則V ＝Im（A）⊕Ker（A）。

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)A，B∈Pn×n滿足A2＝A，B2＝B，且AB＝BA，則AB為冪等矩陣，并且：

證明 由于（AB）2＝ABAB＝A2B2＝AB，所以AB為冪等矩陣。又因Im（AB）＝Im（BA），所以Im（AB）?Im（A）∩Im（B）。對(duì)于任意α∈Im（A）∩Im（B），則α＝Aα＝Bα＝ABα，即α∈Im（AB），所以Im（A）∩Im（B）?Im（AB），故可知Im（AB）＝Im（A）∩Im（B）。又因Ker（A）?Ker（BA），Ker（B）?Ker（AB），則 Ker（A）＋Ker（B）? Ker（AB）。同時(shí)，對(duì)于任意β∈Ker（AB），則有B（β）∈Ker（A），而β＝Bβ＋（I－B）β，則有β∈ Ker（A）＋Ker（B），即 Ker（AB）? Ker（A）＋Ker（B），所以可得 Ker（AB）＝ Ker（A）＋Ker（B）。

證明 將B的展開式代入驗(yàn)證，充分性即可得證。下面證明必要性。由A2＝A及引理1的結(jié)論（1）可知，存在可逆矩陣P1∈Pn×n，使得A＝P1（Ir，O）P－11，其中r＝rank（A）。

由定理2可以推得文獻(xiàn)［3－4］的主要結(jié)論，并且進(jìn)一步可以得到下面2個(gè)推論，同時(shí)應(yīng)用定理1的方法還可推得這些冪等矩陣值域與核之間的關(guān)系。

推論1 設(shè)A，B∈Pn×n，滿足A2＝A，B2＝B，則A＋B為冪等矩陣的充分必要條件為AB＝BA＝0，并且：

證明 （充分性） 因（A＋B）2＝A2＋AB＋BA＋B2＝A＋B，即A＋B為冪等矩陣。又因Im（A＋B）?Im（A）＋I(xiàn)m（B），則由引理1的結(jié)論（1），可知：

所以Im（A＋B）＝Im（A）⊕Im（B）。又易知Ker（A）∩Ker（B）?Ker（A＋B），而對(duì)于任意的α∈Ker（A＋B），有Aα＝－Bα，從而Aα＝－ABα＝0，即α∈Ker（A）。同時(shí)，對(duì)于任意ξ∈Ker（B），也即ξ∈Ker（A）∩Ker（B），則Ker（A＋B）?Ker（A）∩ Ker（B），所以 Ker（A＋B）＝Ker（A）∩Ker（B）。

（必要性） 因A＋B為冪等矩陣，則由（A＋B）2＝A＋B，可知AB＋BA＝0。在等式兩邊分別左乘以A，右乘以A，可得：

由A2＝A，可知上述等式即為AB＋ABA＝0，ABA＋BA＝0，所以AB＝BA＝0。

推論2 設(shè)A，B∈Pn×n，滿足A2＝A，B2＝B，則A－B為冪等矩陣的充分必要條件為AB＝BA＝B，并且：

證明 （充分性） 因（A－B）2＝A2－AB－BA＋B2＝A＋B－2B＝A－B，即A－B為冪等矩陣。

（必要性） 由引理1的結(jié)論（2），可知，若A－B為冪等矩陣，則I－（A－B）＝（I－A）＋B仍為冪等矩陣，并且有 （I－A）B＝B（I－A）＝O，即AB＝BA＝B；由引理1的結(jié)論（3），可知：

定理3 設(shè)A，B ∈Pn×n，且A2＝A，則Im（A），Ker（A）是B 的不變子空間的充分必要條件是AB＝BA。

證明 充分性運(yùn)用不變子空間的定義可直接得證，下證必要性。因Im（A），Ker（A）都是B的不變子空間，則對(duì)任意α∈V，因A2＝A，則由引理2可知V＝Im（A）⊕Ker（A），所以α可表示為α＝α1＋α2，其中α1∈Im（A），α2∈Ker（A）故存在β∈V，使α1＝A（β）并且A（α2）＝0。

因?yàn)镮m（A）是B的不變子空間，故B（Aβ）∈Im（A），即存在α3∈V，使得B（Aβ）＝A（α3），則：

所以對(duì)于任意α∈V，有ABα＝BAα，即AB＝BA。

［1］Jurgen Grob.Idempotency of the Hermitian part of a complex matrix ［J］.Linear Algebra and its Applcations，1999，289：135－139.

［2］Baksalary J K，Baksalary O M.IdemPoteney of linear combinations of two Idempotent matriees ［J］.Linear Algebra Apply，2000，321：3－7.

［3］Baksalary J K，Baksalary O M，Styan G P H.Idempotency of linear combinations of an idempotent matrix and a tripotent matrix ［J］.Linear Algebra Apply，2002，354：21－34.

［4］Ozdemir H，OZban A Y.On idempotency of linear combinations of idempotent matrices［J］.Appl Math Comput，2004，159：439－448.

［5］Benite J，Thome N.Idempotency of linear combinations of an idempotent matrix and a t－potent matrix that commute ［J］.Linear Algebra APPI，2005，403：414－418.

［6］Benite J，Thome N.Idempotency of linear combinations of an idempotent matrix and a t－potent matrix that do not commute ［J］.Linear and Multilinear Algebra，2008，56：679－687.

［7］寧群 .關(guān)于冪等陣的相似與線性組合 ［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2004，20 （3）：84－86.

［8］張俊敏，成立花，李柞 .冪等矩陣線性組合的可逆性 ［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2007，23（2）：231－234.

［9］Horn R A，Johnson C R.Matrices analysis［M］.New York：Cambridge University Press，1991.

［10］汪杏枝 .維線性空間上的冪等秩的線性變換 ［J］.湖北師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，21（2）：18－22.