基于壓縮感知的地磁數(shù)據(jù)分頻壓縮與重構(gòu)方法

劉繁明，張迎發(fā)，李 艷，姚建奇

哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001

1 引 言

隨著航空地磁測(cè)量精度的提高以及高精度插值算法的應(yīng)用，地磁數(shù)據(jù)的網(wǎng)格分辨率達(dá)到百米量級(jí)左右，大大提高了數(shù)據(jù)的空間分辨率，其豐富的紋理信息，更利于應(yīng)用地磁及其梯度數(shù)據(jù)進(jìn)行輔助導(dǎo)航［1－5］。但由于數(shù)據(jù)量的劇增，對(duì)導(dǎo)航數(shù)據(jù)庫構(gòu)建提出了較高的要求，研究大容量地磁數(shù)據(jù)的壓縮方法，降低高分辨率數(shù)據(jù)庫的存儲(chǔ)容量具有重要意義。

傳統(tǒng)數(shù)據(jù)壓縮方法是以犧牲數(shù)據(jù)的高頻細(xì)節(jié)信息為代價(jià)，通常運(yùn)用BDCT（blocking discrete cosine transform）編解碼技術(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分塊變換處理［6］。較大分塊數(shù)據(jù)相關(guān)性較高，可以實(shí)現(xiàn)較大的壓縮比，但大尺寸分塊數(shù)據(jù)壓縮時(shí)又會(huì)丟失數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，引入振鈴效應(yīng)（ringing effect）噪聲和塊效應(yīng)（block effect）邊界誤差［7－9］。由此重構(gòu)的數(shù)據(jù)高頻輪廓特征信息損失嚴(yán)重或引入重構(gòu)噪聲，增大了地磁輔助導(dǎo)航系統(tǒng)匹配失敗或是誤匹配的概率［10－11］，因此不適用于大容量的導(dǎo)航數(shù)據(jù)壓縮。

壓縮感知（compressed sensing，CS）作為一種新興的稀疏信號(hào)精確重構(gòu)理論已成為核磁共振和合成孔徑雷達(dá)成像等圖像處理領(lǐng)域的重要方法［12－13］。由于地磁數(shù)據(jù)能量多集中在低頻分量上，而壓縮感知對(duì)稀疏信號(hào)的隨機(jī)采樣矩陣通常為局部傅里葉變換系數(shù)星形采樣，這種采樣矩陣破壞了低頻分量系數(shù)之間的相關(guān)性，影響了數(shù)據(jù)重構(gòu)精度［14－15］。

為解決大容量地磁數(shù)據(jù)壓縮的同時(shí)，又能較好地保存細(xì)節(jié)輪廓信息的問題，本文提出一種基于壓縮感知理論的數(shù)據(jù)分頻壓縮及聯(lián)合重構(gòu)方法。

2 壓縮感知理論

壓縮感知是一種新興理論，它根據(jù)信號(hào)本身或在變換域中具有的稀疏特性，利用遠(yuǎn)少于Nyquist采樣定理所需的采樣數(shù)據(jù)就可以精確地重構(gòu)原始數(shù)據(jù)，因此，該理論在各個(gè)領(lǐng)域中展開廣泛研究及應(yīng)用［16］。

根據(jù)壓縮感知理論，當(dāng)隨機(jī)測(cè)量矩陣Φ與稀疏變換矩陣Ψ滿足約束等距性（restricted isometry property，RIP）條件，即可利用信號(hào)x線性測(cè)量獲得的觀測(cè)值y＝Φx＝Au，通過解決以下l1范數(shù)最小值問題來實(shí)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)的精確重構(gòu)

式中，A＝ΦΨ為感知矩陣，當(dāng)線性測(cè)量值含有高斯噪聲時(shí)，根據(jù)噪聲大小σ對(duì)上式中l(wèi)1范數(shù)約束條件適當(dāng)松弛，尋找l1范數(shù)最小值問題可以表述為以下線性凸優(yōu)化問題

