試卷講評(píng)的一種嘗試

劉鑫

摘 要：數(shù)學(xué)試卷講評(píng)課是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的重要課型，對(duì)于高三更是常規(guī)課。那么，一份試卷在一兩節(jié)課上如何收到最好的效益？多數(shù)教師都側(cè)重于教師的“講”與“評(píng)”，而忽視學(xué)生的“感”與“悟”，收效甚微。有一種現(xiàn)象足以說(shuō)明問(wèn)題“一些考過(guò)、講過(guò)、訂正過(guò)的試題，下次遇到還會(huì)錯(cuò)?！痹蚝卧?？學(xué)生是考試真正的參與者和體驗(yàn)者，試卷講評(píng)應(yīng)從“教師的積極講評(píng)”轉(zhuǎn)移到“學(xué)生的主動(dòng)參與上”，應(yīng)以學(xué)生為主體，教師為引導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：試卷講評(píng)；學(xué)生感悟；效果

想方設(shè)法把試卷中的問(wèn)題巧妙地?cái)[出來(lái)，讓學(xué)生通過(guò)獨(dú)立的思考與討論、彼此的交流與合作從而獲得真正的理解。這樣印象才更深刻，記憶更久遠(yuǎn)，收益更全面，效果遠(yuǎn)勝于教師獨(dú)自講評(píng)的千言萬(wàn)語(yǔ)。下面筆者談?wù)勱P(guān)于試卷講評(píng)的一點(diǎn)嘗試。

一、展示錯(cuò)誤，尋求錯(cuò)因

糾錯(cuò)是試卷講評(píng)的重要板塊，每個(gè)教師都很重視，筆者認(rèn)為教師不能僅僅講評(píng)正確答案的由來(lái)，津津樂(lè)道，有條有理，學(xué)生積極配合，看似聽(tīng)懂，實(shí)質(zhì)還是不會(huì)。原因是學(xué)生跟著教師的思路聽(tīng)而自己根本沒(méi)有獨(dú)立思考，也沒(méi)有發(fā)現(xiàn)自己錯(cuò)在什么地方，所以遇到類似的問(wèn)題還會(huì)重犯。我們應(yīng)尋求學(xué)生錯(cuò)誤的源頭，采用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗ寣W(xué)生充分暴露自己的錯(cuò)誤，進(jìn)而讓他們?cè)谙嗷ブg的思維碰撞與互相交流中自然釋疑糾錯(cuò)、糾偏，歸真歸正。

案例 已知函數(shù)f（x）2x+1，x≥0

1，x<0則滿足不等式f（1-x2）>f（2x）的取值范圍。（ ）

本題是模擬試卷中的一道題，錯(cuò)誤率很高。有部分同學(xué)出現(xiàn)

“0≤x< -1”的錯(cuò)誤答案，原因何在？怎樣才能發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯(cuò)誤的根源，并使其認(rèn)識(shí)自己的錯(cuò)因呢？我叫了幾位成績(jī)較好的同學(xué)回答解題的過(guò)程。

學(xué)生1：先畫(huà)出函數(shù)草圖，由圖知當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，所以要使f（1-x2）>f（2x）成立，必須1-x2>2x≥0解得0≤x< -1。

學(xué)生2：分段討論，當(dāng)x≥0時(shí)，1-x2>2x≥0解得0≤x< -1；當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=1，則f（1-x2）>f（2x）不成立。綜上得0≤x< -1。

看到了兩個(gè)同學(xué)用不同的方法得出相同答案，很多答案相同的同學(xué)喜笑顏開(kāi)，但是教室里出現(xiàn)更多的是不敢茍同的聲音，課堂氣氛立刻熱烈起來(lái)，在大家的共同討論下，終于找到了癥結(jié)所在。原來(lái)學(xué)生1忽略了2x還可以小于零的情況；而學(xué)生2只按照分段函數(shù)的兩段討論，忽視了兩個(gè)數(shù)分別位居不同兩段的情況，還可以由1-x2≥0

2x<0同時(shí)發(fā)現(xiàn)，本題雖是“分段函數(shù)”但無(wú)需討論求解，直接由1-x2>0

1-x2>2x得出正確答案-1

看來(lái)，通過(guò)展示錯(cuò)誤的方式，全體學(xué)生共同參與，互動(dòng)交流，通力合作，尋根究底，糾偏歸正，這樣得出的結(jié)果學(xué)生還會(huì)忘嗎？這是教師獨(dú)自講評(píng)無(wú)法比擬的，其收獲的不僅僅是知識(shí)，更培養(yǎng)了自我探究、合作交流的學(xué)習(xí)精神。

二、優(yōu)化解法，加快速度

糾錯(cuò)是首選之舉，那么對(duì)于試卷中的對(duì)題就置之不理嗎？他們就對(duì)的那么一致嗎？特別是對(duì)于選擇題和填空題，我們能否做到在單位時(shí)間內(nèi)達(dá)到“對(duì)而快，快而準(zhǔn)”嗎？

案例1 集合x(chóng)/ <0B={x/x>1}則A∩B=（ ）

A.{x/-13}

C.{x/-2} D.{x/1

有關(guān)集合內(nèi)容的小題在各種考試中排在第一或第二題的位置，屬于容易題，正確率幾乎每次都是100%，幾乎沒(méi)講過(guò)，但一次考試中偶然發(fā)現(xiàn)，學(xué)生大多這樣解：

