基于矩諧分析的航空重力向下延拓

蔣 濤，黨亞民，章傳銀，劉站科

1.中國測繪科學(xué)研究院，北京 100830；2.國家測繪地理信息局 第一大地測量隊(duì)，陜西 西安 710054

1 引 言

經(jīng)濟(jì)高效的航空重力測量能夠很好地填補(bǔ)衛(wèi)星重力和地面重力測量所得重力場信息的信號盲區(qū)，可覆蓋地面重力測量難以達(dá)到的地區(qū)，數(shù)據(jù)精度在全波長為5～10km的空間分辨率尺度上能夠達(dá)到1～3mGal（1Gal＝1cm／s2）。航空重力測量獲取的是距地面達(dá)數(shù)千米飛行高度處的重力觀測值，大地測量和地球物理等領(lǐng)域需要的是地面或大地水準(zhǔn)面上的重力值，因此需將飛行高度處的重力觀測值向下調(diào)和延拓至地面或大地水準(zhǔn)面上。

在航空重力觀測值向下延拓過程中噪聲會得到放大，可能造成重力場信號的嚴(yán)重失真，若不采用合適的向下延拓方法，將無法得到穩(wěn)定可靠的重力延拓解?，F(xiàn)有的向下延拓方法主要包括逆泊松積分法［1－7］、最小二乘配置（LSC）［8］、快速傅里葉變換（FFT）［9-10］、直接代表法［11］和直接法［12－13］，其中比較常用的是逆泊松積分法，求解泊松積分方程時(shí)一般需引入正則化處理。

本文提出了一種基于矩諧分析的航空重力向下延拓新方法，矩諧分析最開始被文獻(xiàn)［14—15］用于區(qū)域地磁場建模，在地磁學(xué)研究中應(yīng)用廣泛。文獻(xiàn)［16］將矩諧分析用于局部重力場逼近，數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了其可行性。該方法的基本原理是在局部直角坐標(biāo)系中將擾動(dòng)位或其泛函展開成矩諧級數(shù)，利用飛行高度處的重力異?；蛑亓_動(dòng)進(jìn)行矩諧分析以求解表征該區(qū)域內(nèi)重力場的擾動(dòng)位系數(shù)，再進(jìn)行矩諧綜合計(jì)算得到地面或大地水準(zhǔn)面上的重力異常和重力擾動(dòng)，從而完成重力觀測值從飛行高度處到地面或大地水準(zhǔn)面的向下調(diào)和延拓。本文利用EGM2008重力位模型［17］設(shè)計(jì)模擬數(shù)值試驗(yàn)，將矩諧分析與直接法和基于廣義嶺估計(jì)的逆泊松積分法作數(shù)值比較分析，驗(yàn)證了基于矩諧分析的向下延拓方法的可靠性、精度和穩(wěn)定性。

2 數(shù)學(xué)模型

矩諧分析表達(dá)區(qū)域地球重力場的基本思想是在局部直角坐標(biāo)系下求解拉普拉斯方程，將引力位展開成矩諧級數(shù)，以矩諧系數(shù)的集合來表征引力位。矩諧分析是在局部直角坐標(biāo)系中進(jìn)行的，因此需選取數(shù)據(jù)區(qū)域的中心點(diǎn)作為局部直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，將輸入數(shù)據(jù)點(diǎn)的大地坐標(biāo)或球坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到局部直角坐標(biāo)系中。圖1以航空重力測量數(shù)據(jù)為例，給出了局部直角坐標(biāo)系下區(qū)域重力場表達(dá)的幾何關(guān)系。

圖1 局部直角坐標(biāo)系下區(qū)域重力場表達(dá)的幾何關(guān)系Fig.1 Geometry of the regional gravity field representation in local Cartesian coordinate system

在航空重力測量中，GPS動(dòng)態(tài)定位能夠精密確定飛行高度處的大地高，重力擾動(dòng)的獲取已不成問題，可采用重力擾動(dòng)作為重力觀測值。在此直接給出重力擾動(dòng)的矩諧展開式，推導(dǎo)過程請參見文獻(xiàn)［18］

