地震的“序列歸屬”問題與ETAS模型——以唐山序列為例

蔣長勝，吳忠良，莊建倉

1 中國地震局地球物理研究所，北京 100081

2 統(tǒng)計數(shù)理研究所，日本東京都立川市綠町 10－3190－8562

1 引 言

一次中小地震發(fā)生后，其“序列歸屬”問題——即這次地震究竟是此前發(fā)生的某一地震的余震，還是一次獨立的“背景”地震，是公眾和地震學(xué)家都十分關(guān)注的問題.這個問題對“時間相依的地震危險性”（time－dependent seismic hazard）的判斷有重要的參考價值.正在進行之中的國際“地震可預(yù)測性合作研 究”（Collaboratory for the Study of Earthquake Predictability，CSEP）計劃（http：／／www.cseptesting.org［2012－04－25］）中，包括了用一日至數(shù)日尺度的短期地震概率預(yù)測模型對余震進行實際的向前概率預(yù)測的工作.這些短期預(yù)測模型包括用于美國加州地區(qū)的STEP模型［1］、意大利地區(qū)的ETES和ERS模型［2］，以及日本地區(qū)的 ETAS模型［3］等等.對這些模型進行檢驗的一個重要的基礎(chǔ)性指標(biāo)，就是對地震“序列歸屬”的判斷.

余震活動的持續(xù)時間問題一直是地球動力學(xué)和地震物理中的一個有意義的問題［4－7］，因為余震活動的持續(xù)時間是地球動力學(xué)中為數(shù)不多的可以在觀測儀器記錄的時間尺度上通過測量來準(zhǔn)確把握的物理量之一.一般說來，強震發(fā)生后經(jīng)過的時間越長，震中區(qū)地震活動的“序列歸屬”問題就越復(fù)雜.在距強震發(fā)生的時間長到一定程度的時候，判斷余震序列在何時開始“混同于”當(dāng)?shù)氐摹氨尘暗卣鸹顒印?，成為一個復(fù)雜的問題.

傳統(tǒng)意義上的“余震”，指發(fā)生在主震之后、震級小于主震的地震事件［8］，而地震活動在時間和空間分布上具有高度的不均勻性，地震叢集與“正?！钡谋尘暗卣鸹顒油B加在一起，傳統(tǒng)上的前震、主震和余震在物理本質(zhì)和統(tǒng)計屬性上均難以區(qū)分［9］.因此在一定意義上說，地震的“序列歸屬”問題幾乎不存在一個確定性的答案.然而近年來，描述復(fù)雜地震活動的“傳染型余震序列”（ETAS）模型［10］得到較大發(fā)展，ETAS模型不再區(qū)分前震、主震和余震，認(rèn)為任何地震都有可能被之前發(fā)生的地震所觸發(fā)，并用概率形式來描述其作為背景地震或叢集地震的可能.這就為“序列歸屬”問題的解決提供了另一個有效的工作思路.

本文試圖將這一模型應(yīng)用于中小地震的“序列歸屬”問題.我們選取唐山序列作為實例，這一序列從1976年唐山大地震至今，已持續(xù)30余年時間.相應(yīng)的“序列歸屬”問題，甚至引起社會公眾的廣泛關(guān)注和 激 烈 爭 論 （http：／／news.sina.com.cn／c／p／2012－05－29／020524495099. shtml； http：／／news.sohu.com／20120529／n344307586.shtml［2012－04－25］）.我們使用隨機除叢法［11－12］從時間和空間上同時分離“背景地震”和“叢集地震”.作為一個應(yīng)用實例，本文考察了2010年以來三次MS4.0級地震與唐山地震序列的關(guān)系.

