非線性有效壓力計(jì)算

肖文聯(lián)，李 閩，趙金洲，趙世旭

西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610500

1 引 言

有效壓力方程（peff＝pc－αpp）是研究巖石滲透率和孔隙度等物性參數(shù)隨孔隙壓變化的重要基礎(chǔ)［1］.研究者一般把有效壓力看成是線性的，即有效壓力方程中的系數(shù)α是常數(shù)［2－5］.α＝1.0時對應(yīng)的是經(jīng)典的Terzaghi有效壓力方程［5］.研究者可根據(jù)Terzaghi有效壓力方程把變圍壓實(shí)驗(yàn)結(jié)果轉(zhuǎn)換成孔隙壓對巖石物性參數(shù)影響的結(jié)果［1］.不少研究者利用Terzaghi線性有效壓力方程開展了大量的工作，發(fā)現(xiàn)巖石滲透率隨圍壓的變化顯著［6－8］；高滲巖石孔隙度隨圍壓的變化相對較大，而低滲巖石孔隙體積太小以至實(shí)驗(yàn)誤差相對圍壓對孔隙度的影響更顯著，于是低滲巖石的孔隙度常借助與滲透率的關(guān)系計(jì)算得到［7］.在 Robin［2］進(jìn)一步定義有效壓力概念，并認(rèn)為非線性有效壓力（α不是常數(shù)）不會滿足其給出的有效壓力定義后，很多研究者認(rèn)為沒有應(yīng)用意義的非線性有效壓力.因此，也就難以見到用非線性有效壓力來研究巖石物性隨孔隙壓變化規(guī)律相關(guān)文獻(xiàn).然而用線性有效壓力研究巖石物性隨孔隙壓的變化常常與實(shí)際物性隨孔隙壓的變化規(guī)律不一樣，因此促使一些研究人員［9－13］不斷地探索有實(shí)際應(yīng)用意義的非線性有效壓力.研究有效壓力的關(guān)鍵是確定有效壓力系數(shù)α，基于實(shí)驗(yàn)測試獲取有效壓力是一種有效的方法.至今關(guān)于非線性有效壓力的研究很少，文獻(xiàn)報(bào)道的關(guān)于α的實(shí)驗(yàn)分析方法主要有微分法［10，14］、交繪圖法［10，15］和響應(yīng)面法［12－13］.

最初的微分法是Kranz等［14］根據(jù)實(shí)驗(yàn)滲透率與圍壓和孔隙壓的差值滿足某一函數(shù)關(guān)系，建立了滲透率與圍壓和孔隙壓的差值間的微分方程和α的計(jì)算公式.交繪圖法是 Walsh［15］用滲透率公式k1／3＝Alog（pp）＋B（A、B是擬合系數(shù)）擬合不同圍壓下滲透率與孔隙壓的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在［pp，pc］平面圖上繪制滲透率等值線，等值線的斜率即為有效壓力系數(shù).之后，Bernabé［10］通過建立滲透率與圍壓和孔隙壓的微分方程，并假定在某點(diǎn)很小的范圍內(nèi)α為常數(shù)，推導(dǎo)得α＝－（δk／δpp）／（δk／δpc）；改變相同大小孔隙壓或者圍壓，測滲透率的變化量，那么α＝－δkp／δkc；或者改變孔隙壓δpp和圍壓δpc使得滲透率變化值相等，那么α＝－δpc／δpp，這與［pp，pc］平面圖上滲透率等值線斜率相等.同時，Bernabé［10］通過修正 Walsh公式［15］為kn＝Alog（pc）＋B（0＜n≤1／3，n是與孔隙壓相關(guān)的系數(shù)）完善了交繪圖法.Bernabé［10］用這兩種方法分析了裂縫花崗巖滲透率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)［10］和Todd的花崗巖縱波速度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)［9］，得到α隨圍壓的增加而減小，隨孔隙壓的增加而增加.然而每個實(shí)驗(yàn)點(diǎn)測試質(zhì)量對微分法計(jì)算的α影響較大；隨圍壓的增加，交繪圖法對滲透率的擬合誤差增加，α的計(jì)算誤差也增加.此后，Warpinski和Teufel［12］用響應(yīng)面方法分別獲取了碳酸鹽巖和低滲砂巖整個測試壓力范圍內(nèi)滲透率和體應(yīng)變與圍壓和孔隙壓的函數(shù)關(guān)系.他們用α ＝－ （δk／δpp）／（δk／δpc）計(jì)算得到碳酸鹽巖α變化范圍較小，有效壓力可視為線性的；而低滲砂巖α變化范圍較大（0.4～1.1），有效壓力非線性明顯.響應(yīng)面法的優(yōu)點(diǎn)在于最大限度地保證了α沿測點(diǎn)路徑上變化的連續(xù)性，在整個實(shí)驗(yàn)測試范圍內(nèi)，基本上不會因測試路徑上數(shù)據(jù)質(zhì)量問題而造成α上下波動.Li等［13］也采用響應(yīng)面法分析了含微裂縫低滲砂巖的有效壓力實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)每塊巖樣的α隨圍壓和孔隙壓的變化而變化（0～1.23），有效壓力表現(xiàn)出明顯的非線性特征.同時，Li等［13］還證明了部分巖樣在不同孔隙壓循環(huán)圍壓下有效壓力與滲透率幾乎完全重合在一起，初步論證得到了有應(yīng)用意義的非線性有效壓力.

