含參數(shù)及絕對(duì)值的二次函數(shù)解題策略初探

☉江蘇省無錫高等師范學(xué)校 張 超

高中數(shù)學(xué)以函數(shù)為主線，而二次函數(shù)作為中學(xué)階段函數(shù)的典型代表，其應(yīng)用十分廣泛.縱觀近十年高考題，有關(guān)含參數(shù)及絕對(duì)值的二次函數(shù)綜合性試題，由于呈現(xiàn)出命題立意新穎、綜合性強(qiáng)、解題難度大等特點(diǎn)，更是成為了高考命題的新熱點(diǎn)，且往往以壓軸題的形式出現(xiàn)，學(xué)生解答較困難.引導(dǎo)學(xué)生對(duì)高三復(fù)習(xí)經(jīng)典題型進(jìn)行探究與解題思想歸類，有助于開拓學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)和創(chuàng)新能力.為此，我們首先對(duì)此類含參數(shù)及絕對(duì)值的二次函數(shù)圖像和性質(zhì)進(jìn)行梳理，并對(duì)此類題型的常用求解策略進(jìn)行例析，供參考.

一、知識(shí)梳理

即絕對(duì)值函數(shù)可以轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，對(duì)于分段函數(shù)給定自變量求函數(shù)值時(shí)，應(yīng)根據(jù)自變量的范圍，利用相應(yīng)的解析式直接求解；若給定函數(shù)值求自變量，應(yīng)根據(jù)函數(shù)每一段的解析式分別求解，但應(yīng)注意檢驗(yàn)該值是否在相應(yīng)的自變量取值范圍之內(nèi)；若其中含有參數(shù)，要對(duì)參數(shù)的范圍進(jìn)行討論.

二、策略探究

策略1：“以形助數(shù)”為主，“以數(shù)定形”為輔

例1 （2010·全國(guó)卷Ⅰ）直線y=1與曲線有4個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

圖1

點(diǎn)評(píng)：本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，它常用來研究方程根的情況、討論函數(shù)的值域（最值）及求變量的取值范圍等，對(duì)這類內(nèi)容的選擇題、填空題，數(shù)形結(jié)合特別有效.從歷年的高考題來看，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究 “以形助數(shù)”，但“以數(shù)定形”也不容忽視.

策略2：運(yùn)用思想方法靈活轉(zhuǎn)化試題

以絕對(duì)值函數(shù)為載體，運(yùn)用函數(shù)、方程及不等式的思想，借助三者之間的依賴關(guān)系，靈活轉(zhuǎn)化，解決運(yùn)動(dòng)和變化中出現(xiàn)的問題，能給學(xué)生提供思考的空間，使他們的聰明才智在解題中得到充分的展示，進(jìn)而體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)考素質(zhì)，考能力的要求.

例2（2009年揚(yáng)大附中高三調(diào)研卷）若函數(shù)f（x）=圖像上存在點(diǎn)P（x1，f（x1））對(duì)任意a∈（－1，3］都不在x軸上方，求b的最小值.

解析：由已知，對(duì)任意a∈（－1，3］，存在x有f（x）≤0，即可令，h（x）=－x2+b，函數(shù)g（x）與h（x）的圖像如圖2，當(dāng)a=3或－1時(shí)，有g(shù)1（x）=.比較函數(shù)g（x）與h（x）的圖像位置可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)拋物線h（x）與射線g（x）=x+3相切時(shí)，b有最小值.故由，消去y有x2+x+3－b=0，由Δ=0解得b=故b的最小值為

圖2

點(diǎn)評(píng)：本題將已知條件轉(zhuǎn)化為?a∈（－1，3］，?x有f（x）≤0，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為g（x）≤h（x），通過比較g（x）與h（x）的圖像的位置找到解題途徑.解答關(guān)鍵是由條件和圖像確定a和b的取值范圍，去掉絕對(duì)值符號(hào)得到a與b的關(guān)系式，再消元轉(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)求值域.

策略3：實(shí)施“分類討論”，分層解決問題

當(dāng)所研究的問題含有參數(shù)時(shí)，往往要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.分類時(shí)注意要全面，本著“不重復(fù)，不遺漏”的原則進(jìn)行，最后要有概括性的總結(jié)，敘述時(shí)力爭(zhēng)做到條理簡(jiǎn)潔，語言精練.

例3（2009年上海市盧灣區(qū)高考一模）設(shè)函數(shù)f（x）=，常數(shù)a為實(shí)數(shù)）.

（1）若f（x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）設(shè)a＞2，求函數(shù)f（x）的最小值.

解析：（1）a=0（略）.

點(diǎn)評(píng)：本題第二問首先要根據(jù)絕對(duì)值的意義，將所給函數(shù)化為熟知的分段函數(shù)，然后結(jié)合a的取值范圍和每一段的一元二次函數(shù)的單調(diào)性求出每一段的最小值，最后只需比較兩最小值的大小，取較小的即可.

總之，在求解含參數(shù)及絕對(duì)值的二次函數(shù)問題中，讓學(xué)生充分重視絕對(duì)值函數(shù)的類型及其轉(zhuǎn)化方法是解題的關(guān)鍵，掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，并充分重視數(shù)型結(jié)合思想是突破難點(diǎn)的重要手段.

1.孫福明.二次函數(shù)壓軸題的解題策略［J］.數(shù)學(xué)通訊，2003（15）.

2.于亦香.對(duì)一道函數(shù)絕對(duì)值問題的探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（7）. ■