2 基于時－空ETAS模型的隨機除叢法

目前已有多種分支過程（branching processes）模型用于描述地震活動的時 空叢集特征［10，13－15］.基于點分支過程理論的ETAS模型推廣了大森定律［16］，假定每一個地震總能以一定的概率規(guī)則獨立地觸發(fā)“子震”，來描述地震活動時－空叢集結(jié)構(gòu)［10，17－18］.Ogata［19］給出的時－空 ETAS模型將地震發(fā)生率λ表示為：

這里的μ（x，y）為背景地震活動強度，即“背景”地震發(fā)生率，是與時間無關(guān)的空間位置的函數(shù).κ（m）表示的是震級為m的事件觸發(fā)子震數(shù)目的期望；g（t）和f（x，y；m）分別為子震的時間與空間概率密度函數(shù)，分別可采用如下形式表示［12］：

其中A、α、p、q、D、γ和c為常數(shù)，mc為計算的截止震級.另外假定震級的概率密度函數(shù)為

這里的β與Gutenberg－Richter定律中的b值關(guān)系為β＝bln10.在Zhuang等［11］與Zhuang和 Ogata［12］發(fā)展的隨機除叢法中，地震i對其后發(fā)生的地震j處（tj，xj，yj）的地震發(fā)生率的相對貢獻或觸發(fā)地震j的概率可表示為

這里的

而地震j作為背景地震的概率為

由背景地震概率可用核函數(shù)法來估算地震背景活動強度μ（x，y）：

其中T為研究時段長度，Zhj是帶寬為hj的高斯核函數(shù).帶寬變量hj是地震j到第np個最近地震的距離.根據(jù)一般做法［11－12］，設(shè)置np＝4.

對于實際的地震目錄｛（ti，xi，yi，mi）：i＝1，2，…，N｝，如果給定強度函數(shù)u（x，y），背景地震活動強度可表示為μ（x，y）＝vu（x，y），其中v為大于0的待估參數(shù)，并可利用最大似然法來估計公式（1）中的各項參數(shù).再由（7）式求得每個地震的背景地震概率φ后，利用（8）式重新計算u（x，y），并反復(fù)迭代直至結(jié)果收斂，即可同時求取背景地震活動強度μ（x，y）和模型參 數(shù) ｛v，A，α，p，q，D，γ，c｝.不同 于傳統(tǒng)刪除余震算法［20－21］，時－空 ETAS模型考慮了全部歷史地震的綜合觸發(fā)效應(yīng)，地震叢集也不僅包括余震，還包括傳統(tǒng)意義上的前震和震群.

3 研究區(qū)域和計算所用資料

本文的研究區(qū)域為38.5°N—41.0°N，116.9°E—120.0°E的唐山地區(qū)，空間上包括了1976年7月28日唐山MS7.8地震的余震分布區(qū)域.資料使用了中國地震臺網(wǎng)中心提供的1970年1月1日至2008年12月31日的《中國微震目錄》和2009年1月1日至2012年6月1日的《中國地震臺網(wǎng)統(tǒng)一地震目錄》.該目錄根據(jù)國家臺網(wǎng)和各區(qū)域臺網(wǎng)測定資料匯編而成，震級單位統(tǒng)一為地方震震級ML.唐山MS7.8地震發(fā)生后，余震區(qū)地震活動強烈，據(jù)《唐山地震目錄》［22］統(tǒng)計，自主震發(fā)生至1979年12月31日共記錄唐山地震序列ML2.0以上地震14425次，其中包括1976年7月28日灤縣MS7.1和11月15日寧河MS6.9地震，近年來相繼發(fā)生2010年3月6日河北灤縣MS4.3、4月9日河北豐南MS4.1和2012年5月28日河北唐山、灤縣交界MS4.8等中等地震.圖1給出了研究區(qū)1970年以來ML4.0以上地震的震中分布.