上述三種方法本質(zhì)都是基于α＝－（δk／δpp）／（δk／δpc）來計(jì)算有效壓力系數(shù).對比分析 Bernabé在 ［pp，pc］平面上的滲透率等值曲線形態(tài)［11］可以發(fā)現(xiàn)，這三種方法獲取的α等于 ［pp，pc］平面圖上對應(yīng)壓力點(diǎn)處滲透率等值線切線的斜率.Bernabé稱之為切線有效壓力系數(shù)αt，對應(yīng)的有效壓力是切線有效壓力.對非線性有效壓力的不斷探討，使人們進(jìn)一步意識到非線性有效壓力的客觀存在.按照［pp，pc］滲透率等值線的變化形態(tài)分析，只有當(dāng)滲透率等值線是直線時切線有效壓力才有實(shí)際意義，這是Li等［13］部分巖樣各個測點(diǎn)的有效壓力與滲透率重合很好的原因.如果按照Bernabé［11］猜測的滲透率等值線有時是一向上凹的曲線，那么現(xiàn)有方法得到的有效壓力此時不滿足有效壓力的基本定義.本文通過引入割線有效壓力系數(shù)αs并計(jì)算割線有效壓力，得到了滿足Robin［2］定義的有效壓力概念且有實(shí)際應(yīng)用價值的非線性有效壓力.

2 非線性有效壓力及計(jì)算步驟

為了更好地理解非線性有效壓力，首先回顧一下Robin［2］關(guān)于有效壓力的基本概念.Robin指出，巖石的各種性質(zhì)會在圍壓pc和孔隙壓pp的作用下發(fā)生變化.因此，巖石的性質(zhì)是圍壓和孔隙壓的函數(shù).如果所研究的對象是巖石的滲透率，滲透率k可以表示為圍壓和孔隙壓的函數(shù)，那么有：

根據(jù) Robin［2］的觀點(diǎn)，當(dāng)孔隙壓等于零時，式（1）可以表示為：

如果孔隙壓不為零，那么就定義一個有效壓力peff，其對巖石滲透性的作用與孔隙壓為零時圍壓對巖石滲透性作用產(chǎn)生的影響相同，也和某一圍壓和孔隙壓共同對巖石的滲透性作用的效果一樣，這個壓力peff稱為滲透率有效壓力，通常簡稱為有效壓力.從有效壓力的定義可以看出，任意圍壓和孔隙壓的組合，只要它們的有效壓力相等，那么巖石物性也相同.若不滿足這一條，那么得到的有效壓力就沒有實(shí)際的應(yīng)用意義.

