在體驗(yàn)中思考的數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐

段文山

摘 要：新課標(biāo)倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的課堂教學(xué)實(shí)踐，動(dòng)手操作的體驗(yàn)課堂隨處可見(jiàn)，然而，怎樣的體驗(yàn)課堂才能創(chuàng)造出一個(gè)個(gè)驚喜呢？通過(guò)動(dòng)手操作，使學(xué)生獲得的不僅是知識(shí)與技能，更是一種認(rèn)識(shí)事物的方式，一種超越現(xiàn)象認(rèn)識(shí)隱藏于背后的本質(zhì)的追求.嘗試：“在實(shí)踐中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中思考，在思考中感悟，在感悟中創(chuàng)新”的數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐，取得了較好的教學(xué)效果.

關(guān)鍵詞：實(shí)踐；體驗(yàn)；思考；創(chuàng)新

一、“操作”中體驗(yàn)

陶行知先生說(shuō)：“要解放孩子的頭腦、雙手、腳、空間、時(shí)間，使他們充分得到自由的生活，從自由的生活中得到真正的教育.”勇于探索，放手讓學(xué)生去“做”，已成為廣大教師的共識(shí)，但如何“做”，為什么這么“做”，是否“做”得更好等諸多問(wèn)題卻仍然困擾著我們.我嘗試讓學(xué)生盡量在真實(shí)的活動(dòng)中獲得體驗(yàn)，由表及里地審視數(shù)學(xué)知識(shí)，再現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程.

案例Ⅰ“橢圓概念”的認(rèn)識(shí)

師：“嫦娥奔月”，國(guó)人振奮.展示“嫦娥二號(hào)”探月的圖片，并提問(wèn)：“嫦娥二號(hào)”運(yùn)行的軌道是什么形狀？

生：橢圓！

師：同學(xué)們借助身邊可供操作的素材，嘗試著畫一個(gè)橢圓，邊思考橢圓是怎樣畫成的？

生：積極思考，合作探究，有的用圓規(guī)、有的用?？?，有的用小型膠帶（學(xué)生用品），有的徒手畫，有的借助畫圖板……10秒后，不少同學(xué)成功地畫出了橢圓，極少數(shù)同學(xué)仍在嘗試.

師：有哪位同學(xué)能在黑板上展示一下畫橢圓的過(guò)程嗎？

生1：用一條繩子（無(wú)彈性）對(duì)折，一端用左手按住，另一端系一支粉筆，把繩子拉直，將粉筆旋轉(zhuǎn)一圈，松手一望，喲，怎么還是圓呢？

生2：將對(duì)折后繩子的兩個(gè)端點(diǎn)稍分開(kāi)，分別用兩個(gè)指頭按住，中間再用粉筆畫.

師：按照這位同學(xué)的思路在黑板上畫圖，故意將繩子變松，畫出圖：學(xué)生們笑了.

生3：您畫的是“怪蛋”，圓不圓，扁不扁.

生4：繩子沒(méi)拉緊.

師：機(jī)智地捕捉到這一關(guān)鍵思路.問(wèn)：繩子沒(méi)拉緊就畫成“怪蛋？”學(xué)生陷入思考……

生5：（急于表現(xiàn)）繩子拉緊了就是橢圓，就在黑板上畫出一個(gè)橢圓.

生6：我知道了，拉緊了就能使叉開(kāi)的距離之和等于繩子的長(zhǎng)度，保持不變，剛才老師畫的時(shí)候繩子松了一下，叉開(kāi)的距離之和就變了，所以畫出的圖形就不是橢圓.

師：太棒了！誰(shuí)能給出橢圓的定義？

生7：到兩點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.

師：到兩定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡一定是橢圓

嗎？同時(shí)將兩定點(diǎn)的距離拉開(kāi)，再畫一個(gè)橢圓.

生8：扁了.

師：繩子的長(zhǎng)度一定，兩定點(diǎn)距離越來(lái)越大，橢圓越來(lái)越扁，照這樣“扁”下去，后果會(huì)怎樣？

生9：壓扁成一條線段，叉不開(kāi)了.

生10：到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)（大于兩定點(diǎn)間距離）的點(diǎn)的軌跡是橢圓.

師：再次演示，將粉筆一端拉緊繩子，但離開(kāi)黑板畫，學(xué)生會(huì)意.

生11：應(yīng)加上“在平面內(nèi)”，要不然就成雞蛋了.（掌聲響起……）

評(píng)注：通過(guò)操作，使學(xué)生從具體形象思維逐步向抽象邏輯思維過(guò)渡，學(xué)生獲得了大量的感性材料，從而加深了對(duì)橢圓概念的深層次領(lǐng)悟.