關(guān)于地震目錄的完整性［23］的研究表明，強震發(fā)生后，由于主震面波振幅較大、降低了地震記錄的信噪比，往往導(dǎo)致主震后數(shù)小時區(qū)域甚至全球的地震監(jiān)測能力的下降［24］.鑒于當(dāng)時地震觀測條件有限和唐山MS7.8地震發(fā)生后震中附近臺站的損壞，對研究區(qū)地震監(jiān)測能力的變化需要重點考慮.本研究從定性分析和定量研究兩方面來考察.研究中采用了震級－序號法［25］定性討論研究區(qū)內(nèi)最小完整性震級Mc的時序變化.震級－序號法按地震發(fā)生時間的先后順序排序，地震密度較大的區(qū)域的連線大致為Mc的時序變化，這種分析一方面避免了主震發(fā)生后短期內(nèi)余震較為密集，按時間統(tǒng)計難以分析余震監(jiān)測能力的變化，另一方面，由于地震監(jiān)測能力在短期內(nèi)的變化常具有分段和不連續(xù)性，由此可能給出地震記錄信噪比和人為因素引起的監(jiān)測能力變化.結(jié)果如圖2a所示，1976年唐山MS7.8地震發(fā)生后，Mc僅為ML4.0左右，其后至1987年左右，研究區(qū)的地震監(jiān)測能力顯著提升，Mc已低于ML2.0.此外，研究中還使用了“最大曲率”MAXC方法和擬合度分別為90%和95%的GFT方法［26］來定量評估研究區(qū)Mc的時序變化.其中MAXC方法是將震級－頻度分布曲線的一階導(dǎo)數(shù)的最大值對應(yīng)的震級作為Mc，而GFT方法是通過搜索對應(yīng)給定的實際和理論震級－頻度分布下的擬合度百分比來確定Mc.計算中使用固定為500個地震事件的窗口選取數(shù)據(jù)，并滑動計算，結(jié)果如圖2b所示.與圖2a定性分析結(jié)果非常一致的是，研究區(qū)1970年以來ML4.0以上的地震較為完整，本研究將 Mc＝ML4.0作為時－空ETAS模型分析的截止震級.

4 “背景”地震概率和被“母震”觸發(fā)的概率

研究中通過最大似然法，估計唐山地區(qū)時－空ETAS模型的參數(shù)，求取1970年以來每個ML4.0以上的地震作為孤立／背景地震的概率φ，此外，還可獲得任一地震被之前發(fā)生的“母震”觸發(fā)的概率ρ.對研究區(qū)1970年以來ML4.0以上地震的ETAS模型參數(shù)估計結(jié)果如表1所示，計算獲得的每個ML4.0以上地震的背景地震概率φ的空間分布如圖3所示.由圖3可見，1976年唐山MS7.8地震余震區(qū)絕大多數(shù)地震的背景地震概率φ＜0.5，即表明研究區(qū)內(nèi)地震多數(shù)為叢集地震.但對于2010年以來余震區(qū)發(fā)生的3次MS4.0以上地震，背景地震概率φ分別為0.72、0.88和0.76，表明其作為孤立地震的概率較高，也意味著它們被之前發(fā)生的地震，包括1976年唐山MS7.8地震所直接觸發(fā)的概率較低.

表1 唐山地區(qū)1970年以來ML4.0以上地震的時－空ETAS模型參數(shù)擬合結(jié)果Table 1 Parameters from fitting the ETAS model to seismicity above ML4.0in the Tangshan region since 1970

圖1 唐山地區(qū)1970年以來ML4.0以上地震分布圖中紫色五角星標(biāo)出了3次較大地震事件，即1976年唐山MS7.8、灤縣MS7.1、寧河MS6.9地震的位置，紅色實心圓標(biāo)出了2010年以來3次MS4.0以上地震的位置.左上角子圖給出了研究區(qū)的空間位置示意圖.Fig.1 Distribution of earthquakes above ML4.0in the Tangshan region since 1970The purple pentacles show the three major events，namely the Tangshan MS7.8earthquake，the Luanxian MS7.1earthquake，and the Ninghe MS6.9earthquake.The red circles indicate the three events above MS4.0since 2010.Parameters of these events are marked in the figure.The geographical location of the study region is shown in the upper-left inset panel.

圖2 唐山地區(qū)1970年以來地震目錄的完整性分析（a）震級序號法給出的地震密度分布；（b）多統(tǒng)計方法定量分析給出的最小完整性震級Mc的時間變化，由于同時采用90%和95%的擬合度GFT方法，這里分別稱為GFT-95%和GFT-90%以示區(qū)別.圖中采用了地震發(fā)生先后順序作為橫坐標(biāo)，不等間隔的地震發(fā)生時間也被標(biāo)在橫坐標(biāo)上方.Fig.2 Catalogue completeness analysis for the Tangshan region since 1970（a）Seismic rate for different magnitudes in the index domain；（b）Completeness thresholds Mcestimated by using MAXC （red solid line），90%GFT （black dashed line），95%GFT （blue dashed line）and Mc-Best（black solid line）method.See text for details.