有效壓力可表示為pc和pp的函數(shù).如有效壓力方程是線性的，那么有：

式中有效壓力系數(shù)α是常數(shù).如果有效壓力方程是非線性的，得到下面的表達(dá)式［10－11，13］：

此時有效壓力系數(shù)是圍壓和孔隙壓的函數(shù).Robin認(rèn)為式（3）符合有效壓力的概念，原因是α有時取常數(shù)時，用有效壓力公式（3）計(jì)算得到不同定孔隙壓循環(huán)圍壓，或定圍壓循環(huán)孔隙壓測定的巖石滲透率與有效壓力測點(diǎn)基本疊和在一起［4，16］.說明不同圍壓和孔隙壓下，只要有效壓力相同，巖石的滲透率大小是一樣的.這樣就可以通過有效壓力方程（3），把兩參數(shù)（圍壓和孔隙壓）與滲透率的關(guān)系，轉(zhuǎn)換成有應(yīng)用意義的單參數(shù)有效壓力和滲透率的關(guān)系.由于當(dāng)時沒有提出計(jì)算非線性有效壓力的方法，無法論證得到有實(shí)際應(yīng)用意義的有效壓力［2］.

Bernabé［11］根據(jù)花崗巖滲透率有效壓力實(shí)驗(yàn)［10］和花崗巖縱波速度有效壓力實(shí)驗(yàn)［9］的研究結(jié)果，在［pp，pc］平面直角坐標(biāo)系中繪制了滲透率等值線（圖 1）.Bernabé［11］認(rèn)為等值線上某點(diǎn)的α ＝－δpc／δpp.因此，在孔隙壓不變的條件下，B點(diǎn)的α＞C點(diǎn)的α；同樣B點(diǎn)的α＜B′點(diǎn)的α.即有效壓力系數(shù)α隨圍壓的增加而減小，隨孔隙壓的增加而增加.Bernabé［11］并不認(rèn)為這個有效壓力系數(shù)αt有什么實(shí)際意義.例如，沿圖1中N點(diǎn)的切線方向可以延伸至孔隙壓為零的M′點(diǎn).顯然，M′點(diǎn)的圍壓與N點(diǎn)等值線延伸至孔隙壓為零的圍壓（有效壓力）不相同.圖1中N點(diǎn)圍壓和孔隙壓對巖石滲透性的作用效果與M點(diǎn)孔隙壓為零時圍壓對巖石滲透性作用產(chǎn)生的效果一樣，M點(diǎn)的圍壓等于N點(diǎn)的有效壓力peff；而M′則因滲透率值與N點(diǎn)的滲透率值不一樣，M′點(diǎn)的圍壓不等于N點(diǎn)的有效壓力peff，所以按照Bernabé［10］方法計(jì)算的有效壓力不滿足有效壓力的基本概念.同時，M′點(diǎn)的滲透率不等于N點(diǎn)的滲透率，這一差別是造成切線有效壓力沒有實(shí)際應(yīng)用意義的原因.為了避免其它研究人員的疑惑，Bernabé［11］把αt稱為“局部”有效壓力系數(shù)，計(jì)算得到的有效壓力稱為切線有效壓力.

圖1 Bernabé［11］猜測在pc 和pp 等圖中滲透率等值線形態(tài).Bernabé認(rèn)為α隨圍壓的增加而減小，隨孔隙壓的增加而增加.Fig.1 Schematic representation of curved iso－klines conjectured by Bernabé［11］αis believed to decrease with increasing pcand decreasing pp.

從圖1中連接N點(diǎn)和M點(diǎn)的割線（圖中虛線）可以看出，割線連接的M和N點(diǎn)都在滲透率等值線上.因?yàn)榭紫秹旱扔诹?，M點(diǎn)的圍壓就是M和N點(diǎn)等值線上的有效壓力.M和N點(diǎn)的坐標(biāo)已知，通過建立M和N點(diǎn)的直線方程，并考慮M點(diǎn)的圍壓（pc）M等于有效壓力peff，得到

式中αs稱為割線有效壓力系數(shù)，將式（6）代入式（5），得到

由式（7）計(jì)算得到的有效壓力稱為割線有效壓力.這里不妨討論一下αt和αs的關(guān)系及對應(yīng)的切線和割線有效壓力是否滿足有效壓力的基本定義：

（1）當(dāng)?shù)戎稻€是曲線時，αt和αs不相等，切線有效壓力不等于割線有效壓力.切線有效壓力不滿足有效壓力的定義，而割線有效壓力滿足有效壓力的定義；