對(duì)于時(shí)域中絕大多數(shù)圖像數(shù)據(jù)，其離散梯度具有稀疏性，全變差（total variation，TV）正則化模型能夠比較合理地保持圖像的輪廓結(jié)構(gòu)和邊緣特征［17］。因此，全變差方法常作為稀疏變換，替代l1范數(shù)應(yīng)用在壓縮感知方法中［12］。文獻(xiàn)［18—19］結(jié)合TV正則化和l1范數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，給出同時(shí)在稀疏變換域以及稀疏梯度時(shí)域中尋找最優(yōu)解的壓縮感知模型

式中，規(guī)劃參數(shù)λ≥0，選擇適當(dāng)?shù)摩丝梢哉{(diào)整稀疏變換域中l(wèi)1范數(shù)和時(shí)域全變差兩種方法在凸優(yōu)化尋求最優(yōu)解過程中所占的比重。對(duì)于圖像數(shù)據(jù)x，其全變差定義為

式中，D1x＝x（i＋1，j）－x（i，j），D2x＝x（i，j＋1）－x（i，j）為圖像的像素點(diǎn)x（i，j）在水平和垂直方向上的有限差分。

由于TV正則化和l1范數(shù)都具有非平滑、不可微分的特性，傳統(tǒng)優(yōu)化算法如共軛梯度法和匹配追蹤算法在解決以上優(yōu)化問題時(shí)，需要耗費(fèi)大量的計(jì)算 時(shí) 間［20－21］。 近 期 一 些 快 速 算 法 如 TwIST、FISTA、TVAL3和RecPF等的出現(xiàn)，使得在求解壓縮感知問題時(shí)可以節(jié)省大量的時(shí)間［22－25］。

3 基于壓縮感知的分頻壓縮及重構(gòu)方法

對(duì)于導(dǎo)航用地磁數(shù)據(jù)，壓縮時(shí)需要保留精度較高的邊緣、輪廓和紋理等局部高頻特征，基于壓縮感知理論的數(shù)據(jù)分頻壓縮及聯(lián)合重構(gòu)方法主要包含兩部分內(nèi)容：頻域余弦變換的分頻壓縮和基于壓縮感知的聯(lián)合重構(gòu)。

分頻壓縮方法的主要過程為：

（1）以較大范圍的高精度地磁數(shù)據(jù)作為整體進(jìn)行二維離散余弦變換，以將數(shù)據(jù)進(jìn)行多尺度頻率分解。

（2）設(shè)置變換域系數(shù)閾值α，將幅值大于閾值的低頻分量系數(shù)進(jìn)行無損編碼。

（3）高頻分量系數(shù)包含邊緣和紋理成分，利用放射線采樣矩陣R對(duì)高頻分量系數(shù)進(jìn)行稀疏采樣編碼。

數(shù)據(jù)重構(gòu)方法的主要過程為：

（1）對(duì)分頻壓縮存儲(chǔ)的低頻系數(shù)和高頻系數(shù)按所處位置進(jìn)行重組，作為壓縮感知重構(gòu)中的線性觀測(cè)值y＝Φx。其中，測(cè)量矩陣Φ為局部余弦變換系數(shù)矩陣Φ＝CΩ＝Ω′·C［·］，C［·］代表二維離散余弦變換，隨機(jī)采樣矩陣Ω′既包含對(duì)高頻分量系數(shù)的隨機(jī)放射線采樣，又含有對(duì)大于閾值的低頻系數(shù)的確定性采樣。

（2）將上述局部余弦變換系數(shù)作為觀測(cè)采樣值，通過求解式（4）在小波稀疏變換域中l(wèi)1范數(shù)最小化以及時(shí)域全變差正則化的問題重構(gòu)原始地磁數(shù)據(jù)。

