參數(shù)變化對簡支斜板屈曲承載力的影響規(guī)律*

付為剛 程文明 濮德璋 鄭嚴(yán)

(西南交通大學(xué)機(jī)械工程研究所，四川成都610031)

為減輕起重機(jī)箱梁結(jié)構(gòu)自重，以樹葉葉脈為仿生對象，提出了起重機(jī)葉脈斜向肋箱梁結(jié)構(gòu)．起重機(jī)箱梁結(jié)構(gòu)通常承受較大的外界壓力，斜板的局部失穩(wěn)容易引起結(jié)構(gòu)整體性破壞．箱梁中的局部斜板可視為簡支斜板，因此，針對簡支斜板屈曲承載能力的研究對于起重機(jī)箱梁結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)至關(guān)重要．

以往關(guān)于彈性板屈曲分析主要采用有限樣條法、伽遼金法、里茲能量法等．Lotfi等［1］運(yùn)用等參樣條有限條法研究了楔形板的屈曲問題．陳炎等［2］利用雙重Fourier級數(shù)展開和Galerkin方法獲得單向軸壓和簡支邊界條件下壓電矩形薄板后屈曲問題的解析解．Ganapathi等［3］運(yùn)用有限元法分析了四邊簡支功能梯度斜板沿厚度方向(非)線性溫度變化的熱屈曲行為．Xiang等［4］運(yùn)用里茲能量法分析了四邊固支和懸臂等邊界條件下，受剪應(yīng)力作用斜板屈曲臨界載荷無量綱值(以下簡稱屈曲臨界載荷)的影響參數(shù)，但沒有考慮四邊簡支斜板屈曲臨界應(yīng)力的影響因素，且參數(shù)選取范圍有限．

微分求積法因具有高精度、高準(zhǔn)確性等特點(diǎn)，被用于彈性薄板結(jié)構(gòu)力學(xué)分析中［5－6］．Wang 等［7］采用邊界融入法(Build－in Method)［8］給出了線性非均布載荷作用下，矩形板屈曲臨界載荷分析的微分求積法．阮苗等［9］運(yùn)用斜(直)坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，建立斜坐標(biāo)下功能梯度斜板的屈曲微分方程，并采用一般微分求積法，求解單向均布軸壓作用下四邊固支斜板的屈曲臨界載荷．在斜(直)坐標(biāo)系間，固支邊界條件表達(dá)式相同;簡支邊界條件表達(dá)式卻不同，且其不能由斜(直)坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系得到．

以往針對斜板的屈曲承載力研究以介紹數(shù)值分析方法為主，未系統(tǒng)、全面地進(jìn)行變參數(shù)研究．文中將在橫向集中載荷作用下斜板彎曲控制微分方程［10］的基礎(chǔ)上，給出斜坐標(biāo)系下簡支邊應(yīng)滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式、縱向載荷作用下斜板屈曲控制微分方程，同時(shí)將調(diào)和微分求積法和邊界融入法結(jié)合起來(以下簡稱調(diào)和邊界融入微分求積法)，求解簡支斜板屈曲臨界載荷;并以受單向軸壓或剪應(yīng)力作用的簡支斜板為例，研究線性非均布載荷變化系數(shù)、斜板邊長比和傾角同屈曲承載力間的耦合作用規(guī)律，為斜向肋在仿生箱梁結(jié)構(gòu)中間距和傾角的確定提供指導(dǎo)．

1 調(diào)和邊界融入微分求積法

一般微分求積法中的插值多項(xiàng)式由xi－xk組成，現(xiàn)將由xi－xk組成的插值多項(xiàng)式變化為關(guān)于sin(xi－xk)的插值多項(xiàng)式，一階權(quán)系數(shù)計(jì)算公式為［11］

2 簡支斜板屈曲控制微分方程

2．1 斜坐標(biāo)系下的幾何方程

下面研究板在發(fā)生變形時(shí)，中平面內(nèi)任意一點(diǎn)D的位移與該點(diǎn)應(yīng)變的關(guān)系．斜坐標(biāo)系下正應(yīng)變與剪應(yīng)變的關(guān)系如圖1所示．xOy為傾角為α的斜坐標(biāo)系，Oz為垂直于中平面(即板厚度方向)的坐標(biāo)軸．將板的中平面連同坐標(biāo)面xOy取出，其上任一點(diǎn)D(x、y)變形后，其位移矢量在坐標(biāo)軸x、y方向的兩個(gè)分量為 u(x、y)、v(x、y)．