二、“體驗(yàn)”中思考

真正的思維起源于某種疑惑、迷亂或懷疑.思維的發(fā)生不是依據(jù)普遍的原則，而是由某種事物作為誘因發(fā)生的.以動(dòng)手操作誘發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，可以巧妙地把以數(shù)學(xué)思維為核心的腦部活動(dòng)和動(dòng)手操作有機(jī)結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生在一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)中積累經(jīng)驗(yàn)，提升觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理、概括等能力.

案例Ⅱ“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”

課前準(zhǔn)備：將班上同學(xué)分成9組，每組5～6人，每個(gè)小組分發(fā)大小相同的硬紙片，上面都寫著1.這足以引起同學(xué)們疑惑……

師：同學(xué)們，還記得前面了解過(guò)的古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的浪漫沙灘之旅嗎？今天我們重溫當(dāng)時(shí)的場(chǎng)景，請(qǐng)同學(xué)們借助硬紙片將它完成.

生：（釋惑）哦！原來(lái)要我們玩.

學(xué)生很快就擺出圖形，如圖1、如圖2.

師：如圖3，第100個(gè)圖案中擺了幾塊硬紙片？

生：圖3中前幾個(gè)圖案中還可以數(shù)，越往后的圖案所需片數(shù)越多，擺到第100個(gè)圖案，紙片是肯定不夠的.

評(píng)注：紙片數(shù)不夠，這一矛盾引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，學(xué)生在做中體驗(yàn)，要體驗(yàn)中不約而同地遇到了困惑，有困惑就有思考，有思考就會(huì)有感悟，運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“再創(chuàng)造”理論，調(diào)動(dòng)學(xué)生原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐中真正“做”數(shù)學(xué).

精彩還在繼續(xù)……

生1：不如將其他組的硬紙片都拿過(guò)來(lái)（急中生智）.

生2：恐怕不行，要是擺到第1000個(gè)圖案呢？太麻煩了吧.

師：就是嘛，要請(qǐng)你擺到第2013個(gè)圖案，也這樣一個(gè)一個(gè)地?cái)[嗎？

評(píng)注：疑問(wèn)再次激起同學(xué)們探究的欲望，剛剛建立起來(lái)的認(rèn)知平衡，被無(wú)情的事實(shí)擊倒了，迫使他們?cè)谑煜ざ志唧w的問(wèn)題情境中，主動(dòng)地尋求解決問(wèn)題的方法.

到底該怎么辦？

通過(guò)實(shí)驗(yàn)、操作、討論、交流，從用硬紙片去擺，n比較大時(shí)，擺第n個(gè)圖案的紙片不夠，使學(xué)生對(duì)三角形數(shù)由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí).

生3：有了?。?dòng)）第n個(gè)圖案的紙片數(shù)為1+2+3+…+n，即將每一行的片數(shù)加在一起.

師：很好.那么數(shù)列1，2，3，…，n是什么數(shù)列？

生：等差數(shù)列.

師：這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容：“等差數(shù)列前n項(xiàng)和.”

（出示課題）1+2+3+…+n=？

生4：在旁邊再擺一個(gè)一樣的倒著放的圖案，這樣每一行的紙片塊數(shù)相同，如圖3，這樣就可求1+2+3+…+n=.

師：太妙了！將一個(gè)三角形圖案順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后的圖案與原圖案拼成一個(gè)平行四邊形狀，再求和，這種數(shù)列求和的方法叫做“例序相加法”.

生5：那正方形數(shù)也可以這樣求，先將它分割為如圖4，再由圖5可得：1+3+5+…+（2n-1）==n2.

師：太棒了！

下面就一般等差數(shù)列an求前n項(xiàng)和.

評(píng)注：由“經(jīng)歷”到“經(jīng)驗(yàn)”非常重要的是思維和情感的真正參與，把操作活動(dòng)變成學(xué)生的自覺(jué)行為，同時(shí)將知識(shí)和思想方法進(jìn)行內(nèi)化，由此誕生真正的數(shù)學(xué)思想.

三、“思考”中創(chuàng)新

所謂“多思必有所得”，教師創(chuàng)設(shè)一個(gè)個(gè)極具思考價(jià)值的數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生時(shí)而沉默思考，時(shí)而大膽探索，在有限的時(shí)間內(nèi)，再現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程，完全陶醉在“好玩”的魅力課堂之中，枯燥的數(shù)學(xué)就變得妙趣橫生.

案例Ⅲ 數(shù)列求和

師：今天我們繼續(xù)玩紙片.