實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)分頻壓縮與重構(gòu)方法的部分偽碼如下：

步驟1：加載地磁異常數(shù)據(jù)x，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，設(shè)置二維網(wǎng)格數(shù)據(jù)的間距為Δx、Δy，網(wǎng)格數(shù)為m、n參數(shù)。

步驟2：進(jìn)行余弦變換系數(shù)分頻。對(duì)整體地磁數(shù)據(jù)進(jìn)行離散余弦變換u＝DCT（x），設(shè)置分頻系數(shù)閾值參數(shù)α，將變換域系數(shù)分解為高頻和低頻系數(shù)。

步驟3：局部余弦變換系數(shù)采樣壓縮。對(duì)低頻系數(shù)進(jìn)行無損壓縮編碼u′L＝uL，利用放射線采樣矩陣R對(duì)高頻系數(shù)進(jìn)行稀疏采樣壓縮編碼u′H＝R·uH。

步驟4：獲得重構(gòu)的線性觀測(cè)采樣數(shù)據(jù)。對(duì)壓縮編碼系數(shù)解碼，根據(jù)采樣位置生成局部余弦變換測(cè)量觀測(cè)值y＝CΩ·x。

步驟5：公式（4）可轉(zhuǎn)換為拉格朗日無約束項(xiàng)形式的TVL1－L2壓縮感知模型公式

步驟6：根據(jù)公式（6），利用文獻(xiàn)［25］提出的RecPF算法求解TV正則化和l1范數(shù)最小化的優(yōu)化問題，最終獲得壓縮重構(gòu)的地磁數(shù)據(jù)。該方法基于經(jīng)典的帶參數(shù)拉格朗日算法，利用方向選擇算法實(shí)現(xiàn)優(yōu)化問題的快速計(jì)算，在每次迭代過程中僅包含局部余弦變換系數(shù)閾值計(jì)算，迭代次數(shù)更少，抗差性更強(qiáng)。

通過步驟1～3實(shí)現(xiàn)了分頻壓縮，對(duì)大多數(shù)地磁數(shù)據(jù)而言，高頻分量可近似認(rèn)為是稀疏的，但低頻分量不是稀疏的，它是數(shù)據(jù)主要能量在較低頻率下的逼近信號(hào)。如果將高、低頻系數(shù)一起與放射線采樣矩陣R相乘，則在較低采樣率的情況下會(huì)破壞低頻分量系數(shù)之間的相關(guān)性，導(dǎo)致重構(gòu)效果變差。另外由于低頻系數(shù)所占的比重很小，約3%左右，因此完整保留這些少量的含有重要信息的系數(shù)不會(huì)影響到數(shù)據(jù)的壓縮效率，反而由于精確地保留了這些系數(shù)，可以有效提高重構(gòu)數(shù)據(jù)的質(zhì)量。

而采用步驟4～6利用壓縮感知方法精確重構(gòu)地磁數(shù)據(jù)。該方法不僅在小波變換域中嚴(yán)格稀疏，而且在時(shí)域具有較小的全變差，有效地解決了數(shù)據(jù)平滑與輪廓維持之間的矛盾，在優(yōu)化重構(gòu)過程中抑制高頻誤差噪聲的同時(shí)不對(duì)最優(yōu)解加強(qiáng)平滑作用，較好地保留了地磁數(shù)據(jù)的輪廓和紋理特征，減少了重構(gòu)中的高頻誤差。算法結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 基于壓縮感知的數(shù)據(jù)分頻壓縮及重構(gòu)算法結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 The block diagram of data frequency divisive compression and reconstruction algorithm based on compressed sensing