圖1 斜坐標(biāo)系下正應(yīng)變與剪應(yīng)變關(guān)系［10］Fig．1 Relation between normal and shear strain in oblique coordinate system［10］

令c=cosα，s=sinα，由圖1知，斜坐標(biāo)系下角度為α的兩斜邊變形前后正應(yīng)變和剪應(yīng)變分別為［10］

根據(jù)薄板小撓度彎曲理論中的假定，薄板上任意點(diǎn)的位移u和v與薄板中面上撓度w間的關(guān)系為

式(2)中z是位移u和v所在平面與板中面間的距離，取中面以下為正，聯(lián)立式(1)與(2)，則得斜坐標(biāo)下彈性薄板的撓度與變形關(guān)系:

2．2 斜坐標(biāo)系下的物理方程

xOy為斜坐標(biāo)系，Ox軸(Oy軸)方向的扭矩垂直于Ox軸(Oy軸)，因此，需要垂直于Ox軸(Oy軸)作輔助軸ξ(η)，輔助斜坐標(biāo)系如圖2所示．傾角為α的平行四邊形斜板DEGF各邊應(yīng)力分布如圖3所示．斜板DEGF中左邊與下邊的應(yīng)力系統(tǒng)如圖4所示．平行四邊形DEGF中右邊與上邊的應(yīng)力系統(tǒng)如圖5所示．針對圖4、5中的應(yīng)力系統(tǒng)進(jìn)行受力平衡分析得各應(yīng)力的計(jì)算公式如下:

各應(yīng)力符號所表示的物理意義見文獻(xiàn)［10］．

斜坐標(biāo)下薄板彈性變形與應(yīng)力間的關(guān)系為

圖2 輔助斜坐標(biāo)系Fig．2 Auxiliary oblique coordinate system

圖3 斜板DEGF各邊應(yīng)力分布Fig．3 Stress distribution in each edge for the skew plate DEGF

圖4 左邊與下邊的應(yīng)力系統(tǒng)Fig．4 Stress system for the left and below edges

圖5 右邊與上邊的應(yīng)力系統(tǒng)Fig．5 Stress system for the right and above edges

2．3 斜坐標(biāo)系下的力學(xué)方程

令D=Eh3/［12(1－2)］，其中 E為材料彈性模量，h為彈性薄板厚度，為材料泊松比．將式(4)代入式(5)，將 σxξz、σyηz和 txηz沿板厚方向作積分，得到斜板彎矩(Mxξ和 Myη)、扭矩(Tyξ和 Txη) 與撓度間的關(guān)系為

斜坐標(biāo)系下長、寬分別為dx、dy的平行四邊形微元體上，作用縱向載荷Nx、Ny和Nxy，如圖6所示．

由圖6可見，在縱向載荷 Nx、Ny和 Nxy的作用下，微元體上會產(chǎn)生Oz軸方向的剪力Qξ和Qη，微元體上各邊會產(chǎn)生彎矩 Mxξ、Myη和扭矩 Tyξ、Txη．圖 6中所有力在Ox、Oy和Oz軸上進(jìn)行投影求和，根據(jù)靜力平衡條件∑Fx，y，z=0 得:

圖6 縱向載荷作用下微元體的受力平衡Fig．6 Load－carrying equilibrium for the micro－body in the plate subjected to the in－plane load

根據(jù)力矩平衡條件∑Mξ=0，∑Mη=0得:

將式(8)中左、右兩式分別對y和x微分一次，利用式(7)消去 Qξ和 Qη，并注意 － Txη=Tyξ，則得:

將式(6)代入式(9)，得到斜板的屈曲微分方程:

2．4 調(diào)和邊界融入微分求積法計(jì)算格式

斜板在x軸向的長度為a，在y軸向的長度為b，在區(qū)間0≤x≤a和0≤y≤b上，均取n個(gè)節(jié)點(diǎn)采用切比雪夫(Chebyshev)極值點(diǎn)劃分節(jié)點(diǎn)［12-13］，可以保證插值余項(xiàng)誤差較小，按式(11)劃分網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)．

邊界上各點(diǎn)構(gòu)成矩陣為

簡支邊界上各點(diǎn)彎矩為0，應(yīng)滿足下式:

采用邊界自由度融入法，將簡支邊界上各點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)作為自由度，邊界上各自由度構(gòu)成矩陣為