研究區(qū)ML4.0以上地震的背景地震概率φ的時間分析如圖4所示，其中圖4a為震級－時間圖（M－t圖），圖4b為與各次地震相對應(yīng)的背景地震概率φ.由圖可見，1976年唐山MS7.8地震發(fā)生前，除一次地震事件φ＜0.5外，其他事件的φ均大于0.9，可能與這些地震事件分布較為分散有關(guān).而MS7.8地震的φ也接近于1，表明其無明顯的前震事件存在.1976年唐山MS7.8地震發(fā)生后至1997年之前，除個別地震外，絕大多數(shù)地震的φ＜0.5，表明被觸發(fā)的概率較高.而1997年之后，除個別地震緊跟之前地震發(fā)生，φ接近0外，其他地震事件φ均大于0.5，表明它們作為背景地震或孤立地震的概率較高，與其之前發(fā)生的地震，包括1976年唐山MS7.8地震的關(guān)系較小.因此，如以φ0＝0.5作為背景地震的定義，從時－空EIAS模型擬合結(jié)果上來看，唐山地區(qū)1997年之后發(fā)生的ML4.0以上地震，在ETAS模型的意義上也許不能再稱之為1976年唐山MS7.8地震的余震了.

以新近發(fā)生的2012年MS4.8地震為例，考察其被 “母震”觸發(fā)的概率ρ，結(jié)果如圖4c所示.由圖可見，包括1976年唐山MS7.8地震在內(nèi)的“母震”，對2012年MS4.8地震的觸發(fā)概率遠(yuǎn)小于參考概率ρ0＝0.5，其中觸發(fā)概率最高的為2010年河北灤縣MS4.3地震，ρ＝0.0234.由此可見，2012年 MS4.8地震也許不能簡單看成之前發(fā)生的地震，包括1976年唐山MS7.8地震的直接余震.

如果唐山地區(qū)1997年之后發(fā)生的ML4.0以上地震不能稱之為1976年MS7.8地震的直接余震，由此引發(fā)的問題是，唐山MS7.8地震的序列是如何構(gòu)成的？為考察此問題，對研究區(qū)內(nèi)的ML4.0以上地震分別使用不同的被1976年唐山MS7.8地震觸發(fā)的概率閾值，構(gòu)建MS7.8地震的序列.圖5給出了MS7.8地震之后發(fā)生的地震相對于1976年7月28日00∶00∶00的時間間隔與其經(jīng)度的分布圖，由圖可見，除MS7.8地震發(fā)生后數(shù)小時內(nèi)的地震外，序列中被MS7.8地震觸發(fā)的概率已經(jīng)顯著降低至0.5以下.由此表明，余震區(qū)內(nèi)95%以上的地震與MS7.8地震的直接關(guān)聯(lián)較小，而更可能是被MS7.8地震的余震，或余震的余震所觸發(fā)——關(guān)于這一結(jié)果，也許還可以有另一種解釋，參見討論一節(jié).

圖3 時－空ETAS模型給出的唐山地區(qū)背景地震概率φ的空間分布圖中分別用漸變的紅色和藍色表示φ≥0.5和φ＜0.5的情況.Fig.3 Spatial distribution of background probabilityφby fitting the space－time ETAS modelThe gradually changing blue and red colors indicate the events withφ≥0.5andφ＜0.5，respectively.

5 截止震級選取和地震目錄誤差對結(jié)果的影響

由于早期監(jiān)測能力等方面的原因，在本研究中使用了唐山地區(qū)ML4.0以上地震擬合時－空ETAS模型.由于任何一個地震都可以以一定概率觸發(fā)后續(xù)地震，低于ML4.0的大量的較小震級事件將可能顯著改變包括2010年灤縣MS4.3、豐南MS4.1和2012年MS4.8地震的背景地震概率，因此，這些唐山地區(qū)較晚發(fā)生的地震事件作為孤立的背景地震只是相對的.為進一步驗證此問題，本研究采用不同的截止震級分別對時－空ETAS模型進行擬合，并求取背景地震概率，結(jié)果如表2所示.

