基于多個BDLM的橋梁結(jié)構(gòu)可靠度實時預(yù)測*

樊學(xué)平 呂大剛

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150090)

橋梁健康監(jiān)測大致分為兩個階段:第一個階段為監(jiān)測系統(tǒng)的研究，包括傳感器的研發(fā)和應(yīng)用、數(shù)據(jù)無線傳輸系統(tǒng)的研發(fā)、數(shù)據(jù)采集與系統(tǒng)集成技術(shù)［1－2］等，該階段的研究已較為成熟;第二個階段為健康監(jiān)測信息的應(yīng)用，該階段的研究主要集中在模態(tài)參數(shù)識別、損傷識別技術(shù)等領(lǐng)域［3］．通過健康監(jiān)測信息對橋梁的可靠度進行預(yù)測和評定已取得了一定的成果［4－6］，但是基于橋梁結(jié)構(gòu)的實時健康監(jiān)測信息對結(jié)構(gòu)的可靠度進行實時預(yù)測和評定，國內(nèi)外的研究尚處于初級階段．考慮到健康監(jiān)測信息實時更新的特點，文中引入了貝葉斯動態(tài)線性模型(BDLM)，并基于橋梁結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測信息，建立了健康監(jiān)測應(yīng)力信息的組合預(yù)測模型;最后以一工程實例對建立的組合預(yù)測模型進行了驗證．

1 監(jiān)測極值應(yīng)力的貝葉斯動態(tài)線性模型組合預(yù)測

1．1 貝葉斯動態(tài)線性模型的假定

貝葉斯動態(tài)線性模型是一種重要的狀態(tài)空間模型，而狀態(tài)空間模型的基本假定［7－8］如下:

(1)狀態(tài)變量、監(jiān)測誤差以及狀態(tài)誤差均服從正態(tài)分布;

(2)狀態(tài)變量(θt，t=1，2，…，n)的變化是個馬爾可夫鏈;

(3)監(jiān)測變量(yt，t=1，2，…，n)相互獨立，且yt只與狀態(tài)變量θt相關(guān)．

1．2 貝葉斯動態(tài)線性模型的組合預(yù)測模型

假設(shè)橋梁監(jiān)測應(yīng)力有n(n≥2)個動態(tài)線性模型［9］，第 i(i=1，2，…，n)個動態(tài)線性模型如下所述．

監(jiān)測方程:

狀態(tài)方程:

初始先驗信息:

式中:yt為 t時刻的監(jiān)測值;νi，t為監(jiān)測誤差項;θi，t為t 時刻的狀態(tài)變量;ωi，t為狀態(tài)噪聲項;Di，t為 t時刻以及以前關(guān)于系統(tǒng)的信息集合，且 Di，t={yt，Di，t－1}，Di，t－1為 t－ 1 時刻的信息集，包括 mi，t－1(平均值)、Ci，t－1(方差)等等．另外，假設(shè) νi，t、ωi，t各自獨立且相互獨立，并都與 θi，t獨立．

若初始先驗信息服從對數(shù)正態(tài)分布，則通過式(4)轉(zhuǎn)化成擬正態(tài)分布［10-11］，μ'與 σ'為分布參數(shù)．

式中:g(·)為樣本的實際概率密度函數(shù);樣本的實際概率分布函數(shù)為 G(·)，且 G(x0)=0．05．

1．3 貝葉斯動態(tài)線性模型的組合預(yù)測遞推

若t－1時刻后驗分布為

則有下面的遞推關(guān)系［7-8，12］．

(1)t時刻的先驗分布

式中:ai，t為 t時刻狀態(tài)變量的先驗均值，ai，t=mi，t－1;Ri，t為 t時刻狀態(tài)變量的先驗方差，Ri，t=Ci，t－1+Wi，t，Wi，t為 t時刻狀態(tài)噪聲的誤差項．

(2)t時刻一步預(yù)測分布

式中:fi，t為 t時刻一步預(yù)測項的預(yù)測均值，fi，t=ai，t;Qi，t為 t時刻一步預(yù)測項的預(yù)測方差，Qi，t=Ri，t+Vi，t，Vi，t為 t時刻監(jiān)測誤差的方差．