當(dāng)斜板傾角α=90°時(shí)，線性非均布載荷變化系數(shù)γ=0表示受均布壓應(yīng)力作用;0＜γ≤1表示僅受壓應(yīng)力作用;1＜γ≤2表示受拉(壓)應(yīng)力的混合作用，且以壓應(yīng)力為主;γ=2表示純彎曲作用．單向軸壓和剪應(yīng)力作用下中間點(diǎn)HI=［wij］(i=2，3，…，n－1;j=2，3，…，n－1)上屈曲微分方程對應(yīng)的微分求積法計(jì)算格式為:

聯(lián)立式(12)、(13)，得到斜板屈曲控制方程的調(diào)和邊界融入微分求積法矩陣:

式(14)中消去與邊界點(diǎn) HB=［HB'，HB″］T相關(guān)的4n行，得關(guān)于中間點(diǎn)HI的n－2階方陣．邊界條件自由度與內(nèi)部節(jié)點(diǎn)自由度間的轉(zhuǎn)換矩陣T=－(KBB)－1KBI，矩陣(PIBT+PII)－1(KIBT+KII)的特征值與縱向載荷N0或Nxy的乘積為斜板屈曲臨界載荷．

3 算例

3．1 精確性驗(yàn)證

以兩對邊受線性非均布軸壓(0≤γ≤2)或剪應(yīng)力作用下四邊簡支斜板為例，研究邊長比(r=b/a)1/2≤r≤2、傾角30°≤α≤90°時(shí)，簡支斜板屈曲臨界載荷的耦合作用規(guī)律．文中方法求得的數(shù)值解同以往結(jié)果對比分析如表1和2所示．由表1可見，對于1/4≤r≤1的剪應(yīng)力作用下的矩形板，文中方法求得的數(shù)值解相對于文獻(xiàn)［1］的數(shù)值解誤差較?。杀?可見，對于邊長比r=1的均布軸壓作用下的斜板，文中方法求得的數(shù)值解相對于文獻(xiàn)［14］的數(shù)值解誤差同樣較小．通過對比研究表明，調(diào)和邊界融入微分求積法在斜板屈曲分析中精度高、穩(wěn)定性好．

表1 剪應(yīng)力作用下矩形板數(shù)值解對比Table 1 Comparison of numerical solutions for rectangular plates under the shear force

表2 邊長比r=1時(shí)均布軸壓作用下數(shù)值解對比Table 2 Comparison of numerical solutions for skew plates under uniform pressure as the aspect ratio of 1

3．2 單向軸壓作用下載荷變化系數(shù)、斜板邊長比及傾角對簡支斜板屈曲臨界載荷的影響

斜板在線性非均布載荷作用下，當(dāng)載荷變化系數(shù)增大時(shí)，軸壓中壓應(yīng)力比例減小，屈曲失穩(wěn)模態(tài)在加載邊方向分布長度減?。d荷變化系數(shù)對簡支斜板屈曲臨界載荷的影響如圖7所示．

由圖7可見，不同邊長比或傾角下，屈曲臨界載荷隨載荷變化系數(shù)的增大而增大，薄板由平面狀態(tài)到曲面狀態(tài)，軸壓做功克服薄板應(yīng)變勢能所需能量增大，且增長趨勢逐步變大．通過繪制模態(tài)變形圖發(fā)現(xiàn)，當(dāng)邊長比r=1、傾角α=75°時(shí)，隨著載荷變化系數(shù)的增大，屈曲失穩(wěn)最大撓度值由0．3045m(γ=0)逐步變?yōu)?．4064m(γ=2)，失穩(wěn)模態(tài)始終保持為1階，失穩(wěn)模態(tài)中心由斜板中心(γ=0)逐步向受壓區(qū)域轉(zhuǎn)移，撓度值由單一負(fù)值變?yōu)檎?fù)值相間，有形成2階模態(tài)的趨勢．

圖7 單向軸壓作用下載荷變化系數(shù)對斜板屈曲臨界載荷的影響Fig．7 Impact of the load－varying coefficient on the critical buckling load for skew plates under uniaxial pressure

簡支斜板在單向軸壓作用下，邊長比變化對屈曲臨界載荷的影響如圖8所示．

圖8 單向軸壓作用下斜板邊長比對屈曲臨界載荷的影響Fig．8 Impact of the aspect ratio on the critical buckling load for skew plates under uniaxial pressure