解法1：由 <0得-2

上述解法中規(guī)中矩，無(wú)可挑剔。

試卷講評(píng)時(shí)，筆者問(wèn)這道題的考點(diǎn)是什么。

學(xué)生說(shuō)是分式不等式的解法和集合的運(yùn)算兩個(gè)考點(diǎn)，其他學(xué)生也不否認(rèn)。

能不能有其他更好的方法？20秒能否做出來(lái)？

另一名學(xué)生立即明白了，得出解法2。

解法2：因?yàn)锳∩B是B的子集，所以A∩B的范圍比B的范圍小，所以選D。

案例2 已知α，β均為銳角，cos（α+β）=sin（α-β），則tanα=（ ）。

一個(gè)學(xué)生是這樣解的

解：由cos（α+β）=sin（α-β）得cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosα sinβ；

整理得cosα（cosβ+sinβ）=sinα（sinα+cosβ）。

由α，β，均為銳角，所以sinβ+cosβ≠0，因此cosα+sinαtanα=1。

學(xué)生的解答的確是天衣無(wú)縫，滴水不漏，其“誓將運(yùn)算進(jìn)行到底“的堅(jiān)毅精神，令人贊嘆不已！但似乎有些小題大做。這時(shí)傳來(lái)了抗議之聲：

另一名學(xué)生這樣解：

因?yàn)閏os（ -α）=sinα，只要滿足x+x′=2Kπ+ ，就有cosx=sinx′又α，β為銳角，所以只需（α+β）+（α-β）= 即可，故α= ，

tanα=1。

看來(lái)，我們?cè)谧鲱}時(shí)，特別是選擇填空題我們要的不僅是正確答案，也要的是速度。要學(xué)會(huì)“先思題，再做題”，要學(xué)會(huì)“少點(diǎn)算，多點(diǎn)想”。不該算的就不算，該算的也要學(xué)會(huì)巧算，簡(jiǎn)算，估算。為高考中的解答題贏取更多的時(shí)間。

有了這樣的認(rèn)識(shí)，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們長(zhǎng)進(jìn)了不少。

三、發(fā)散提升，還原本質(zhì)

人常說(shuō)“萬(wàn)變不離其宗”那么對(duì)于數(shù)學(xué)解題也是一樣，我們只要認(rèn)清它的“本真面目”，那么數(shù)學(xué)解題就會(huì)輕松自如，自然而然了。

案例 2011年高考數(shù)學(xué)浙江卷文科16題：若x，y滿足x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是（ ）。

本題的考點(diǎn)是均值不等式和學(xué)生的靈活應(yīng)用能力。相應(yīng)的解析為由x2+y2+xy=1得（x+y）2=1+xy，（x+y）2=1+xy≤1+ ；

解得- ≤x+y≤ ；

所以x+y的最大值是 。

本題是一道填空題，多數(shù)人認(rèn)為這樣的解法就夠了，我們不妨嘗試用其他方法來(lái)解，會(huì)發(fā)現(xiàn)有異曲同工之妙，下面來(lái)借鑒

一下。

解法2：設(shè)x+y=t將其代入y=t-x中，得x2+y2+xy=1，得x2+（t-x）2+x（t-x）=1即x2-tx+t2-1=0；因?yàn)殛P(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解，故Δ=（-t）2-4×1×（t2-1）≥0；

解得- ≤x+y≤ ；

所以x+y的最大值是 。

解法3：設(shè)x+y=t，則y=t-x，將其代入x2+y2+xy=1中，得x2+（t-x）2+x（t-x）=1即x2-tx+t2-1=0；

用“直線與橢圓相切的條件”有Δ=（-t）2-4×1×（t2-1）≥0；

解得t=± ；

所以x+y的最大值是 。

解法3：由x，y滿足x2+y2+xy=1知，x，y即可同號(hào)，又可異號(hào)，因?yàn)榍髕+y的最大值，故x，y同正，此時(shí)，想到余弦定理有x2+y2-2xycos120°=1構(gòu)造三角形，再由正弦定理得 = = ；

從而x+y= sinα+ sin（60°-α）= sin（α+60°）；

當(dāng)α=30°時(shí)，x+y的最大值是 。

解法4：令x+y=t，則y=t-x原問(wèn)題化為：已知3a2+b2=1，求2a的最大值.

由3a2+b2=1得3a2=1-b2<1，即a2≤ ，所以a≤ ；

因此2a的最大值為 。

當(dāng)然此題還可用柯西不等式，向量等方法，不再一一作介紹。

在平時(shí)的試卷講評(píng)中，教師往往不做這樣的引導(dǎo)與闡述，總是講這種方法，那種套路，還有何種技巧。如果試卷講評(píng)時(shí)，教師切合試題經(jīng)常性的給學(xué)生還原試題的真面目，一題多解，用不同的解題方法，拓寬學(xué)生視野，并認(rèn)識(shí)各種方法優(yōu)略，那么數(shù)學(xué)解題就是一種全面的思維升華，一種美好享受的過(guò)程。

試卷講評(píng)是一種藝術(shù)，我們只是行走在探索追求的路上?！罢故惧e(cuò)誤，尋求錯(cuò)因”“優(yōu)化解法，加快速度”“發(fā)散提升，還原本質(zhì)”只是筆者自己對(duì)試卷講評(píng)的一種嘗試，望盡我的一些微薄之力，能給這藝術(shù)之路增添一點(diǎn)光彩。

（作者單位 陜西省興平市教育局）