（2）當(dāng)?shù)戎稻€是直線時，αt和αs相等，切線和割線重合.如圖1中的M″和N″所在的直線上，切線和割線重合并都落在M″和N″所在的等值線上，孔隙壓等于零，M″點(diǎn)的滲透率與M″和N″所在等值線上的滲透率處處相等，切線有效壓力等于割線有效壓力，且都滿足有效壓力的定義；

（3）當(dāng)所有等值線均為斜率相等的平行直線時，αt和αs相等且為一常數(shù)，用這個常數(shù)計(jì)算得到的有效壓力是線性有效壓力.這時切線和割線重合，切線有效壓力等于割線有效壓力，且都滿足有效壓力的定義.

因此用αs計(jì)算得到的有效壓力在任何情況下都滿足有效壓力的定義，而用αt計(jì)算得到的有效壓力在情況（1）中不滿足有效壓力的定義.很多情況下αt和αs是相等的，這是Li等［13］部分巖芯的有效壓力和滲透率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)在有效壓力和滲透率圖中重合在一起的原因.

當(dāng)pp和pc平面圖上巖石性質(zhì)等值線是直線時，αt和αs大小相同，于是可以用 Warpinski和Teufel［12］方法計(jì)算αs［12－13，16］.其原理是用響應(yīng)面法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立滲透率與圍壓和孔隙壓的關(guān)系，然后用Bernabé［10］提出的公式α＝ －（δk／δpp）／（δk／δpc），來計(jì)算割線有效壓力系數(shù)αs.但在計(jì)算αs前，并不清楚要計(jì)算巖樣的αt和αs是否相等，同時前面的分析指出在任何情況下割線有效壓力系數(shù)αs計(jì)算得到的有效壓力均滿足有效壓力的定義，滿足有效壓力定義的切線有效壓力只是割線有效壓力的特殊情況.因此，有必要在αt的計(jì)算方法基礎(chǔ)上，建立計(jì)算αs的方法與步驟.具體的步驟如下：

（1）建立滲透率與圍壓和孔隙壓的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系.Warpinski和Teufel［12］是最早采用響應(yīng)面法來研究測試得到的滲透率與圍壓和孔隙壓的關(guān)系.這種方法考慮了各種測量變量的隨機(jī)誤差，通過引入轉(zhuǎn)換系數(shù)λ，使計(jì)算與實(shí)驗(yàn)值偏差的聯(lián)合概率密度趨于極大值，殘差平方和最小.因此，最大限度地提高了模型計(jì)算值與不同圍壓和孔隙壓下實(shí)測值的擬合精度［17－18］.鄭 玲 麗 等［19］詳 細(xì) 地 敘述 了λ 的 確 定 方法，這里不再贅述.研究表明［12－13，19－22］，可以采用下面的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系模型建立測試滲透率與圍壓和孔隙壓之間的關(guān)系：

其中，a1、a2、a3、a4、a5和a6是擬合系數(shù).用回歸均方和誤差均方的比值F評價擬合效果的好壞，Box［18］認(rèn)為計(jì)算的F值大于等于10倍的查表F值（分布數(shù)一般取95%）才能保證擬合效果.

（2）繪制滲透率等值曲線圖.可用式（8）計(jì)算某個已知圍壓和孔隙壓測點(diǎn)的滲透率.固定這個滲透率值，并給定一孔隙壓，這時式（8）中的k、λ和pp都已知，計(jì)算式（8）只剩一個未知數(shù)pc.通過求解一元二次方程，得到二個解，去除不在實(shí)驗(yàn)范圍內(nèi)的pc.每給一個孔隙壓pp，就可以計(jì)算得到一個pc.將孔隙壓和圍壓計(jì)算點(diǎn)連接起來，就可得到這個滲透率在圍壓和孔隙壓圖中的等值線.所有的測點(diǎn)采用同樣的方法都可以得到每個測點(diǎn)的滲透率等值線.