由圖8可見，不同載荷變化系數(shù)或傾角下，屈曲臨界載荷均隨邊長比的增大而先增大后減小再增大，薄板由平面狀態(tài)到曲面狀態(tài)，軸壓做功克服薄板應(yīng)變勢能所需能量依次增大、減小、增大．通過繪制模態(tài)變形圖發(fā)現(xiàn)，當(dāng)載荷變化系數(shù)γ=1、α=90°時(shí)，隨著邊長比的增大，屈曲失穩(wěn)最大撓度值由0．2793m(γ=0)逐步增加到 0．3180 m(γ =2)，失穩(wěn)模態(tài)由2階轉(zhuǎn)化為1階．

簡支斜板在單向軸壓作用下，傾角變化對屈曲臨界載荷的影響如圖9所示．

由圖9可見，不同載荷變化系數(shù)或邊長比下，屈曲臨界載荷隨傾角的增大而減小，薄板由平面狀態(tài)到曲面狀態(tài)，軸壓做功克服薄板應(yīng)變勢能所需能量減?。ㄟ^繪制模態(tài)變形圖發(fā)現(xiàn)，當(dāng)載荷變化系數(shù)γ=0、邊長比r=1時(shí)，隨著傾角的增大，屈曲失穩(wěn)最大撓度值先增加后減小，失穩(wěn)模態(tài)由2階變?yōu)?階，2階和1階失穩(wěn)模態(tài)長軸分別位于斜板長(短)對角線方向．

圖9 單向軸壓作用下斜板傾角對屈曲臨界載荷的影響Fig．9 Impact of skew angles on the critical buckling load for skew plates under uniaxial pressure

3．3 剪應(yīng)力作用下斜板邊長比及傾角對簡支斜板屈曲臨界載荷的影響

圖10 剪應(yīng)力作用下斜板邊長比對屈曲臨界載荷的影響Fig．10 Impact of the aspect ratio on the critical buckling load for skew plates under shear force

剪應(yīng)力作用下邊長比變化對簡支斜板屈曲臨界載荷的影響如圖10所示．由圖10可見，不同傾角下屈曲臨界載荷隨邊長比增大而增大，薄板由平面狀態(tài)到曲面狀態(tài)，剪應(yīng)力做功克服薄板應(yīng)變勢能所需能量增大．通過繪制模態(tài)變形圖發(fā)現(xiàn)，當(dāng)傾角α=90°時(shí)，隨著邊長比的增大，屈曲失穩(wěn)最大撓度值先減小后增大，失穩(wěn)模態(tài)始終保持為1階，失穩(wěn)模態(tài)長軸由斜板短對角線方向過渡到長對角線方向．

剪應(yīng)力作用下斜板傾角變化對簡支斜板屈曲臨界載荷的影響如圖11所示．

圖11 剪應(yīng)力作用下斜板傾角對屈曲臨界載荷的影響Fig．11 Impact of skew angles on the critical buckling load for skew plates under shear force

由圖11可見，不同邊長比下屈曲臨界載荷隨傾角的增大先減小后增大，薄板由平面狀態(tài)到曲面狀態(tài)，剪應(yīng)力做功克服薄板應(yīng)變勢能所需能量先減小后增大．通過繪制模態(tài)變形圖發(fā)現(xiàn)，當(dāng)邊長比r=1時(shí)，隨著傾角的增大，屈曲失穩(wěn)最大撓度值先增加后減小，失穩(wěn)模態(tài)由2階轉(zhuǎn)化為1階，2階失穩(wěn)模態(tài)長軸分布在斜板長對角線方向，隨著角度增大，1階失穩(wěn)模態(tài)長軸由斜板短對角線方向過渡到長對角線方向．

4 結(jié)語

文中將調(diào)和微分求積法和邊界融入法結(jié)合起來，給出調(diào)和邊界融入微分求積法求解簡支斜板局部穩(wěn)定性的具體方法．與其他數(shù)值解對比分析表明，采用調(diào)和邊界融入微分求積法求解簡支斜板局部穩(wěn)定性，數(shù)值解精度高、穩(wěn)定性好．

系統(tǒng)研究了線性非均布載荷變化系數(shù)、斜板邊長比和傾角同斜板屈曲承載力間的耦合作用規(guī)律．在進(jìn)行仿生箱梁結(jié)構(gòu)加勁肋布置設(shè)計(jì)時(shí)，根據(jù)箱梁結(jié)構(gòu)參數(shù)，確定結(jié)構(gòu)局部失穩(wěn)的主要受載因素是軸向壓應(yīng)力還是剪應(yīng)力，結(jié)合主要受載因素作用下斜板屈曲承載力的變化規(guī)律，對加勁肋進(jìn)行間距和傾角的仿生布置設(shè)計(jì)，如梁高(或梁寬)很大而腹板(或翼緣板)較薄時(shí)，軸向壓應(yīng)力較為重要．