圖6給出了時－空ETAS模型參數(shù)擬合中使用不同截止震級Mc，對2010年以來3次MS4.0以上地震的背景地震概率φ以及被1976年唐山MS7.8地震觸發(fā)的概率ρ的影響.圖6a顯示，當(dāng)降低Mc時，2010年以來3次MS4.0以上地震的φ值隨之降低，表明隨著參與計算的地震數(shù)目的增多，增加了被觸發(fā)的可能；而圖6b給出的Mc與被MS7.8地震觸發(fā)的概率ρ的圖像顯示，隨著Mc的減小，這些發(fā)生較晚的地震被MS7.8地震觸發(fā)的概率也隨之減小.這些現(xiàn)象與 Wang等［27］對ETAS模型中小震級事件缺失造成的影響的測試結(jié)果是相一致的.由此可進一步外推，當(dāng)能夠獲得更為完整的歷史地震記錄、更多的小震級事件參與時－空ETAS模型擬合的情

況下，唐山地區(qū)類似于2010年以來3次MS4.0以上較晚發(fā)生的地震，將很難保證其作為背景地震，但與1976年唐山MS7.8地震的直接關(guān)聯(lián)也隨之減小.

表2 唐山地區(qū)1970年以來不同截止震級的時－空ETAS模型參數(shù)擬合結(jié)果Table 2 Results from fitting the ETAS model to earthquake data from Tangshan region since 1970，with different cutoff magnitudes

圖4 唐山地震序列的背景地震概率φ時間分布（a）唐山地震序列的震級－時間（M-t）圖，及其（b）各事件對應(yīng)的背景地震概率φ；（c）2012年5月28日MS4.8地震被之前發(fā)生地震觸發(fā)的概率ρ，其中觸發(fā)概率最高的為與其時、空上最為接近的2010年3月6日MS4.3地震，圖中水平虛線標(biāo)出了參考線ρ0＝0.5的位置.Fig.4 Temporal variation of background probabilityφof the Tangshan sequence（a）Temporal distribution of magnitudes of the Tangshan sequence；（b）Background probabilityφvarying with time；（c）Temporal distribution of the probabilityρfor being triggered by previous events，for the May 28，2012，Tangshan MS4.8earthquake，with the maximum value ofρcorresponding to the March 6，2010，Luanxian MS4.3earthquake，the nearest one in time and space.The horizontal dashed line shows the reference levelρ0＝0.5.

此外，由于地震目錄中事件參數(shù)的測定誤差是不可避免的，可能對統(tǒng)計地震學(xué)計算結(jié)果產(chǎn)生影響，對此可采用生成隨機地震目錄的方式考察結(jié)果的穩(wěn)健性［28－29］.除考慮不同截止震級 Mc的影響外，本文還考慮了地震目錄中的震級和定位測定誤差的可能影響.其中，分別對唐山地震序列的震級疊加了范圍在［－0.3，0.3］之間的隨機誤差，對序列中事件的水平位置疊加了范圍在［－5km，5km］之間的隨機誤差，各生成100個隨機目錄并進行時－空ETAS模型擬合，結(jié)果如圖7所示.由圖可見，在考慮了0.3個震級單位和定位±5km的誤差情況下，2010年以來3次MS4.0以上地震的背景地震φ和被唐山MS7.8地震觸發(fā)的概率ρ均有不同程度的離散，其中定位誤差對擬合結(jié)果的離散程度大于震級的影響.但綜合來看，上述穩(wěn)健性測試表明，唐山地震序列中的參數(shù)測定誤差不改變2010年以來3次MS4.0以上地震作為背景地震和被唐山MS7.8地震低概率觸發(fā)的認(rèn)識.