式中

式（1）中的τnm定義為

式中，Dx、Dy分別表示矩形計(jì)算區(qū)域在東西（x）和南北（y）方向上的距離（見圖1）。矩諧展開式（1）對應(yīng)的半波長空間分辨率為

式中，y為k階空中重力擾動(dòng)觀測值向量；A為k×u階設(shè)計(jì)矩陣；x為u階待求擾動(dòng)位系數(shù)向量；e為觀測噪聲，其數(shù)學(xué)期望為0；D｛y｝ 為觀測值的方差—協(xié)方差陣；σ2是先驗(yàn)方差因子；P是權(quán)陣，對應(yīng)的法方程為

其最小二乘解為

矩諧展開模型（1）采用周期性函數(shù)傅里葉級數(shù)表達(dá)重力場信號，其成立的前提是假定待求信號在計(jì)算區(qū)域內(nèi)也是周期性的。顯然有限區(qū)域的重力場信號不具有完全的周期性，用周期函數(shù)表示非周期性信號，在區(qū)域的邊界處，重力位近似等于兩邊界處重力位的平均值，會產(chǎn)生周期延拓邊界效應(yīng)。在矩諧分析中，擴(kuò)展計(jì)算區(qū)域的范圍，使計(jì)算區(qū)域內(nèi)的待求重力場信號滿足周期性條件，可降低周期延拓邊界效應(yīng)的影響。若數(shù)據(jù)點(diǎn)平面范圍為Dx和Dy（如圖1），將計(jì)算區(qū)域的平面范圍擴(kuò)展為Dx＋Δx和Dy＋Δy，使得待估重力場信號在區(qū)間D＋Δ上滿足周期性條件，可顯著降低邊界效應(yīng)，于是式（4）應(yīng)改寫為

航空重力數(shù)據(jù)在向下延拓過程中觀測噪聲會被放大。隨著數(shù)據(jù)格網(wǎng)間隔的減小和延拓高度的增加，設(shè)計(jì)矩陣A（式（7））的復(fù)共線性增強(qiáng)，有可能呈病態(tài)甚至奇異，若采用經(jīng)典最小二乘方法求解，即使較小的觀測誤差也會導(dǎo)致解的嚴(yán)重失真甚至錯(cuò)誤。此外，在矩諧分析中引入擴(kuò)展參數(shù)Δ也會使法方程（式（7））的條件數(shù)增加，加重法方程的病態(tài)性，同樣會影響待求擾動(dòng)位系數(shù)的求解精度。因此，必要時(shí)需引入正則化方法求解病態(tài)法方程，以獲取待求位系數(shù)的最優(yōu)解，可采用Tikhonov正則化方法，則式（6）的正則化解為

式中，I為單位陣；α＞0為正則化參數(shù)，至于最優(yōu)正則化參數(shù)的確定可采用廣義交叉檢驗(yàn)（GCV），詳細(xì)算法請參見文獻(xiàn)［6］、［19］。

利用飛行高度處的重力擾動(dòng)觀測值進(jìn)行矩諧分析求得表示該區(qū)域內(nèi)重力場的擾動(dòng)位系數(shù)后，再按照式（1）進(jìn)行矩諧綜合計(jì)算即可得到大地水準(zhǔn)面上的重力擾動(dòng)，至此便完成了航空重力觀測值的向下延拓。

