基于指數(shù)標(biāo)度的G1法及其應(yīng)用

常艷梅，陳義華

(重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 401331)

層次分析法作為一種定性與定量分析相結(jié)合的多準(zhǔn)則決策方法，在運(yùn)營管理評價、廠址選擇、技術(shù)評價、資源分析、交通運(yùn)輸、安全評價等方面得到了廣泛的應(yīng)用［1－2］。在用層次分析法確定評價指標(biāo)體系權(quán)重時，特征值法是最常用的方法之一，但由于在實(shí)際應(yīng)用中判斷矩陣的一致性難以滿足，所以判斷矩陣一致性的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)C.R.＜0.1的科學(xué)性有待考證。心理學(xué)實(shí)驗(yàn)表明:當(dāng)被比較的元素個數(shù)超過9時判斷就不再準(zhǔn)確，且當(dāng)指標(biāo)較多時，計(jì)算量很大?；谏鲜鲈?，文獻(xiàn)［3］提出了一種無需一致性檢驗(yàn)的方法——G1法。由于指數(shù)標(biāo)度具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，因此其得到人們的認(rèn)可和廣泛應(yīng)用。筆者將指數(shù)標(biāo)度用于G1法，為指標(biāo)相對重要性程度的比較判斷提供賦值參考。應(yīng)用基于指數(shù)標(biāo)度的G1法確定了城市消防安全評價指標(biāo)體系中指標(biāo)的權(quán)重。

1 G1法及其步驟

G1法是東北大學(xué)的郭亞軍教授通過對特征值法的改進(jìn)提出的一種無需一致性檢驗(yàn)的方法。該方法不用構(gòu)造判斷矩陣，計(jì)算量相比層次分析法明顯減少，且對同一層次中的元素個數(shù)沒有限制，具有簡便、直觀、便于使用的特點(diǎn)。G1法分為以下3 個步驟［3］:

1.1 確定序關(guān)系

定義1 若評價指標(biāo)xi相對于某評價準(zhǔn)則(或目標(biāo))的重要性程度大于(或不小于)xj時，則記 xi?xj。

定義2 若評價指標(biāo)x1，x2，…，xm相對于某評價準(zhǔn)則(或目標(biāo))具有關(guān)系式

時，則稱評價指標(biāo)x1，x2，…，xm間按“?”確立了序關(guān)系。這里表示 x1，x2，…，xm按序關(guān)系“?”排定順序后的第 i個評價指標(biāo)(i=1，2，…，m)。為書寫方便且不失一般性，以下仍記式(1)為

對評價指標(biāo)集 {x1，x2，…，xm}建立序關(guān)系的步驟見文獻(xiàn)［3］。

1.2 給出 xk－1與 xk間相對重要性程度的比較判斷

設(shè)專家對評價指標(biāo)xk－1與xk的重要性程度之比 ωk－1/ωk的理性判斷分別為

當(dāng)m較大時，由序關(guān)系式(2)可取rm=1。rk的賦值可參考表1。

表1 rk賦值

關(guān)于rk之間的數(shù)量約束，有下面的定理:

定理1 若x1，x2，…，xm具有序關(guān)系式(2)，則 rk－1與 rk必須滿足

1.3 權(quán)重系數(shù)ωk的計(jì)算

定理2 若專家(或決策者)給出rk的理性賦值滿足關(guān)系式(4)，則ωm為

而

2 指數(shù)標(biāo)度

在綜合評價過程中經(jīng)常存在一些因素?zé)o法定量表示的情況，所以只能對其進(jìn)行定性分析，此時就需要借助標(biāo)度將人們的主觀感覺數(shù)量化，以實(shí)現(xiàn)對其的客觀描述。該過程是決策的基礎(chǔ)和依據(jù)，因而標(biāo)度方法的科學(xué)性至關(guān)重要［4］。

2.1 G1法中標(biāo)度的缺陷

假定對3個指標(biāo)x1、x2、x3按重要程度排序有x1?x2?x3，其中 x1比 x2稍微重要，x2比 x3稍微重要。設(shè) ω1、ω2、ω3是指標(biāo) x1、x2、x3的相對重要性程度，按表1中給出的標(biāo)度法對指標(biāo)間的相對重要性程度之比進(jìn)行賦值，有

由于指標(biāo)間的相對重要性程度之比滿足傳遞性，可得ω1/ω3=1.44。研究表明:x1比 x3重要是合理的，即正常情況下應(yīng)為ω1/ω3=1.4，相對來說指數(shù)標(biāo)度更加符合人們的對應(yīng)習(xí)慣［5］。表1標(biāo)度中若x1比x2極端重要，其相對重要性程度之比僅為1.8，與人們通常的認(rèn)知不相符，影響指標(biāo)間重要性程度內(nèi)在關(guān)系的準(zhǔn)確表達(dá)。

2.2 指數(shù)標(biāo)度

心理學(xué)上的韋伯－費(fèi)希納定律表明:當(dāng)客觀差別等比遞增時，主觀感覺等差遞增。指數(shù)標(biāo)度就是在此基礎(chǔ)上構(gòu)造的一種“等距分級、等比賦值”的標(biāo)度方法［4］。