4 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)仿真試驗(yàn)分析

美國國家地球物理數(shù)據(jù)中心（NGDC）網(wǎng)站提供反映當(dāng)?shù)貐^(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)高頻分量的地磁異常磁數(shù)據(jù)。以2002年發(fā)布的美國加州地區(qū)某處航磁測(cè)量數(shù)據(jù)作為本文仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)，機(jī)載磁力儀精度為1nT，數(shù)據(jù)采樣頻率為2Hz，地磁異常數(shù)據(jù)已消除了地磁場(chǎng)的日變影響，誤差在2nT以下或更低。對(duì)航磁測(cè)線數(shù)據(jù)經(jīng)過Kriging插值、濾波處理形成了100像素×100像素網(wǎng)格數(shù)據(jù)，如圖2（a）所示，數(shù)據(jù)經(jīng)度范圍：－122.04°～－121.9°，緯度范圍：36.20°～36.34°，分辨率為5″，地磁異常數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特征如表1中所示。

表1 地磁異常數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特征Tab.1 Statistical character of the geomagnetic anomaly data nT

為分析重構(gòu)數(shù)據(jù)精度，以及壓縮感知和分頻壓縮在數(shù)據(jù)重構(gòu)中獨(dú)立發(fā)揮的作用，另外給出兩個(gè)壓縮重構(gòu)方法進(jìn)行對(duì)比：一個(gè)為濾波反投影方法（filtered back projection）；另一個(gè)為直接放射線采樣方法，即對(duì)余弦變換系數(shù)不進(jìn)行分頻采樣壓縮，并同樣利用壓縮感知方法來重構(gòu)地磁異常數(shù)據(jù)。

圖2 原始地磁異常數(shù)據(jù)及余弦變換局部系數(shù)采樣模式Fig.2 The original geomagnetic anomaly data and DCT domain sampling pattern

首先對(duì)地磁異常數(shù)據(jù)歸一化處理并進(jìn)行離散余弦變換，由于離散余弦變換具有頻率分解和能量壓縮的特性，使得數(shù)據(jù)在變換域中較大的系數(shù)集中在圖像的左上角，本文方法通過設(shè)置離散余弦變換閾值參數(shù)α，將地磁數(shù)據(jù)在頻域中分為低頻和高頻分量。本仿真試驗(yàn)中根據(jù)實(shí)際情況取α＝0.5，則余弦變換低頻分量系數(shù)采樣率為2.45%，如圖2（b）所示。然后對(duì)高頻分量系數(shù)進(jìn)行隨機(jī)采樣，采樣系數(shù)為28條放射線測(cè)量，如圖2（c）所示。將以上獲得分頻壓縮總采樣率為25%的采樣系數(shù)作為本文方法及濾波反投影方法的重構(gòu)觀測(cè)數(shù)據(jù)。同時(shí)利用放射線直接采樣獲得同樣總采樣率的系數(shù)作為直接放射線采樣方法重構(gòu)觀測(cè)數(shù)據(jù)。表2給出不同采樣方法高頻和低頻系數(shù)所占比例。

利用圖像質(zhì)量客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：峰值信噪比和相對(duì)誤差對(duì)復(fù)原數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)。峰值信噪比定義如下

相對(duì)誤差定義為

式中，fmax（x，y）為地磁異常數(shù)據(jù)最大值；f（x，y）為原始數(shù)據(jù)；f′（x，y）為待評(píng)價(jià)重構(gòu)數(shù)據(jù)；M、N為數(shù)據(jù)網(wǎng)格數(shù)；‖·‖2為l2范數(shù)。

圖3 采樣率為25%時(shí)3種重構(gòu)方法恢復(fù)數(shù)據(jù)結(jié)果Fig.3 The retrieval results of three different algorithms with sampling ratio 25%

