股票網(wǎng)絡(luò)的基尼系數(shù)

聶春笑，劉 微

(合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，安徽 合肥 230009)

自小世界網(wǎng)絡(luò)模型與無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型提出以來(lái)[1－2]，許多學(xué)者們對(duì)現(xiàn)實(shí)中的網(wǎng)絡(luò)以及相關(guān)的理論問(wèn)題進(jìn)行了研究。很多實(shí)際問(wèn)題可以用網(wǎng)絡(luò)描述，如人與人之間的社會(huì)關(guān)系、生態(tài)學(xué)中的食物網(wǎng)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、流行病的傳播、計(jì)算機(jī)病毒的傳播、科學(xué)合作和國(guó)際貿(mào)易等。人們也對(duì)金融市場(chǎng)中的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了研究，研究的節(jié)點(diǎn)以及邊與邊權(quán)的構(gòu)造方式有所不同，筆者以股票作為節(jié)點(diǎn)，股票的距離作為邊權(quán)構(gòu)建股票網(wǎng)絡(luò)并進(jìn)行研究。

1 股票網(wǎng)絡(luò)與網(wǎng)絡(luò)的基尼系數(shù)

1.1 股票網(wǎng)絡(luò)

將不同的股票作為節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)股票之間的某種關(guān)聯(lián)作為邊或者邊權(quán)就構(gòu)成了一個(gè)股票網(wǎng)絡(luò)，常用的構(gòu)建邊權(quán)的方法是基于股票價(jià)格序列的相關(guān)系數(shù)。目前對(duì)股票網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了不少的研究，如BOGINSKI等以時(shí)間序列的相關(guān)系數(shù)作為邊權(quán)，然后取閾值進(jìn)行約化形成無(wú)權(quán)圖，最后計(jì)算度分布與集聚系數(shù)[3]。CHEOLJUN等基于套利定價(jià)模型結(jié)合網(wǎng)絡(luò)模型獲知少數(shù)具有較多連接的節(jié)點(diǎn)與共同因子具有更高的相關(guān)性[4]。蘭旺森等以相關(guān)系數(shù)為邊權(quán)，發(fā)現(xiàn)股票網(wǎng)絡(luò)在某些閾值下為無(wú)尺度網(wǎng)絡(luò)，度分布冪指數(shù)小于1，而網(wǎng)絡(luò)中存在核心節(jié)點(diǎn)，且網(wǎng)絡(luò)可以劃分為兩個(gè)分區(qū)，抽取部分關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)對(duì)整體網(wǎng)絡(luò)有較大的影響[5]。莊新田等以2002—2004年上海證券交易所持續(xù)交易的股票為節(jié)點(diǎn)，股票價(jià)格波動(dòng)的相關(guān)性作為邊權(quán)，在不同的閾值下計(jì)算了度分布冪指數(shù)，指出證券市場(chǎng)網(wǎng)絡(luò)的度分布不具有適當(dāng)?shù)膬缏芍笖?shù)[6]。KIM等定義了股票網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的影響力，發(fā)現(xiàn)影響力分布是冪律分布，其中的指數(shù)約為1.8[7]。

1.2 基尼系數(shù)及股票的距離

為了研究網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性，王林和戴冠中引入基尼系數(shù)的概念，并具體地研究了其與度分布指數(shù)之間的關(guān)系[8]。下面的概念與計(jì)算方法引自于王林和戴冠中的專(zhuān)著，對(duì)應(yīng)的詳細(xì)論證和說(shuō)明可以參看他們的專(zhuān)著[9]。

設(shè)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)具有N個(gè)節(jié)點(diǎn)，將這N個(gè)節(jié)點(diǎn)的度值按照從小到大的順序排列為 v1，v2，…，vN，對(duì)應(yīng)的度值設(shè)為 d1，d2，…，dN，于是有 d1≤d2≤…≤dN。對(duì)于如圖 1 所示，OED稱(chēng)為洛倫茲曲線，對(duì)應(yīng)的基尼系數(shù)為面積比值A(chǔ)/(A+B)。OED的下方面積本質(zhì)上為N個(gè)小梯形的面積之和，如式(1)所示，因而基尼系數(shù)的計(jì)算公式可以表示為式(2)。

圖1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的洛倫茲曲線

進(jìn)一步分析可知網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的度值之間差異越大對(duì)應(yīng)的基尼系數(shù)越大，因而，基尼系數(shù)刻畫(huà)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性。

MANTEGNA首先基于時(shí)間序列的相關(guān)系數(shù)給出了距離的定義，然后從數(shù)學(xué)中引入超度量空間的概念，考察了金融市場(chǎng)的層級(jí)結(jié)構(gòu)，計(jì)算了一些股票集合的最小生成樹(shù)[10]。設(shè)有兩支股票(分別記為i與j)，{Yi(t)}為股票i在t時(shí)間的日收盤(pán)價(jià)，將收盤(pán)價(jià)對(duì)數(shù)化，然后進(jìn)行差分得到對(duì)數(shù)收益率的序列{Si}，如式(3)所示。