首先將決策者對因素xi比xj重要性程度之比的主觀感覺判斷等距地分成n等級，如同等重要、稍重要、重要、很重要、極重要等，分別以cij=0，1，2，…;i，j=1，2，…，n 表示，稱 cij為感覺判斷。依據(jù)韋伯－費(fèi)希納定律，設(shè)相鄰兩級客觀重要性比率為a，a＞1，則xi與xj客觀重要性程度之比為ωi/ωj=acij，其中 ωi、ωj分別為 xi、xj的客觀重要性程度，稱acij為xi對xj的重要性程度之比的客觀差別判斷［6］。

文獻(xiàn)［7］指出了對于關(guān)系的復(fù)合假設(shè):2個“稍重要”的復(fù)合等于“重要”;2個“重要”的復(fù)合等于“很重要”;2個“很重要”的復(fù)合等于“極重要”。這是符合人們的心理習(xí)慣的。據(jù)此構(gòu)造了一種指數(shù)標(biāo)度——標(biāo)度(可復(fù)合標(biāo)度)?；诖祟愔笖?shù)標(biāo)度的指標(biāo)間相對重要性程度之比rk的賦值可參考表2。

表2 基于指數(shù)標(biāo)度的rk的賦值

指數(shù)標(biāo)度有利于根據(jù)人們的感覺判斷對指標(biāo)間的客觀重要性程度之比進(jìn)行準(zhǔn)確揭示，其構(gòu)造方式使得標(biāo)度間的重要度滿足傳遞性，且cij允許取任何實(shí)數(shù)。由于感覺判斷的數(shù)值表示與通常人們在確定因素間的重要性程度之比時的表示方式有所差異，為使指數(shù)標(biāo)度更加符合人們的思維習(xí)慣，在專家做出指標(biāo)間的重要性程度關(guān)系(如同等重要、稍重要、重要等)的感覺判斷后，直接根據(jù)對應(yīng)指數(shù)標(biāo)度的賦值參考得出指標(biāo)間的客觀重要性程度之比。將指數(shù)標(biāo)度用于G1法，有利于客觀、準(zhǔn)確地反映評價指標(biāo)體系中各指標(biāo)的權(quán)重。

3 基于指數(shù)標(biāo)度的G1法

對于復(fù)雜的綜合評價問題，經(jīng)常需要依據(jù)層次分析法對問題本質(zhì)及其影響因素等進(jìn)行分析，然后按照一定的規(guī)則將因素分解為目標(biāo)、準(zhǔn)則、方案等層次，進(jìn)而建立一個遞階層次結(jié)構(gòu)，并選取適當(dāng)?shù)木C合評價方法對其進(jìn)行處理。用基于指數(shù)標(biāo)度的G1法對此類問題進(jìn)行指標(biāo)權(quán)重計(jì)算時，首先進(jìn)行層次單排序，然后依次沿遞階層次結(jié)構(gòu)由上而下地逐層計(jì)算得到層次總排序。

3.1 層次單排序

層次單排序用于計(jì)算子系統(tǒng)中時，某層次因素相對于上一層次中某一因素的相對重要性程度為權(quán)值。用基于指數(shù)標(biāo)度的G1法對某層因素進(jìn)行層次單排序的步驟如下:

1)組織專家確定待評價的指標(biāo)相對于某一評價準(zhǔn)則的序關(guān)系。

2)依據(jù)指數(shù)標(biāo)度設(shè)定的重要性程度之比的賦值參考，對專家給出的序關(guān)系中相鄰兩評價指標(biāo)間的相對重要性程度的比較判斷進(jìn)行量化。為減少評價專家主觀因素的影響，提高評價結(jié)果的準(zhǔn)確度和可靠性，可同時組織多名專家分別對同一排序問題中評價指標(biāo)的重要性程度進(jìn)行比較判斷，并借助區(qū)間賦值進(jìn)行指標(biāo)間重要程度的賦值。

假設(shè)L位專家對于評價指標(biāo) x1，x2，…，xm建立了相同的序關(guān)系，不妨設(shè)為x1?x2?…?xm，專家j對指標(biāo)xk－1與指標(biāo)xk間的相對重要性程度之比 rk的賦值記為［rkj1，rkj2］，其中 j=1，2，…，L，k=m，m －1，…，2，則

3)根據(jù)rk的值，由式(5)、(6)計(jì)算各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)ωk。

3.2 層次總排序

要得到最低層次的指標(biāo)關(guān)于總目標(biāo)的排序權(quán)重，需要在得出各指標(biāo)相對于上一層元素的相對權(quán)重的基礎(chǔ)上按照由上而下的順序?qū)⑵溥M(jìn)行層次總排序。