根據(jù)HPD區(qū)域的定義，t時刻具有95%保證率的監(jiān)測值預(yù)測區(qū)間為

(3)t時刻的后驗分布

(4)t時刻取算術(shù)平均值的預(yù)測分布

(5)t時刻的組合預(yù)測分布

(6)組合預(yù)測的精度與取算術(shù)平均值的預(yù)測精度的比較［9］，

2 基于組合貝葉斯動態(tài)線性模型的可靠度預(yù)測

文中以一座全長188．81 m的五跨連續(xù)鋼板梁橋為例［13-14］，對第三跨鋼板的跨中梁底的極值應(yīng)力進行了監(jiān)測．對于實際工程來說，文中采用的可靠度計算方法(一次二階矩法［15］)精度足夠，即利用變量的一階矩和二階矩的信息．計算公式如式(11)所示:

式中，μM和σM分別為基于組合貝葉斯動態(tài)線性模型的監(jiān)測極值應(yīng)力平均值和標準差，μR和σR分別為按照規(guī)范計算的抗力的平均值和標準差，μS和σS分別為由鋼板恒載所引起的應(yīng)力的平均值和標準差，μC和σC分別為由混凝土恒載所引起的應(yīng)力的平均值和標準差，γM是傳感器的修正系數(shù)．

對于監(jiān)測的可靠指標［14］，σM=0;對于文中一步預(yù)測的可靠指標，考慮到數(shù)據(jù)的隨機性或不確定性，σM≠0．

3 算例驗證

對前文提到的全長188．81 m的五跨連續(xù)鋼板梁橋的第三跨鋼板的跨中梁底的極值應(yīng)力進行了40天的監(jiān)測，每天的監(jiān)測極值應(yīng)力如表1所示．

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表1 實時監(jiān)測極值應(yīng)力數(shù)據(jù)Table 1 Real－time monitoring data of extreme stress

通過對以前的極值應(yīng)力監(jiān)測信息進行K-S檢驗可知，狀態(tài)變量(趨勢項數(shù)據(jù))的先驗概率密度函數(shù)f(x)為對數(shù)正態(tài)分布或正態(tài)分布．其中對數(shù)正態(tài)分布參數(shù)為:平均值 μ=20．05 MPa，變異系數(shù) V=0．125;正態(tài)分布的參數(shù)為:平均值 μ =25．5 MPa，變異系數(shù) V=0．186．

3．1 基于監(jiān)測信息的貝葉斯動態(tài)線性模型

監(jiān)測方程:

狀態(tài)方程:

式中，0．01545表示趨勢項數(shù)據(jù)(狀態(tài)變量)變化率．

先驗信息:

式中:yt為t時刻應(yīng)力的監(jiān)測數(shù)據(jù);mt為t時刻應(yīng)力的趨勢項值;νt為監(jiān)測誤差;ωt－1為狀態(tài)誤差，表示狀態(tài)的不確定性;V可由以前的監(jiān)測信息來確定，且W=V/0．98，V為監(jiān)測誤差的方差，W為狀態(tài)誤差的方差．

(1)先驗信息服從正態(tài)分布，建立動態(tài)線性模型，對監(jiān)測極值進行預(yù)測;

(2)先驗信息服從對數(shù)正態(tài)分布，轉(zhuǎn)化為擬正態(tài)分布來建立動態(tài)線性模型，對監(jiān)測極值進行預(yù)測;

(3)由(1)和(2)所得的預(yù)測值取算術(shù)平均值作為第3種情況的極值應(yīng)力預(yù)測值;

