數(shù)學(xué)分析中的矛盾問(wèn)題研究

梁江波

（延安大學(xué) 西安創(chuàng)新學(xué)院理工系，陜西 西安 710100）

在數(shù)學(xué)分析中，對(duì)矛盾問(wèn)題和對(duì)立理論的分析，既有助于人們對(duì)數(shù)學(xué)思維、理論構(gòu)造以及思維方式的研究，而且有助于人們對(duì)數(shù)學(xué)史和評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的深入探討.因此，對(duì)數(shù)學(xué)分析中的矛盾問(wèn)題研究的探討有其重要的科學(xué)價(jià)值和意義.

1 數(shù)學(xué)分析中存在的若干矛盾

數(shù)學(xué)分析(Mathematical Analysis)是數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課程之一，基本內(nèi)容是微積分，但是與微積分有很大的差別.數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)是實(shí)數(shù)理論.實(shí)數(shù)系最重要的特征是連續(xù)性，有了實(shí)數(shù)的連續(xù)性，才能討論極限，連續(xù)，微分和積分.正是在討論函數(shù)的各種極限運(yùn)算的合法性的過(guò)程中，人們逐漸建立起嚴(yán)密的數(shù)學(xué)分析理論體系.在這里主要針對(duì)數(shù)學(xué)分析中存在的若干矛盾進(jìn)行簡(jiǎn)單分析，大體有以下幾種情況：

1.1 整體與局部

在數(shù)學(xué)分析中，整體與局部是一對(duì)比較重要的矛盾關(guān)系.整體和局部的辨證關(guān)系原理原理內(nèi)容：任何事物都有它的整體和局部.整體和局部二者既相互區(qū)別又相互聯(lián)系，整體處于統(tǒng)率的決定地位；局部也制約著整體，甚至在一定條件下關(guān)鍵部分的性能對(duì)整體起決定作用.因此，在分析與研究時(shí)，要求要樹(shù)立全局觀念，辦事情從整體著眼，尋求最優(yōu)目標(biāo)；又要搞好局部，使整體功能得到最大發(fā)揮.

微積分中局部與整體的矛盾關(guān)系

局部與整體的思想貫穿微積分的始終，該思想在微積分中有著深入的體現(xiàn).微分和積分都就是用局部代替整體的思想，從而化曲為直，化變量為常量.微分是求商，積分是求積（和）.因此，要正確把握該思想，掌握局部與整體思想在現(xiàn)實(shí)生活中的重要意義，并且在實(shí)際研究中，根據(jù)明清河的《數(shù)學(xué)分析的思想與方法》（山東大學(xué)出版社，這本書(shū)對(duì)微積分的思想有很深的闡述）和克萊因著《古今數(shù)學(xué)思想》進(jìn)行全面分析與總結(jié)，例如以下命題：

（4）f（x）的原函數(shù)為F（x），且F（x）是以T為周期的函數(shù)，則

這里主要講到的是微積分基本定理.

（3）根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，若F'（x）=1x，應(yīng)有-F（x）=lnx+c-（c為常數(shù)），結(jié)論錯(cuò)誤．

在處理這些問(wèn)題時(shí)，正是運(yùn)用了其整體與局部的矛盾關(guān)系，結(jié)合微積分基本定理，問(wèn)題得到全面解決.

1.2 離散與連續(xù)

——離散與連續(xù)在數(shù)學(xué)分析中，是一對(duì)對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系.其中，最為明顯的就是級(jí)數(shù)與積分的轉(zhuǎn)換、數(shù)列與函數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換.在數(shù)學(xué)分析中，函數(shù)極限與數(shù)列極限是分別定義的，而實(shí)現(xiàn)這兩者之間的相互轉(zhuǎn)換的理論橋梁正是海涅定理.

在處理微積分的過(guò)程中，離散型的數(shù)據(jù)或者類型通常采用連續(xù)函數(shù)來(lái)描述，連續(xù)函數(shù)主要通過(guò)不連續(xù)的函數(shù)來(lái)近似處理，所以，它們?cè)跀?shù)學(xué)中，經(jīng)常是成對(duì)出現(xiàn)的.收斂和極限存在是同一回事.可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)比極限存在（收斂），收斂必局部有界.反之都未必.連續(xù)必有定義，有定義未必連續(xù).有定義與極限，局部有界沒(méi)有任何關(guān)系.可積不同，是一個(gè)整體概念，不能談局部.可以這么說(shuō)，可積則函數(shù)在整個(gè)定義域上有界，但有界未必可積.有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必可積，但可積不一定連續(xù).