（3）計(jì)算割線有效壓力系數(shù)αs.可以用式（6）計(jì)算αs，但當(dāng)用氣體測量時，壓力太低時低滲巖樣會產(chǎn)生克氏效應(yīng)［23］，隨著壓力的降低測量誤差會大大增加，加大了問題的分析難度，只能在測試時盡量靠近孔隙壓為零的測點(diǎn).可以采用外推孔隙壓來近似確定M點(diǎn)的pc，外推的孔隙壓不能太小，Li等［13］認(rèn)為在測試壓力很寬且在測試壓力范圍內(nèi)的預(yù)測結(jié)果是可靠的，而在測試的壓力范圍外預(yù)測的結(jié)果可靠性會降低.根據(jù)我們的經(jīng)驗(yàn)，只要實(shí)驗(yàn)的孔隙壓足夠小，實(shí)際計(jì)算時用式（8）外推孔隙壓0.5MPa，對應(yīng)的圍壓pc作為M點(diǎn)的圍壓，這樣就可以用式（6）計(jì)算αs.在分析過去的一些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時，有些實(shí)驗(yàn)的孔隙壓特別大，這時仍可以采用式（8）外推孔隙壓至計(jì)算得到的pc開始增加時的pc作為M點(diǎn)的圍壓.計(jì)算時要在外推的壓力范圍內(nèi)多計(jì)算幾個點(diǎn)，這樣可以對比不同的孔隙壓對應(yīng)的圍壓，避免出現(xiàn)孔隙壓降低圍壓增加的情況.

（4）有效壓力計(jì)算.得到每個測點(diǎn)的αs后，就可以根據(jù)式（4）計(jì)算每個測點(diǎn)的有效壓力.如果前面計(jì)算得到的αs不是常數(shù)且變化范圍很大，那么計(jì)算得到的有效壓力是非線性有效壓力；如果前面計(jì)算得到的αs是常數(shù)或者變化范圍很小，那么計(jì)算得到的有效壓力是線性有效壓力.

響應(yīng)面方法可以建立滲透率和圍壓與孔隙壓的關(guān)系式，結(jié)合Bernabé［10］提出的公式便可計(jì)算αt，同時也可用上面的方法計(jì)算αs，再分別計(jì)算切線有效壓力和割線有效壓力.為了區(qū)分這兩種方法，本文把前者稱為“響應(yīng)面切線有效壓力系數(shù)法”，而后者稱為“響應(yīng)面割線有效壓力系數(shù)法”.

3 滲透率測試與有效壓力計(jì)算

試驗(yàn)兩塊巖芯SM1和SM2分別取自四川省馬井氣田侏羅紀(jì)上統(tǒng)蓬萊鎮(zhèn)1564.79m和1497.36m儲層.兩塊巖芯SM1和SM2的滲透率分別是0.238×10－15m2和0.278×10－15m2，孔隙度分別是11.16%和14.26%.鑄體薄片觀察SM1是極細(xì)粒長石巖屑砂巖，SM2是細(xì)粒長石巖屑砂巖.兩塊巖芯孔隙多呈孤立狀，連通性差；顆粒之間以線和凹凸接觸為主，巖芯中發(fā)育有微裂縫.

本文依據(jù)李閩等［13，20］描述的試驗(yàn)步驟用穩(wěn)態(tài)法測試了兩塊巖芯的滲透率.試驗(yàn)流體介質(zhì)為氮?dú)?，這樣可避免液體作介質(zhì)時粘土的水化作用和巖石與流體的化學(xué)反應(yīng)對試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響.試驗(yàn)測試壓力分別在定六個圍壓下（表1和表2）降低孔隙壓從22MPa至6MPa，步長是4MPa（因?yàn)榭紫秹翰荒艹^圍壓，所以當(dāng)圍壓為20MPa和15MPa時，最大孔隙壓分別是18MPa和12MPa；同時最低孔隙壓大于5MPa，這可避免滑脫效應(yīng)對滲透率的影響［13］）.試驗(yàn)之前有必要對巖芯進(jìn)行老化處理，使得巖 芯的性 質(zhì) 變 得 更 加 穩(wěn) 定［12－13，19－22］；也 就 是 巖 樣 在第1次循環(huán)圍壓后，第2次增加圍壓時各測點(diǎn)滲透率與凈應(yīng)力（圍壓和孔隙壓的差值）和降圍壓各測點(diǎn)的滲透率與凈應(yīng)力關(guān)系點(diǎn)基本上重合在一起.每個壓力點(diǎn)至少重復(fù)測試五次（包括老化處理），取五次測試得到的滲透率均值作為測點(diǎn)值.測定數(shù)據(jù)包括巖芯進(jìn)出口端壓力p1、p2，大氣壓p0，流經(jīng)巖芯的氣體流量Q0和溫度T.根據(jù)氣體滲透率計(jì)算公式［24］k＝4Q0p0μL／［5πD2（p21－p22）］（其中壓力單位 MPa，流量的單位10－6m3，黏度μ的單位 mPa·s——根據(jù)壓力和溫度值查表確定［25］，巖芯長度L和直徑D的單位10－2m，滲透率單位10－12m2）得到每次測試對應(yīng)的滲透率.試驗(yàn)結(jié)果見表1和表2，滲透率值均大于10－18m2，說明穩(wěn)態(tài)法測試滲透率滿足研究需要［26］.