3 數(shù)值計(jì)算與分析

為評價(jià)基于矩諧分析的向下延拓方法的可靠性、精度和穩(wěn)定性，利用EGM2008重力位模型設(shè)計(jì)模擬數(shù)值試驗(yàn)，將矩諧分析與直接法［13］和基于廣義嶺估計(jì)的逆泊松積分法［6］這兩種下延方法進(jìn)行數(shù)值比較與分析。首先利用EGM2008重力位模型的2～2190階位系數(shù)計(jì)算得到飛行高度處的重力擾動(dòng)，在模擬觀測值中加入數(shù)學(xué)期望為0、標(biāo)準(zhǔn)差為1.5mGal的高斯白噪聲，移去由GOCE衛(wèi)星重力位模型［20］2～120階位系數(shù)計(jì)算的參考重力擾動(dòng)得到殘余重力擾動(dòng)，將殘余重力擾動(dòng)向下延拓至大地水準(zhǔn)面得到延拓值，再恢復(fù)參考模型值得到大地水準(zhǔn)面上的重力擾動(dòng)延拓值。將由EGM2008模型2～2190階位系數(shù)計(jì)算的大地水準(zhǔn)面上的重力擾動(dòng)作為真實(shí)值，比較重力擾動(dòng)延拓值與真實(shí)值，可以檢驗(yàn)向下延拓方法的可靠性與精度并比較其優(yōu)劣。為模擬真實(shí)航空重力測量條件，選定4個(gè)飛行高度H（正高），分別是2km、3km、4km、5km，數(shù)據(jù)點(diǎn)范圍為緯線［30°，33°］和經(jīng)線［107°，110°］圍成的3°×3°區(qū)域，格網(wǎng)間隔取2.5′×2.5′，共包含5184個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，重力擾動(dòng)模擬觀測值統(tǒng)計(jì)信息見表1。分別采用矩諧分析、直接法和基于廣義嶺估計(jì)的逆泊松積分法，將飛行高度處的重力擾動(dòng)觀測值向下延拓至大地水準(zhǔn)面。直接法和逆泊松積分法采用EGM96重力位模型計(jì)算遠(yuǎn)區(qū)流動(dòng)點(diǎn)的貢獻(xiàn)，最大階數(shù)截?cái)嘀?60階，積分球冠區(qū)半徑選為1°。經(jīng)多次對比測試，確定了矩諧分析的最優(yōu)展開階數(shù)和擴(kuò)展參數(shù)，展開階數(shù)取為N＝M＝20，擴(kuò)展參數(shù)取為Δ＝50km，選擇GCV方法確定正則化參數(shù)。

表1 重力擾動(dòng)模擬觀測值統(tǒng)計(jì)表Tab.1 Statistics of simulated gravity disturbance

由于計(jì)算區(qū)域外沒有數(shù)據(jù)點(diǎn)分布，直接法、逆泊松積分法和矩諧分析的向下延拓結(jié)果均會受到邊界效應(yīng)影響，矩諧分析中還存在周期延拓邊界效應(yīng)，首先對比這3種下延方法的邊界效應(yīng)。圖2是直接法、基于廣義嶺估計(jì)的逆泊松積分法和矩諧分析的向下延拓誤差分布圖，延拓高度為4km，計(jì)算點(diǎn)范圍與數(shù)據(jù)點(diǎn)范圍保持一致?？梢钥闯?，在這3種方法中，矩諧分析的下延結(jié)果受邊界效應(yīng)的影響最小，誤差極值點(diǎn)的數(shù)量和量級是最小的，主要分布在距四周邊界15′以內(nèi)，中心區(qū)域（圖2中虛線圍成的2°×2°矩形）計(jì)算點(diǎn)的結(jié)果不受邊界效應(yīng)影響。直接法的邊界效應(yīng)最為嚴(yán)重，誤差極值點(diǎn)的數(shù)量和量級均大大超過其他兩種方法，即使在中心區(qū)域誤差也非常明顯?；趶V義嶺估計(jì)的逆泊松積分法的邊界效應(yīng)介于矩諧分析和直接法之間，中心區(qū)域的計(jì)算點(diǎn)基本不受邊界效應(yīng)影響。

為消除邊界效應(yīng)的影響，應(yīng)以2°×2°中心區(qū)域的計(jì)算結(jié)果來評定3種向下延拓方法的精度，共包含2304個(gè)計(jì)算點(diǎn)。表2分別給出了取不同延拓高度時(shí)直接法、逆泊松積分法和矩諧分析的向下延拓誤差統(tǒng)計(jì)信息，向下延拓誤差定義為延拓值與由EGM2008模型計(jì)算的真實(shí)值之差，其中誤差比定義為