例如：如果一個(gè)隨機(jī)變量X所有可能取到的值是有限個(gè)或者是可列無(wú)限多個(gè)，并且以確定的概率取這些不同的值，成為離散型隨機(jī)變量例如X=1，2，3，……n如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（X)存在非負(fù)函數(shù)f(x)使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x有F(x)=∫f（t)dt,積分下限是負(fù)無(wú)窮，上限是x，則稱X為連續(xù)性隨機(jī)變量

1.3 常量與變量

在數(shù)學(xué)分析中，常量是靜止不動(dòng)的，是不變的，而變量則是不斷變化的量，是運(yùn)動(dòng)著的，它們是一對(duì)對(duì)立的關(guān)系.根據(jù)相對(duì)理論分析，知道，所有的事物都是不斷運(yùn)動(dòng)的，所以，常量的靜止不動(dòng)與不變是相對(duì)于變量而言的.變量通常情況下，要通過(guò)常量來(lái)體現(xiàn)，而常量又通常位于變量之中，因此，這兩者在一定的情況與條件下，是可以相互轉(zhuǎn)化的，從某種角度上講，這兩者之間又是一個(gè)統(tǒng)一體.也正是因?yàn)槿绱?，在?shù)學(xué)分極中，這種數(shù)學(xué)思想幫助人們解決了很多重要問(wèn)題和理論問(wèn)題.

1.4 有限與無(wú)限

在數(shù)學(xué)分析中，有限與無(wú)限這兩個(gè)概念是截然對(duì)立的，在實(shí)際處理中，無(wú)限中包含著有限，而無(wú)限又可以從中有限中找到，從這個(gè)角度來(lái)分析，充分體現(xiàn)了無(wú)限與有限的對(duì)立與統(tǒng)一.在學(xué)習(xí)微積分時(shí)，學(xué)生所接觸到的第一概念就是極限，也是一個(gè)非常重要的概念，但是在教學(xué)中，極限理論的學(xué)習(xí)一直都是一個(gè)研究的熱點(diǎn)和學(xué)習(xí)和難點(diǎn)問(wèn)題，在學(xué)習(xí)中，一旦脫離兩者之間的辯證關(guān)系，只是從純數(shù)學(xué)的角度去分析，這樣會(huì)給學(xué)生學(xué)習(xí)造成很大的困難，而且也不利于對(duì)微積分問(wèn)題的分析與研究.

另外，在數(shù)學(xué)分析中，有限開(kāi)覆蓋定理就是描述的關(guān)于無(wú)限及有限的問(wèn)題.有限開(kāi)覆蓋定理(Heine-Borel定理)主要描述的是歐氏空間局部的緊性，這個(gè)性質(zhì)在拓?fù)淅飸?yīng)用比較普遍，這個(gè)定理本身也不是很直觀.簡(jiǎn)單來(lái)講，就是微積分本身從有限到無(wú)限的一次飛躍，但是技術(shù)上很多無(wú)限的問(wèn)題仍然需要轉(zhuǎn)化為有限的問(wèn)題才能解決，從有限開(kāi)覆蓋定理的敘述就可以看出，該定理可以實(shí)現(xiàn)從無(wú)限到有限的歸約.該定理另一個(gè)用途是在于從局部向整體的歸約，只要把每一點(diǎn)局部的性質(zhì)分析清楚了就可以推廣到整個(gè)區(qū)域上，這一點(diǎn)也體現(xiàn)了微積分的核心.例如：

若 y(n+1)>y(n)；lim yn->∞；lim(x(n+1)-x(n))/(y(n+1)-yn)存在，那么lim xn/yn=lim(x(n+1)-x(n))/(y(n+1)-yn).