表1 巖芯SM1試驗(yàn)測試數(shù)據(jù)Table 1 Experimental data of Sample SM1

裂縫的存在是形成非線性有效壓力的重要原因，且當(dāng)巖石有裂縫和孔隙同時存在時會表現(xiàn)出更強(qiáng)的非線性［20］.為了有效地驗(yàn)證本文提出的非線性有效壓力計(jì)算方法，還選取了已發(fā)表的10塊含裂縫的巖芯計(jì)算有效壓力.這些樣品包括含微裂縫巖屑砂巖2塊，分別為S4和S10［13］；裂縫Chelmsford花崗巖3塊（Chelmsford G、Chelmsford R、Chelmsford H）和裂縫Barre花崗巖1塊［10］；人造裂縫Barre花崗巖4塊［14］，其中裂縫面拋光巖芯1塊（Barre P），600目砂紙磨裂縫面巖芯1塊（Barre 600），120目砂紙磨裂縫面巖芯1塊（Barre120），張力斷裂縫巖芯1塊（Barre T）.這些研究測試時采用了2種測試方式，其中采用定幾個圍壓循環(huán)孔隙壓測試滲透率的巖芯有S10、Barre P、Barre 600、Barre 120和 Barre T，采用定孔隙壓循環(huán)圍壓測試的巖芯有S4、Chelmsford G、Chelmsford R和Chelmsford H.

表2 巖芯SM2試驗(yàn)測試數(shù)據(jù)Table 2 Experimental data of Sample SM2

根據(jù)響應(yīng)面方法建立滲透率與圍壓和孔隙壓的關(guān)系，計(jì)算得到的F值（最小值是15.92）均大于10倍的F查表值（最大值是1.48），擬合滿足精度的要求［18］，從圖2也可直觀地看出擬合效果很好.把滲透率等值線繪制在圍壓和孔隙壓圖中，并將所有巖芯測試點(diǎn)標(biāo)注在圍壓和孔隙壓圖中（圖3—圖6中的圓心實(shí)點(diǎn)）.按照前面介紹的方法計(jì)算各個測點(diǎn)的αs，為了比較切線和割線有效壓力，這里采用公式（9）計(jì)算αt［12－13，20］：

計(jì)算得到各個測點(diǎn)的切線和割線有效壓力系數(shù)后，用式（4）計(jì)算各個測試點(diǎn)的切線和割線有效壓力，同時還用經(jīng)典的Terzaghi有效壓力方程［5］計(jì)算了Terzaghi有效壓力.將Terzaghi有效壓力方程、響應(yīng)面切線有效壓力系數(shù)法和響應(yīng)面割線有效壓力系數(shù)法計(jì)算得到各個測點(diǎn)的有效壓力與滲透率的關(guān)系繪制在有效壓力和滲透率圖中（圖7—圖10）.從這些圖中看出，Terzaghi有效壓力方程得到的各個測點(diǎn)的有效壓力與滲透率的關(guān)系點(diǎn)分散明顯，而切線有效壓力和割線有效壓力與滲透率的關(guān)系點(diǎn)分散程度低很多（圖7—圖10）；切線有效壓力與滲透率的分散點(diǎn)多于割線有效壓力與滲透率的分散點(diǎn)，在圖10中這一現(xiàn)象更為明顯，割線有效壓力比響應(yīng)面切線有效壓力與滲透率之間表現(xiàn)出了更好的一一對應(yīng)關(guān)系.