在圖3中，現(xiàn)將第1個(gè)圖案堆在第2個(gè)圖案上，再堆到第3個(gè)圖案上，然后堆到第4個(gè)圖案上，…，如此堆下去，堆成一個(gè)“塔”狀，如圖6是一個(gè)三層塔.請(qǐng)問(wèn)堆一個(gè)這樣的n層塔共需多少個(gè)紙片？

學(xué)生動(dòng)手……

生1：在上節(jié)課中，求第n個(gè)圖案中所需紙片數(shù)時(shí)，按行計(jì)算，即1+2+3+…+n，現(xiàn)在就應(yīng)該按層計(jì)算，第n層所需紙片數(shù)為1+2+3+…+n，因此n層塔所需紙片數(shù)為1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+3+…+n）=1+3+6+…+.

師：這是等差數(shù)列求和嗎？

生：不是.

生2：但我們發(fā)現(xiàn)從第2項(xiàng)起，后一項(xiàng)減前一項(xiàng)得到的數(shù)列：2，3，4，…，是一個(gè)等差數(shù)列.

師：這一發(fā)現(xiàn)太重要了，能用一個(gè)關(guān)系式表示嗎？

生2：我們?cè)囋嚒?/p>

生3：我行！a1=1

an-an-1=n（n>1）

師：精彩！根據(jù)第n層所堆紙片數(shù)=，其他各層的片數(shù)是不是也可以寫成這個(gè)形式？

生：Sn=1+3+6+…+=+++…+.

師：很好！前面我們已經(jīng)會(huì)求等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，這類和怎么求呢？

根據(jù)加法的交換律，有：Sn=+++…+=

（1+2+2+…+n）+（12+22+32+…+n2）.

我們稱這種數(shù)列求和的方法為“分組法”，這里：12+22+32+…+n2=

于是Sn=·+·=.

老師還沒(méi)說(shuō)完，學(xué)生就有話說(shuō).

生：12+22+32+…+n2=怎么來(lái)的？講一下吧.

評(píng)注：當(dāng)操作與思維情感聯(lián)系起來(lái)時(shí)，操作便成為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的源泉.“分組法”容易理解，為什么突然“冒出”12+22+32

+…+n2=呢？如果老師只告訴學(xué)生，課本第58頁(yè)給出了這個(gè)公式，學(xué)生課后自己上網(wǎng)去了解它的推導(dǎo)，這樣未嘗不可，但卻沒(méi)能把學(xué)生的思考引向深入.

師：這個(gè)問(wèn)題還真令老師措手不及，不過(guò)，我想到了前面了解過(guò)的正方形數(shù)，我們是不是將圖4中各個(gè)圖案中的紙片也像剛才那樣操作，壘成一個(gè)“塔”……

生：壘一個(gè)n層塔所需紙片數(shù)為12+22+32+…+n2.（太神了?。?/p>

師：求1+2+3+…+n時(shí)，用的是“倒序相加”法，即將1，2，3，…， 擺成一個(gè)三角形，然后順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到一個(gè)倒放的三角形，兩者拼成一個(gè)平行四邊形再求和，這種思維對(duì)于求12+22+32+…+n2的和是否會(huì)有啟發(fā)呢？

生：嘗試、討論、合作、交流……

師：要擺成三角形狀，要將所有數(shù)都擺完.

生：可是紙片中只有1，哪能得到n？

師：那我們就在紙片背面分別標(biāo)上數(shù)字：1，2，3，4，…，怎么樣？

評(píng)注：數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)：“一個(gè)涌上腦際的念頭，倘若毫無(wú)困難地通過(guò)一些明顯的行動(dòng)就達(dá)到了所求的目標(biāo)，那就不會(huì)產(chǎn)生問(wèn)題.然而，倘若我想不出這樣明顯的行動(dòng)來(lái)，那就產(chǎn)生了問(wèn)題.那就意味著要去找出適當(dāng)?shù)男袆?dòng)，去達(dá)到一個(gè)可見(jiàn)而不即時(shí)可及的目的.”“紙片只標(biāo)有1，那就在背面再標(biāo)數(shù)字！”新知識(shí)在學(xué)生的體驗(yàn)中自然而然產(chǎn)生.

實(shí)踐證明，在體驗(yàn)中思考的數(shù)學(xué)課堂實(shí)踐是受學(xué)生歡迎的，在體驗(yàn)中探究的形式進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生“動(dòng)”起來(lái)了、使數(shù)學(xué)課“活”起來(lái)了、學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣也提高了.這不僅培養(yǎng)了學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，也培養(yǎng)了學(xué)生的科學(xué)探究和團(tuán)結(jié)合作的精神.

參考文獻(xiàn)：

[1]潘建國(guó).在體驗(yàn)中“做”數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)通報(bào)，2006（5）：35.

[2]沈金興.數(shù)學(xué)文化，課堂有你更精彩.數(shù)學(xué)通報(bào)，2009（4）：32.

（作者單位 廣東省中山市東區(qū)中學(xué)）