分析：lim(x(n+1)-x(n))/(y(n+1)-yn)存在

設(shè)lim(x(n+1)-x(n))/(y(n+1)-yn)=a

對(duì)于任意e>0,存在N使得，對(duì)n>N有|(x(n+1)-x(n))/(y(n+1)-yn)-a|

那么對(duì)于n>N,有

a-e<(x(n+1)-x(n))/(y(n+1)-yn)

那么

(a-e)(y(N+2)-y(N+1))

(a-e)(y(N+3)-y(N+2))

…

(a-e)(y(n+1)-yn)

(a-e)(y(n+1)-y(N+1))

故

|(x(n+1)-x(N+1))/(y(n+1)-y(N+1))-a|

現(xiàn)在要轉(zhuǎn)化xn/yn為含有上式的形式，并證明其極限xn/yn-a=(xn-x(N+1))/(yn-y(N+1))*(yn-y(N+1))/yn+(x(N+1)-a*y(N+1))/yn，

根據(jù)上式：

|xn/yn-a|<=e|1-y(N+1)/yn|+|(x(N+1)-a*y(N+1))/yn|<=e+|(x(N+1)-a*y(N+1))/yn|，

存在N'>N使得對(duì)n>N'有|(x(N+1)-a*y(N+1))/yn|0有|xn/yn-a|<2e，

那么lim xn/yn=lim(x(n+1)-x(n))/(y(n+1)-yn)這個(gè)理論證明，直觀地分析了有限與無(wú)限的關(guān)系.

2 掌握數(shù)學(xué)分析中矛盾問(wèn)題的學(xué)習(xí)方法

首先，要以幾何直觀做啟發(fā),大膽想象,嚴(yán)密論證.數(shù)學(xué)分析的一個(gè)特點(diǎn)是高度抽象性,而且?guī)缀沃庇^確實(shí)不能代替嚴(yán)密的證明，但一味的強(qiáng)調(diào)抽象性,容易迷失方向,而幾何直觀對(duì)許多分析定理有啟發(fā)作用.很多定理可以從幾何直觀中觀察出來(lái),加以提煉,最后嚴(yán)格證明而上升為定理.如費(fèi)馬引理,即可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為0，幾何直觀上,一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的切線應(yīng)該是水平的,而且似乎不一定要求導(dǎo)函數(shù)連續(xù),然后通過(guò)分析嚴(yán)格證明的猜想.

但是,問(wèn)題還可提升高度，上面說(shuō)可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0,那么可以分析一下導(dǎo)數(shù)為0是否就是極值點(diǎn)，什么時(shí)候有極值點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)為0點(diǎn)未必就是極值點(diǎn).至于后一個(gè)問(wèn)題,條件可能不止一個(gè).其中有一個(gè)比較特殊,知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值.而對(duì)于非常數(shù)函數(shù),如果最值在區(qū)間內(nèi)部取得,它也是極值,如果f可導(dǎo),則f'(x0)=0.于是轉(zhuǎn)到什么時(shí)候可以有內(nèi)部最值(也是極值).一個(gè)條件是非常數(shù)可導(dǎo)函數(shù)的兩端點(diǎn)相等,則區(qū)間內(nèi)部必有最值點(diǎn),因而有內(nèi)點(diǎn)x0滿足f'(x0)=0,于是就有了羅爾定理.又問(wèn)了,這個(gè)條件必要嗎?可以舉出反例,這說(shuō)明羅爾定理的條件只是充分條件.類似的幾何直觀還很多,比如把圖象旋轉(zhuǎn)一下,羅爾定理就變成了拉格朗日定理,如果用參數(shù)形式表示拉格朗日定理,則就變成了柯西定理.當(dāng)然,以上只是從幾何直觀做出的猜想,接下來(lái)必須嚴(yán)格的給予證明.

其次，要從多角度思考問(wèn)題.在解決了一個(gè)問(wèn)題后，可以再挖掘一下,從中找到新的發(fā)現(xiàn)，如條件和結(jié)論對(duì)調(diào)，結(jié)論是否還成立，原問(wèn)題要求函數(shù)f連續(xù),我換成Riemann可積后,結(jié)論如何；或者說(shuō)原問(wèn)題是與三角函數(shù)(涉及周期性)有關(guān),換成一般的周期函數(shù)后,結(jié)論如何.比如關(guān)于積分號(hào)下取極限(or積分運(yùn)算與極限過(guò)程互換)期函數(shù)代替三角函數(shù)推廣下.(這種推廣不一定都行的通,只是提供一種可能的思路)

3 總結(jié)

總而言之，在數(shù)學(xué)分析中，要加強(qiáng)矛盾問(wèn)題的分析，深入探討其中存在的矛盾結(jié)論，從研究方法以及評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)等各個(gè)方面分析，進(jìn)行對(duì)數(shù)學(xué)分析中存在的矛盾有一個(gè)全新的認(rèn)識(shí).

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