式中，RMS為延拓值相對于真實(shí)值的均方根誤差；e為白噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差。可以看出，在不同延拓高度處，矩諧分析所得延拓解的精度都是最高的，RMS隨延拓高度的增大幅度也是最小的，最大誤差比僅為2.12，噪聲放大程度遠(yuǎn)低于直接法，略低于基于廣義嶺估計(jì)的逆泊松積分法。當(dāng)延拓高度為5km時(shí)，矩諧分析解的RMS為3.183mGal，占直接法所得延拓值RMS（5.665mGal）的56%，略低于逆泊松積分法所得延拓解的RMS（3.245mGal）。圖3是2°×2°中心區(qū)域內(nèi)3種方法的向下延拓誤差分布圖，延拓高度為4km。從中可以看出，矩諧分析的向下延拓誤差均在±10mGal以內(nèi)，大部分計(jì)算點(diǎn)處的誤差不超過±3mGal，其空間分布與逆泊松積分法相似，但誤差量級略低。相比之下，直接法的向下延拓效果最差，中心區(qū)域受到邊界效應(yīng)的影響，出現(xiàn)了較多誤差極值點(diǎn)。

圖2 不同方法的向下延拓誤差Fig.2 DWC errors of different methods

圖3 2°×2°中心區(qū)域不同方法的向下延拓誤差Fig.3 DWC errors of different methods in 2°×2°central area

表2 不同飛行高度的向下延拓誤差統(tǒng)計(jì)Tab.2 Statistics of the DWC errors at different flight levels

表3 加入不同量級噪聲時(shí)的向下延拓誤差統(tǒng)計(jì)Tab.3 Statistics of the DWC errors with different noise levels

以上數(shù)值結(jié)果都是在標(biāo)準(zhǔn)差為1.5mGal的高斯白噪聲條件下得到的，為檢驗(yàn)含較大量級噪聲時(shí)3種向下延拓方法的可靠性與精度，分別在重力擾動(dòng)觀測值中加入標(biāo)準(zhǔn)差為2mGal、2.5mGal和3mGal的高斯白噪聲進(jìn)行向下延拓計(jì)算。表3分別給出了加入不同量級噪聲時(shí)直接法、逆泊松積分法和矩諧分析的向下延拓誤差統(tǒng)計(jì)信息，延拓高度取3km，總體上仍然是矩諧分析表現(xiàn)最優(yōu)，具有最好的精度和穩(wěn)定性。數(shù)值比較結(jié)果表明矩諧分析能夠有效抑制測量噪聲的放大，實(shí)現(xiàn)航空重力信號的穩(wěn)定向下延拓，在精度、穩(wěn)定性和邊界效應(yīng)等方面都要優(yōu)于直接法和基于廣義嶺估計(jì)的逆泊松積分法。

4 結(jié) 論

矩諧分析通過在局部直角坐標(biāo)系下求解關(guān)于引力位的拉普拉斯方程，建立位系數(shù)與重力觀測值之間的函數(shù)關(guān)系，其推導(dǎo)過程嚴(yán)格滿足地球重力場的位理論，具有明確的物理意義。實(shí)際計(jì)算時(shí)矩諧函數(shù)展開至一定的截?cái)嚯A次，求得表征區(qū)域重力場結(jié)構(gòu)的有限階次矩諧系數(shù)，在譜域內(nèi)對重力場信號具有一定的平滑作用，在求解關(guān)于擾動(dòng)位系數(shù)的線性方程組（6）時(shí)，又引入了正則化處理，故矩諧分析能夠有效抑制向下延拓過程中觀測噪聲的放大。

直接法和逆泊松積分法屬于空域內(nèi)的向下延拓方法，由于其函數(shù)模型的固有局限性，下延結(jié)果的邊界效應(yīng)比較明顯，特別是直接法的結(jié)果受邊界效應(yīng)影響非常嚴(yán)重。矩諧分析方法同樣存在邊界效應(yīng)，但擴(kuò)展計(jì)算區(qū)域的范圍，求解法方程時(shí)進(jìn)行正則化處理，可有效控制邊界效應(yīng)的量級和影響范圍，使得中心區(qū)域不致受到邊界效應(yīng)的影響?；贓GM2008重力位模型設(shè)計(jì)的空中重力數(shù)據(jù)向下延拓?cái)?shù)值試驗(yàn)表明：在下延精度、穩(wěn)定性和邊界效應(yīng)等方面，矩諧分析都要優(yōu)于直接法和基于廣義嶺估計(jì)的逆泊松積分法，能夠?qū)崿F(xiàn)航空重力數(shù)據(jù)的穩(wěn)定下延，是一種可靠的航空重力向下延拓方法。

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