多角度證明不等式一例

☉山東省東營(yíng)市第一中學(xué) 王鳳霞 楊興賀

方法一（綜合法）

證明：因?yàn)閍，b為直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)，c為斜邊的長(zhǎng)，所以a2+b2=c2.

又（mb－na）2≥0，即m2b2－2mnab+n2a2≥0，

所以m2（c2－a2）－2mnab+n2（c2－b2）≥0，

c2（m2+n2）≥m2a2+2mnab+n2b2，

即c2（m2+n2）≥（ma+nb）2.

而c>0，ma+nb>0，所以

由于比較法和分析法相對(duì)于綜合法較簡(jiǎn)單，此處略.

方法二（構(gòu)造函數(shù)法）

方法三（三角換元法）

方法四（向量法）

證明：設(shè)a=（a，b），b=（m，n）.由題意知而cos〈a，b〉，所以，即ma+nb≤，所以

方法五（數(shù)形結(jié)合法）

以上我們是從不同的角度和側(cè)面，找出問題的本質(zhì)，探求知識(shí)的相互關(guān)系，來解決問題，從而擴(kuò)展了學(xué)生的思維空間，豐富學(xué)生的解題思路.■