圖3中（a）～（f）為總采樣率均為25%時(shí)，3種壓縮重構(gòu)方法恢復(fù)地磁數(shù)據(jù)以及相對(duì)于原始數(shù)據(jù)誤差。表2給出3種重構(gòu)方法恢復(fù)數(shù)據(jù)的峰值信噪比和相對(duì)誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果?？梢钥闯?，雖然濾波反投影重構(gòu)方法與分頻壓縮方法為相同的觀測(cè)重構(gòu)系數(shù)，但在重構(gòu)算法中利用壓縮感知能更精確地重構(gòu)高頻分量數(shù)據(jù)，峰值信噪比提高了4.81dB。而與放射線采樣方法相比，分頻壓縮方法通過閾值采樣，在較低采樣率下保留更多的低頻分量系數(shù)，重構(gòu)數(shù)據(jù)中含有更精確的低頻分量數(shù)據(jù)信息，峰值信噪比相對(duì)放射線采樣方法提高了2.97dB。從重構(gòu)算法的計(jì)算時(shí)間來看，本文方法需要求解l1范數(shù)最小化和TV正則化等凸優(yōu)化問題，雖然計(jì)算時(shí)間比濾波反投影重構(gòu)方法長，但在可允許的計(jì)算時(shí)間內(nèi)提高重構(gòu)數(shù)據(jù)精度是值得的。

表2 重構(gòu)算法恢復(fù)效果及其誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果對(duì)比Tab.2 The comparison of three reconstruction algorithms and their error statistics results

離散余弦變換閾值參數(shù)α的設(shè)置決定了在數(shù)據(jù)壓縮中低頻分量的采樣率，而放射線采樣矩陣R決定高頻分量的采樣率，為分析不同采樣率對(duì)3種方法重構(gòu)數(shù)據(jù)的峰值信噪比影響，圖4給出各方法在不同采樣率下的峰值信噪比，以及相對(duì)于濾波反投影重構(gòu)方法，其他兩種方法增加的峰值信噪比。通過分析可以得出以下兩點(diǎn)結(jié)論：

（1）基于壓縮感知的分頻壓縮方法在不同采樣率下重構(gòu)數(shù)據(jù)均具有更高的峰值信噪比，與傳統(tǒng)濾波反投影方法相比可分別增加1～6dB左右。表明將壓縮感知方法應(yīng)用于高壓縮比的地磁數(shù)據(jù)壓縮重構(gòu)中具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

（2）由于采用余弦變換閾值進(jìn)行分頻壓縮，有效保留了低頻分量數(shù)據(jù)，可以避免如放射線采樣方法在采樣率小于23%時(shí)，峰值信噪比低于濾波反投影重構(gòu)方法的情況，表明本文方法在較低采樣率條件下仍能保證較高的重構(gòu)精度。隨著采樣率增加，放射線采樣方法逐漸包含更多重要的低頻分量系數(shù)，重構(gòu)精度增加，在采樣率大于40%以后精度與本文方法相同。

圖4 不同數(shù)據(jù)采樣率下重構(gòu)算法峰值信噪比分析Fig.4 Analysis of reconstruction algorithms’PSNR via different sampling ratios

5 結(jié) 論

地磁輔助導(dǎo)航系統(tǒng)中需存儲(chǔ)大量高精度地磁數(shù)據(jù)作為基準(zhǔn)圖數(shù)據(jù)庫。針對(duì)傳統(tǒng)數(shù)據(jù)壓縮方法存在高頻細(xì)節(jié)信息損失嚴(yán)重的問題，提出基于壓縮感知理論的分頻壓縮聯(lián)合重構(gòu)方法，在余弦變換壓縮編碼過程中不對(duì)其低頻變換系數(shù)壓縮使之處于特殊的地位，而對(duì)高頻變換系數(shù)進(jìn)行稀疏采樣壓縮編碼，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)壓縮。這樣不僅能較完整地保存低頻分量數(shù)據(jù)，同時(shí)利用壓縮感知重構(gòu)算法，優(yōu)化了重構(gòu)方法中的隨機(jī)觀測(cè)矩陣，可以精確重構(gòu)原始數(shù)據(jù)中高頻分量特征，因此重構(gòu)數(shù)據(jù)不會(huì)像濾波方法使整個(gè)數(shù)據(jù)圖像平滑，而是保留清晰的輪廓，從而在較高數(shù)據(jù)壓縮比條件下獲得更高質(zhì)量的重構(gòu)數(shù)據(jù)。

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