在形成的序列{Si}基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮相關(guān)性，計(jì)算{Si}與{Sj}的相關(guān)系數(shù)如式(4)所示，“＜＞”表示對(duì)所考察時(shí)期的數(shù)據(jù)取平均值。

相關(guān)系數(shù)的取值范圍在－1～1之間，若ρij=1，則表明股票價(jià)格完全正相關(guān)，ρij=－1表明股票價(jià)格完全負(fù)相關(guān)，ρij=0表明股票價(jià)格不相關(guān)。而股票的距離則由式(3)進(jìn)行定義，進(jìn)一步分析表明其滿(mǎn)足度量的3個(gè)基本性質(zhì)[11]。

2 股票網(wǎng)絡(luò)基尼系數(shù)的計(jì)算方法

2.1 計(jì)算方法

首先選取一組股票，將該組股票進(jìn)行編碼(編碼的順序無(wú)關(guān)緊要)，這樣可以做出一個(gè)抽象的點(diǎn)集，將該點(diǎn)集作為節(jié)點(diǎn)集，而不同股票之間的股票距離作為邊權(quán)，因此就構(gòu)建了一個(gè)股票網(wǎng)絡(luò)[12]。由于股票之間一般都存在相關(guān)性，于是其一般為完全邊權(quán)網(wǎng)絡(luò)。然后選取不同的閾值，將大于等于閾值的邊保留，而小于閾值的邊約去，這樣可以將原邊權(quán)網(wǎng)絡(luò)約化為無(wú)權(quán)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)一步計(jì)算對(duì)應(yīng)閾值的基尼系數(shù)。

在現(xiàn)實(shí)的計(jì)算中，當(dāng)閾值取值較為特殊時(shí)可能會(huì)存在一些問(wèn)題，如較大閾值的選取可能會(huì)導(dǎo)致約化后的網(wǎng)絡(luò)中存在孤立節(jié)點(diǎn)，為了合理地計(jì)算整體的不同閾值下的基尼系數(shù)，確定閾值選取范圍的方法，首先將不同的邊權(quán)進(jìn)行從小到大排序，設(shè)在依次順序?yàn)?%處的邊權(quán)為θ1，而在85%處的邊權(quán)為 θ2，則閾值的選取范圍即為[θ1，θ2]，事實(shí)上可以變動(dòng)不同的百分比以做合理的研究。由于不同的閾值有不同的基尼系數(shù)，因此選擇一部分合適的數(shù)字作為閾值，可以做出一個(gè)閾值與基尼系數(shù)之間的近似關(guān)系圖，后面的分析將發(fā)現(xiàn)這些關(guān)系呈現(xiàn)為近似的線性關(guān)系，擬合出對(duì)應(yīng)的直線求得直線的斜率可以分析基尼系數(shù)對(duì)閾值的敏感性，在相同的區(qū)間上斜率越大且最初值一致時(shí)對(duì)應(yīng)的基尼系數(shù)變化就越大，由于不同網(wǎng)絡(luò)的θ1與 θ2的選擇可能不一樣，對(duì)應(yīng)的(θ2－ θ1)也不一樣，因此合理的方式是將[θ1，θ2]伸縮為長(zhǎng)度一樣的區(qū)間，通常的辦法是將原區(qū)間伸縮變換為一個(gè)長(zhǎng)度為1的區(qū)間，因此只需將原始擬合的斜率乘以(θ2－θ1)，新的斜率值稱(chēng)為修正后的斜率。

2.2 計(jì)算結(jié)果

筆者選取滬深300指數(shù)與S＆P500指數(shù)中的股票在2006—2009年4年間的每日收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，由于不同的年份，指數(shù)內(nèi)的股票有所變化，因而整體的數(shù)目也可能有所變化，但由于這里考慮的是整體的異質(zhì)性，因此較小的變化對(duì)結(jié)果的影響可以忽略。其中滬深300指數(shù)的每支股票的每日收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)來(lái)自于Wind數(shù)據(jù)庫(kù)，S＆P500指數(shù)中的股票收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)來(lái)自于雅虎財(cái)經(jīng)。

計(jì)算基尼系數(shù)與閾值之間的關(guān)系，圖2與圖3分別為兩個(gè)市場(chǎng)在2009年的計(jì)算結(jié)果，所有計(jì)算結(jié)果如表1與表2所示，計(jì)算使用的軟件為Matlab7.1。