圖2 巖樣SM1 k－pc－pp 響應(yīng)面實(shí)心黑點(diǎn)表示實(shí)測點(diǎn)，而實(shí)線是理論預(yù)測值.Fig.2 Response surface about k－pc－ppof Sample SM1 Solid black dots represent the measured points and the solid line is the theoretical predicted values

4 討 論

圖3—圖6等值線圖表現(xiàn)出四種特征：（1）一部分等值線是直線，另一部分等值線在孔隙壓變小時是向上彎曲曲線（圖3）；（2）等值線是直線，但相互不平行（圖4）；（3）等值線基本上可以看成是相互平行的直線（圖5）；（4）等值線在孔隙壓變小時是向下彎曲的曲線（圖6）.

圖10 S4砂巖［13］滲透率與有效壓力關(guān)系Fig.10 The relationship between permeability and effective pressure of Sandstone S4［13］

等值線特征屬于（4）的巖樣只有SM1（圖6）.這塊巖樣與Bernabé［11］推測的滲透率等值線的形態(tài)不一樣，也就是不應(yīng)該出現(xiàn)向下彎曲的曲線；或者說在孔隙壓變小時，無論是αs或αt，都應(yīng)該向小的方向變化.可計(jì)算得到SM1巖樣在圍壓15MPa下的三個孔隙壓測點(diǎn)的αs范圍在0.908～0.919；圍壓20MPa的四個孔隙壓測點(diǎn)αs的范圍在0.808～0.822之間，曲線朝孔隙壓降低的方向向下彎曲變得相對明顯，孔隙壓變小時αt和αs增加，αt和αs的變化規(guī)律也和Bernabé［11］推測的結(jié)果不一樣.從得到的數(shù)值可以看出，盡管存在這種變化，但變化范圍微乎其微，仍可以當(dāng)成常數(shù).此外，從選取的12塊巖芯的等值線圖看，滲透率等值線都沒有出現(xiàn)類似（4）這種特征，可以認(rèn)為這種特征的出現(xiàn)是由于實(shí)驗(yàn)誤差造成的.因此，實(shí)際只存在類似（1）、（2）和（3）這三種形態(tài)等值線圖.

圖3和Bernabé［11］推測的滲透率等值線的特征完全一樣，有這種曲線特征的巖樣有SM2、S4、S10、Barre P花崗巖、Barre 600花崗巖、Barre 120花崗巖和Barre T 花崗巖，共計(jì)7塊巖樣.Bernabé［11］并沒有給出類似圖4（巖芯Chelmsford H花崗巖）和圖5（Barre花崗巖、Chelmsford G 和 Chelmsford R）這兩種等值線變化形態(tài).圖4中的等值線基本上都是直線，等值線上各點(diǎn)的切線和割線斜率基本上相同，這時切線有效壓力近似等于割線有效壓力.圖4中的等值線都是直線，但它們相互不平行，αs的變化范圍在0.487～0.887之間.αs的變化范圍寬，出現(xiàn)這種等值線特征的有效壓力仍是非線性有效壓力.圖5中的等值線基本上是相互平行的直線，這時每個測點(diǎn)的αt和αs相等.圖5中Barre花崗巖αs變化范圍在0.795～0.824之間，變化范圍很小，可以近似看成是一常數(shù)，計(jì)算得到的有效壓力可以認(rèn)為是線性的.當(dāng)出現(xiàn)圖4和圖5這種曲線特征時，由于αs和αt的大小基本相等，切線有效壓力、割線有效壓力與滲透率的關(guān)系點(diǎn)基本上會重合在一起，難以比較它們之間的差別，圖8和圖9就是這種情況.

圖4和圖5這兩種等值線形態(tài)，都是Bernabé［11］推測的滲透率等值線形態(tài)的特殊情況.在Bernabé的示意圖中（圖1）等值線有直線和曲線，如果曲線都變成直線，就是圖4中表示的等值線形態(tài)，這時有效壓力仍是非線性有效壓力；如果這些直線相互平行，則變成了圖5形態(tài)，這時的有效壓力就是人們熟悉的線性有效壓力.從12塊巖樣的等值線形態(tài)特征看，Bernabé推測的巖石滲透率在圍壓和孔隙壓圖中的等值線形態(tài)和這里選取的巖芯的等值線形態(tài)是一致的.