(4)由(1)和(2)所得的預(yù)測值按照預(yù)測精度取權(quán)重所得的值作為第4種情況的極值應(yīng)力預(yù)測值．

3．2 4種情況下應(yīng)力的預(yù)測曲線及預(yù)測精度的比較

對3．1節(jié)中所描述的4種情況的預(yù)測結(jié)果以及4種情況的預(yù)測精度進行了比較分析，結(jié)果如圖1－6所示．由圖1可知，當先前的監(jiān)測應(yīng)力服從正態(tài)分布時，一步預(yù)測應(yīng)力值和預(yù)測區(qū)間基本滿足監(jiān)測應(yīng)力的變化趨勢和變化范圍;由圖2可知，當先前的監(jiān)測應(yīng)力服從對數(shù)正態(tài)分布時，一步預(yù)測應(yīng)力值和預(yù)測區(qū)間也基本滿足監(jiān)測應(yīng)力的變化趨勢和變化范圍;由圖3可知，取兩種分布的算術(shù)平均值所得的預(yù)測應(yīng)力和預(yù)測區(qū)間也同樣大致滿足監(jiān)測應(yīng)力的變化趨勢和變化范圍;由圖4可知，由組合預(yù)測模型所得的預(yù)測應(yīng)力和預(yù)測區(qū)間也基本滿足監(jiān)測應(yīng)力的變化趨勢和變化范圍;由圖5可知，4種情況下，一步預(yù)測得到的應(yīng)力基本相近，也都能反映監(jiān)測應(yīng)力的變化趨勢;由圖6可知，組合預(yù)測的預(yù)測精度最高(組合預(yù)測即兩種分布取權(quán)重所得到的預(yù)測)．

圖1 先驗信息服從正態(tài)分布時極值應(yīng)力的預(yù)測曲線Fig．1 Forecasting curves of extreme stress when prior information obeys normal distribution

圖2 先驗信息服從對數(shù)正態(tài)分布時極值應(yīng)力的預(yù)測曲線Fig．2 Forecasting curves of extreme stress when prior information obeys lognormal distribution

圖3 取兩種分布算術(shù)平均值所得的極值應(yīng)力預(yù)測曲線Fig．3 Forecasting curves of extreme stress when the arithmetic mean of the predictive value of two distributions is adopted

圖4 組合預(yù)測所得的極值應(yīng)力預(yù)測曲線Fig．4 Combinational forecasting curves of extreme stress

3．3 基于組合預(yù)測應(yīng)力的可靠度預(yù)測

由4種情況的預(yù)測精度可以看出，組合預(yù)測的預(yù)測精度最好．采用極值應(yīng)力的組合預(yù)測模型，并結(jié)合式(11)來對結(jié)構(gòu)的可靠度進行預(yù)測，結(jié)果如圖7所示．圖7可以很好地對結(jié)構(gòu)的可靠度進行預(yù)測，預(yù)測值基本符合結(jié)構(gòu)可靠度的變化趨勢，預(yù)測區(qū)間基本上包括了實時監(jiān)測的可靠度指標．

圖5 4種情況下極值應(yīng)力預(yù)測值的比較Fig．5 Comparison of extreme stress forecasted in the above four cases

圖6 4種情況下極值應(yīng)力預(yù)測精度的比較Fig．6 Comparison of forecasting precision of the extreme stress in the above four cases

圖7 基于極值應(yīng)力的組合預(yù)測模型的可靠指標變化曲線Fig．7 Variation curves of reliability indices based the combinational forecasting model of the extreme stress

4 結(jié)論

(1)建立的監(jiān)測應(yīng)力的貝葉斯動態(tài)線性組合預(yù)測模型，相對于單個的預(yù)測模型以及取平均值的點預(yù)測模型來說，一步預(yù)測值都很接近，但是組合預(yù)測模型具有較好的預(yù)測精度．

(2)基于應(yīng)力的組合預(yù)測模型，對結(jié)構(gòu)的可靠度進行預(yù)測，相對于確定性的監(jiān)測極值應(yīng)力的可靠指標而言，文中考慮了監(jiān)測應(yīng)力的隨機性或不確定性，所得的可靠度較小，可以更好地對結(jié)構(gòu)的安全狀態(tài)進行評定．

(3)文中初次建立了監(jiān)測數(shù)據(jù)的貝葉斯動態(tài)線性模型，而基于較復(fù)雜的數(shù)據(jù)信息，則需要對數(shù)據(jù)進行處理并建立貝葉斯動態(tài)非線性模型，因而有必要進一步研究貝葉斯動態(tài)模型以及數(shù)據(jù)的監(jiān)控機制，并提高它的預(yù)測精度．

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