［1］ Lotfi S，Azhari M，Heidarpour A．Inelastic initial local buckling of skew thin thickness－tapered plates with and without intermediate supports using the isoparametric spline finite strip method ［J］．Thin－Walled Structures，2011，49:1475－1482．

［2］ 陳炎，黃小清，馬友發(fā)．單向軸壓下壓電矩形薄板的后屈曲問題［J］．華南理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2003，31(8):45－49．Chen Yan，Huang Xiao－qing，Ma You－fa．Post－buckling of piezoelectric rectangular plate under unilateral pressure［J］．Journal of South China University of Technology:Natural science Edition，2003，31(8):45－49．

［3］ Ganapathi M，Prakash T．Thermal buckling of simply supported functionally graded skew plates［J］．Composite Structures，2006，74(2):247－250．

［4］ Xiang Y，Wang C M．Buckling of skew Mindlin plates subjected to in－plane shear loading ［J］．International Journal of Mechanical Sciences，1995，37(10):1089－1101．

［5］ Farajpour A，Shahidi A R，Mohammadi M，et al．Buckling of orthotropic micro/nanoscale plates under linearly varying in－plane load via nonlocal continuum mechanics［J］．Composite Structures，2012，94(5):1605－1615．

［6］ Dehghan M，Baradaran G H．Buckling and free vibration analysis of thick rectangular plates resting on elastic foundation using mixed finite element and differential quadrature method ［J］．Applied Mathematics and Computation，2011，218(6):2772－2784．

［7］ Wang X W，Shi X D．Differential quadrature buckling analyses of rectangular plates subjected to non－uniform distributed in－plane loadings ［J］．Thin－Walled Structures，2006，44:837－843．

［8］ Wang X W，Gan L F．New approaches in application of differential quadrature method to fourth－order differential equations［J］．Communications in Numerical Methods in Engineering，2005，21:61－71．

［9］ 阮苗，王忠民．功能梯度斜板的屈曲分析［J］．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2011，47(6):57－61．Ruan Miao，Wang Zhong－min．Buckling analysis of functionally graded skew thin plate［J］．Journal of Mechanical Engineering，2011，47(6):57－61．

［10］ 李國豪．關(guān)于斜交異性板的彎曲理論［J］．同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1997，25(2):121－126．Li Guo－h(huán)ao．On the bending theory of skew anisotropic skew plate［J］．Journal of Tongji University:Natural Science Edition，1997，25(2):121－126．

［11］ ?mer Civalek．Application of differential quadrature(DQ)and harmonic differential quadrature(HDQ)for buckling analysis of thin isotropic plates and elastic columns［J］．Engineering Structures，2004，26(2):171－186．

［12］ Mansour Mohieddin Ghomshei M，Mahmoudi A．Thermal buckling analysis of cross－ply laminated rectangular plates under nonuniform temperature distribution:a differential quadrature approach［J］．Journal of Mechanical Science and Technology，2010，24(12):2519－2527．

［13］ Wu X H，Ren Y．Differential quadrature method based on the highest derivative and its applications［J］．Journal of Computational and Applied Mathematics，2007，205:239－250．

［14］ Wang X W，Tan M，Zhou Y．Buckling analyses of anisotropic plates and isotropic skew plates by the new version differential quadrature method ［J］．Thin－Walled Structures，2003，41:15－29．

［15］ Saadapour M M，Azhari M，Bradford M A．Buckling of arbitrary quadrilateral plates with intermediate supports using the Galerkin method ［J］．Comput Methods Appl Mech Eng，1998，164:297－306．

［16］ Yoshimura Y，Iwata K．Buckling of simply supported oblique plates［J］．Journal of Applied Mechanics，1963，30(2):363－366．

［17］ Durvasula S．Buckling of simply supported skew plates［J］．Journal of the Engineering Mechanics Division，1971，97(3):967－979．

［18］ Hegedus T．Finite strip buckling analysis of skew plates under combined loading［M］∥Evayi M．Stability of steel structures．Budapest:Akademi Kiado，1988:633－641．