筆者計(jì)算了不同年份對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)基尼系數(shù)與閾值之間的關(guān)系，下面以每個(gè)月的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，已知在較小的時(shí)間段里數(shù)據(jù)計(jì)算出的相關(guān)系數(shù)矩陣可能帶有更多的“噪音”，因此可以直觀地認(rèn)識(shí)到對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性要更小。由于此時(shí)節(jié)點(diǎn)在確定閾值的取值下，度的差異比長(zhǎng)期數(shù)據(jù)計(jì)算的結(jié)果要小，因而對(duì)應(yīng)的基尼系數(shù)也會(huì)較小，下面的計(jì)算驗(yàn)證了這一點(diǎn)。這里取S＆P500指數(shù)中的股票在2009年12個(gè)月的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算的結(jié)果如表3所示。將表3與表1及表2進(jìn)行對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)修正后的斜率均值較表1與表2要小一些，這表明在較小的時(shí)間段序列中，網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性對(duì)閾值的敏感性要低一些。

圖2 2009年滬深300指數(shù)對(duì)應(yīng)的基尼系數(shù)

圖3 2009年S＆P500指數(shù)對(duì)應(yīng)的基尼系數(shù)

表1 滬深300指數(shù)在2006—2009年對(duì)應(yīng)的擬合結(jié)果

表2 S＆P500指數(shù)在2006—2009年對(duì)應(yīng)的擬合結(jié)果

表3 2009年S＆P500指數(shù)每個(gè)月對(duì)應(yīng)的擬合結(jié)果

2.3 基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型的網(wǎng)絡(luò)基尼系數(shù)

1973年BLACK和SCHOLES應(yīng)用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)并最終導(dǎo)出了歐式期權(quán)的定價(jià)公式。依據(jù)幾何布朗運(yùn)動(dòng)模擬股票價(jià)格序列，并按照模擬的數(shù)據(jù)構(gòu)建一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，進(jìn)行對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)基尼系數(shù)的計(jì)算。

圖4為一個(gè)模擬網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的基尼系數(shù)，假設(shè)最初的價(jià)格S0滿(mǎn)足[10，20]上的均勻分布，收益率滿(mǎn)足期望為0.000 6，標(biāo)準(zhǔn)差為0.5的正態(tài)分布，而標(biāo)準(zhǔn)差滿(mǎn)足期望為0.022 5，標(biāo)準(zhǔn)差為0.5的正態(tài)分布。這些最初的假設(shè)并非是確定的，可以任意設(shè)置，在不同的參數(shù)設(shè)置下對(duì)應(yīng)的基尼系數(shù)變化規(guī)律差別不大?？梢悦黠@地看到，基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)的網(wǎng)絡(luò)基尼系數(shù)整體上要遠(yuǎn)小于現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)，這意味著在整體上對(duì)應(yīng)的異質(zhì)性要小于基于現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)的網(wǎng)絡(luò)。圖4中對(duì)應(yīng)的擬合直線為G=0.404 9×θ－0.542 31(殘差范數(shù)為0.020 65)，修正后的斜率為0.404 9×(1.46－1.34)=0.048 6?？梢钥吹叫拚蟮男甭室脖然诂F(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)的網(wǎng)絡(luò)要小很多。

圖4 基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)的網(wǎng)絡(luò)基尼系數(shù)

3 結(jié)論

計(jì)算了股票網(wǎng)絡(luò)的基尼系數(shù)以及基于幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型下的網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)應(yīng)的基尼系數(shù)，發(fā)現(xiàn)二者有很大的差異，基于現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)的網(wǎng)絡(luò)整體具有較大的基尼系數(shù)，而模擬的網(wǎng)絡(luò)則只有較小的基尼系數(shù)，在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行修正后，發(fā)現(xiàn)基尼系數(shù)與閾值之間近似具有線性關(guān)系，而現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的斜率要比模型網(wǎng)絡(luò)對(duì)應(yīng)的斜率大得多，由于最初的較小閾值選取時(shí)的基尼系數(shù)差異較小，表明了現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性要遠(yuǎn)高于模型網(wǎng)絡(luò)。而以單個(gè)月的較短時(shí)間序列進(jìn)行計(jì)算發(fā)現(xiàn)，對(duì)應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的修正擬合斜率要小于以年度為跨度的時(shí)間序列的網(wǎng)絡(luò)修正擬合斜率，這也表明了在短期中網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性要小一些。

傳統(tǒng)的金融理論認(rèn)為存在少數(shù)因素對(duì)股票波動(dòng)具有影響，特別是廣為熟知的金融時(shí)間序列的相關(guān)陣存在占優(yōu)的特征值，這表明現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)存在少數(shù)的經(jīng)濟(jì)因子?；趲缀尾祭蔬\(yùn)動(dòng)模型的基尼系數(shù)較小表明了若不同股票之間的相關(guān)性獨(dú)立，則對(duì)應(yīng)的異質(zhì)性較小;而與此不同，現(xiàn)實(shí)的網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)了一定的異質(zhì)性，筆者認(rèn)為股票網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性的來(lái)源是少數(shù)經(jīng)濟(jì)因子以及大量偶然因素對(duì)不同股票的影響具有異質(zhì)性，也即有一定的不一致性，這種不一致性可以認(rèn)為是市場(chǎng)復(fù)雜性的一部分。

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