圖7 震級和震中位置測定誤差對時－空ETAS模型計算結(jié)果的影響（a）震級測定誤差對估算背景地震概率φ的影響；（b）震級測定誤差對被1976年MS7.8地震觸發(fā)的概率ρ的影響；（c）震中位置測定誤差對估算背景地震概率φ的影響；（d）震中位置測定誤差對被1976年MS7.8地震觸發(fā)的概率ρ的影響.圖中垂直虛線分別對應(yīng)2010年以來3次MS4.0以上地震在未考慮震級和震中位置測定誤差情況下的計算結(jié)果.Fig.7 Influences of magnitude uncertainties and locations uncertainties on the estimates of the declustering probabilities related to the three earthquakes with magnitude larger than Ms4.0since 2010in the Tangshan sequence（a）Background probabilityφaffected by the uncertainty of magnitude；（b）Probabilityρof being triggered by the 1976Tangshan MS7.8 mainshock，affected by the uncertainty of magnitude；（c）Background probabilityφaffected by the uncertainty of location；（b）Probability ρof being triggered by the 1976Tangshan MS7.8mainshock，affected by the uncertainty of location.The vertical dashed lines show the fitting results of the three events with magnitude larger than MS4.0since 2010，without the influence of the uncertainties of magnitude and location.

6 討論和結(jié)論

本文采用了當(dāng)前能夠較好描述復(fù)雜地震活動特征的時－空ETAS模型，對唐山余震區(qū)1970年以來ML4.0以上地震進行了分析.利用擬合結(jié)果中的背景地震概率φ和被“母震”觸發(fā)的概率ρ，討論了2010年以來發(fā)生的三次MS4.0以上中小地震的“序列歸屬”（ESA）問題.結(jié)果表明，從背景地震概率來看，唐山地區(qū)1997年之后發(fā)生的ML4.0以上地震的φ較高，其中2010年以來三次MS4.0以上地震分別可達0.72、0.88和0.76.從標(biāo)準(zhǔn)的ETAS模型所能得到的結(jié)果顯示，唐山余震區(qū)內(nèi)絕大多數(shù)地震與1976年MS7.8地震的直接關(guān)聯(lián)較小，后續(xù)發(fā)生的地震更可能是被MS7.8地震的余震，或余震的余震所觸發(fā)的.

由于地震觀測能力的限制，目前尚無法無限降低計算所用的截止震級，因此在ETAS模型研究中的“背景地震”僅為相對概念，與截止震級和所討論的震級范圍有關(guān).研究中為降低時－空ETAS模型的復(fù)雜性，采用了背景地震發(fā)生率是平穩(wěn)的、與時間無關(guān)的假定.而目前一些工作也在從不同層面討論背景地震的時間變化［30－32］和空間變化［33］.

另外，ETAS模型在實際應(yīng)用時也許還應(yīng)考慮一個地震學(xué)問題：對于一次接近8級的地震，有限的震源尺度，已經(jīng)不允許震源再作為一個“點源”.對于唐山地震，在ETAS模型中的“距離”（公式（4）中的x2＋y2），也許不應(yīng)是距主震震中的距離，而（至少）應(yīng)是距主震斷層面的距離［34］.此外將一次接近8級的地震的矩釋放“集中”于震中是否是一個物理上合理的處理，也是值得討論的.也許與“被余震觸發(fā)”的情況大致等效的，應(yīng)該是不止以一個主震的震中，而是以一系列代表了主要“凹凸體”的“等效地震”的震中，來描述主震.但是有一點也許是清楚的，就是目前距主震的發(fā)生畢竟已經(jīng)有太長的時間，因此即使距離主震震中位置很近的2010／2012年的地震，其屬于“背景”地震序列的概率也是很高的——即使主震的位置被賦予了過多的矩釋放量.

1976年唐山MS7.8地震的余震時、空活動較為復(fù)雜，余震展布在140km長、分段特征明顯的斷層上［35］，序列中的較大余震分別呈現(xiàn)了走滑、正斷和逆沖等不同的機制類型［36］，而序列的地震活動也兼有主余型和震群型的特征［37］.也許考慮中小地震的震源機制和主震的破裂過程，輔之以CFS的計算，還會得到更多的信息.當(dāng)然，也有些研究者認(rèn)為，唐山地震及相關(guān)地震的發(fā)生，可能與太平洋板塊深俯沖至我國東部下方的地幔轉(zhuǎn)換帶，然后滯留脫水造成熱物質(zhì)上涌并在地殼深部形成流體，作用于唐山地區(qū)斷裂帶有關(guān)［38］.對上述問題的討論應(yīng)為本研究的后續(xù)工作.

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