圖7—圖10給出的測試點(diǎn)有效壓力與滲透率的關(guān)系點(diǎn)分析可以看出，Terzaghi有效壓力與滲透率測試點(diǎn)十分分散，說明用Terzaghi有效壓力方程計(jì)算得到的相同有效壓力下滲透率值不一樣，這不符合有效壓力的定義，計(jì)算得到的有效壓力無實(shí)際的應(yīng)用意義.12塊巖芯測試點(diǎn)有效壓力與滲透率關(guān)系圖的結(jié)果看，除Barre花崗巖外，所有巖芯滲透率都不能用Terzaghi有效壓力方程來計(jì)算.

Barre 600花崗巖（圖7）和S4（圖10）的切線有效壓力與滲透率關(guān)系點(diǎn)十分分散，響應(yīng)面切線有效壓力系數(shù)法計(jì)算得到的有效壓力也就沒有實(shí)際意義.除Chelmsford H、Barre、Chemlford G和Chelmsford R花崗巖外，所有巖芯的切線有效壓力與滲透率關(guān)系點(diǎn)也都十分分散，說明大多數(shù)低滲巖石都不能用響應(yīng)面切線有效壓力系數(shù)法計(jì)算有效壓力.Chelmsford H、Barre、Chelmsford G 和 Chelmsford R花崗巖滲透率等值線基本上是直線，計(jì)算得到的這4塊巖芯的兩種有效壓力系數(shù)的差別在5%以內(nèi)，這是計(jì)算得到的切線有效壓力和割線有效壓力基本上相等原因.而所有巖芯（如圖10）的割線有效壓力和滲透率關(guān)系點(diǎn)基本上都落在一條線上，表明割線有效壓力計(jì)算得到的有效壓力更有實(shí)際的應(yīng)用價值，同時也說明響應(yīng)面割線有效壓力系數(shù)法是計(jì)算有效壓力的更為有效方法.

表3中是用乘冪和指數(shù)關(guān)系擬合各種有效壓力與滲透率間關(guān)系得到的結(jié)果.指數(shù)和乘冪擬合式分別是k／kref＝aexp（bpeff／pref）和k／kref＝c（peff／pref）d，式中kref表示參考有效壓力pref下的滲透率，a、b、c和d都是擬合系數(shù).表3給出的相關(guān)系數(shù)顯示，割線相關(guān)系數(shù)R2s＞切線相關(guān)系數(shù)R2t，表明割線有效壓力與滲透率的擬合效果好于切線有效壓力與滲透率的擬合效果，進(jìn)一步說明可以用割線有效壓力更好地描述有效壓力和滲透率間的一一對應(yīng)關(guān)系.從擬合描述裂縫巖芯有效壓力和滲透率關(guān)系的乘冪式子好于描述孔隙介質(zhì)的有效壓力和滲透率的指數(shù)關(guān)系式［8］，表明裂縫的變形是造成巖芯滲透率變化的主要原因.

表3 滲透率與有效壓力之間關(guān)系的指數(shù)和乘冪擬合相關(guān)系數(shù)R2Table 3 The coefficients of correlation R2 obtained by fitting the relationship between permeability and effective pressure with the exponential function and the power function

5 結(jié) 論

（1）通過用響應(yīng)面方法繪制本次實(shí)驗(yàn)和以往共計(jì)12塊巖芯的滲透率等值圖，證明Bernabé推測的滲透率等值線在圍壓pc和孔隙壓pp圖中形態(tài)是正確的.

（2）響應(yīng)面割線有效壓力系數(shù)法可以計(jì)算隨壓力連續(xù)變化的線性和非線性有效壓力.無論有效壓力是線性還是非線性的，計(jì)算得到的有效壓力均滿足有效壓力的定義.

（3）割線有效壓力系數(shù)法計(jì)算非線性有效壓力，可以改善有效壓力計(jì)算得到的滲透率的準(zhǔn)確性.

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