假設(shè)指標(biāo)集 X={x1，x2，…，xm}相對于其上一層指標(biāo)集 B={b1，b2，…，bn}中各元素 bl的權(quán)重為{ωl1，ωl2，…，ωlm}，l=1，2，…，n，其中不受指標(biāo) bl支配的元素 xi的權(quán)重 ωli為 0［8］。指標(biāo)集{b1，b2，…，bn}中各元素相對于總目標(biāo)的權(quán)重已求得，設(shè)為 β1，β2，…，βn，則指標(biāo) xi相對于總目標(biāo)的權(quán)重為

4 基于指數(shù)標(biāo)度的G1法的應(yīng)用

公安消防部組織相關(guān)部門和專家建立了城市消防安全評價指標(biāo)體系，該指標(biāo)體系由“公共消防基礎(chǔ)設(shè)施”“公共消防管理保障”“消防宣傳教育培訓(xùn)”“滅火救援應(yīng)急聯(lián)動”和“火災(zāi)預(yù)警防控”共5個方面的17個二級子系統(tǒng)和30個評價指標(biāo)構(gòu)成［9－10］。

要實(shí)現(xiàn)對城市消防安全的評價，各評價指標(biāo)權(quán)重的確定是其重要步驟。用基于指數(shù)標(biāo)度的G1法確定評價指標(biāo)體系中5個一級指標(biāo)的權(quán)重。

首先，由專家討論確定了5個指標(biāo)之間的序關(guān)系為:公共消防基礎(chǔ)設(shè)施(A1)?公共消防管理保障(A2)?消防宣傳教育培訓(xùn)(A3)?火災(zāi)預(yù)警防控(A4)?滅火救援應(yīng)急聯(lián)動(A5)。

其次，由專家分別給出相鄰指標(biāo)間的相對重要性程度的比較判斷，并借助指數(shù)標(biāo)度將其量化得到其賦值區(qū)間，根據(jù)式(7)計(jì)算rk，整理得:

由式(5)、(6)計(jì)算得公共消防基礎(chǔ)設(shè)施、公共消防管理保障、消防宣傳教育培訓(xùn)、火災(zāi)預(yù)警防控和滅火救援應(yīng)急聯(lián)動的權(quán)重分別為0.290 4、0.225 8、0.196 8、0.156 6、0.130 4。

用基于指數(shù)標(biāo)度的G1法對城市消防安全評價指標(biāo)體系中各層的指標(biāo)進(jìn)行了層次單排序之后，按照由上而下的順序進(jìn)行層次總排序，從而得到各指標(biāo)相對于總目標(biāo)的權(quán)重。其中“公共消防基礎(chǔ)設(shè)施”子系統(tǒng)中各評價指標(biāo)的權(quán)重見表3。

表3 “公共消防基礎(chǔ)設(shè)施”子系統(tǒng)的評價指標(biāo)權(quán)重

5 結(jié)束語

本文針對G1法指標(biāo)間相對重要性程度賦值參考標(biāo)度存在的問題，引入了指數(shù)標(biāo)度對其進(jìn)行改進(jìn)。在用基于指數(shù)標(biāo)度的G1法確定評價指標(biāo)的權(quán)重的過程中，由于指數(shù)標(biāo)度的優(yōu)良性質(zhì)使得各評價指標(biāo)間的重要性程度通過人們的主觀感覺得以定量表示，且無需構(gòu)造比較判斷矩陣，因而與層次分析法相比計(jì)算量大幅減少。在城市消防安全評價指標(biāo)體系中各指標(biāo)權(quán)重的計(jì)算是城市消防安全評價的重要步驟，本文提出的方法對此類問題的解決有一定的參考價值。確定指標(biāo)間相對重要性程度之比時采用區(qū)間賦值及多專家群組判斷的實(shí)現(xiàn)還需進(jìn)一步研究。

［1］Ishizaka A，Labib A.Review of the main developments in the analytic hierarchy process［J］.Expert Systems with Applications，2011，38:14336 －14345.

［2］杜棟，龐慶華.現(xiàn)代綜合評價方法與案例精選［M］.2版.北京:清華大學(xué)出版社，2008.

［3］郭亞軍.綜合評價理論、方法及應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2007.

［4］舒康，梁鎮(zhèn)偉.AHP中的指數(shù)標(biāo)度法［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，1990(1):6 －8.

［5］王學(xué)軍，郭亞軍.基于G1法的判斷矩陣一致性分析［J］.中國管理科學(xué)，2006，14(3):65 －70.

［6］呂躍進(jìn)，張維.指數(shù)標(biāo)度在AHP系統(tǒng)中的重要作用［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報，2003，18(5):452 －456.

［7］丁儉，王華，趙敏.一種簡明的群體決策AHP模型及其新的標(biāo)度方法［J］.管理工程學(xué)報，2000，14(1):16－18.

［8］王蓮芬，許樹柏.層次分析法引論［M］.北京:中國人民大學(xué)出版社，1990.

［9］吳美文，吳軍.主、客觀綜合賦權(quán)法在城市消防安全評價中的應(yīng)用［J］.消防科學(xué)與技術(shù)，2009，28(7):525－527.

［10］曉軒.不再僅以火災(zāi)四項(xiàng)指標(biāo)“論英雄”［N］.人民公安報·消防周刊，2009－06－24(1).