用線性插值公式證明一類高考題

☉江蘇省啟東市匯龍中學(xué) 朱健忠

題目：1.（2009年湖北文）過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，自M，N向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為M1，N1.記△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面積分別為S1、S2、S3，試判斷4S1S3是否成立，并證明你的結(jié)論.

2.（2009年湖北理）過拋物線y2=2px（p＞0）的對稱軸上一點(diǎn)A（a，0）（a＞0）的直線與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，自M，N向準(zhǔn)線l：x=-a作垂線，垂足分別為M1，N1.記△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面積分別為S1、S2、S3，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對任意的a＞0，都有S22=λS1S3成立.若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由.

為了節(jié)省篇幅，直接將上面兩題一般化或類比到橢圓與雙曲線，有下面兩個結(jié)論：

上面兩個性質(zhì)都是圓錐曲線共有的性質(zhì)，性質(zhì)1突出過焦點(diǎn)作直線，而性質(zhì)2將條件進(jìn)一步放寬.證明它們的方法比較多，可以用解析法，也可以用平面幾何法.筆者仔細(xì)研究后，覺得性質(zhì)1用線性插值公式證明顯得十分簡單.而性質(zhì)2只需適當(dāng)轉(zhuǎn)化，可迅速轉(zhuǎn)化為性質(zhì)1的證明方法.

證明：如圖1，連接AC交EF于G，由AD∥EF∥BC得：

說明：（1）當(dāng)E，F(xiàn)在AB，DC延長線上時，m∶n為有向線段AE，EB的數(shù)量比，才能使公式成立；

圖2

下面給出性質(zhì)1的證明.

證明：如圖3，若圓錐曲線C為拋物線、橢圓或雙曲線且M、N在同一支上時：

設(shè)過焦點(diǎn)F的直線交圓錐曲線于M、N，自M、N向相應(yīng)準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為M1、N1，F(xiàn)M=m，F(xiàn)N=n，∠FMM1=θ，則

圖3

若過F的直線交雙曲線的兩支于兩點(diǎn)，可類似證明：

圖4

而對于性質(zhì)2的證明，受其形式聯(lián)想，可考慮找到一個伸壓矩陣變換，若能使點(diǎn)A與直線l在此矩陣作用下，所得的點(diǎn)與直線恰好為變換后橢圓的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，那么可直接轉(zhuǎn)化為性質(zhì)1的證明方法.探索后發(fā)現(xiàn)事實(shí)確實(shí)如此.下面以橢圓為例加以闡述性質(zhì)2的證明.

若橢圓①的焦點(diǎn)恰為A′，則m2a2-b2=m2q2，

此時橢圓①的準(zhǔn)線方程恰為：

由于在解決圓錐曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離常轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，因此過焦點(diǎn)的弦被焦點(diǎn)分成的兩條線段長度轉(zhuǎn)化為到相應(yīng)準(zhǔn)線距離時，需要作準(zhǔn)線的垂線，恰好與x軸構(gòu)成三條平行線，如果合理運(yùn)用線性插值公式，能達(dá)到事半功倍的效果.

1.代銀．一道高考題的探究［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2010（11）．

2.徐道．一道高考題引起的聯(lián)想［J］．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2010（11）．