連續(xù)時間周期信號頻域分析的MATLAB實現(xiàn)

韓曉霞，高月華，陳 雷

（河北大學電子信息工程學院，河北 保定 071002）

信號與系統(tǒng)課程是電氣信息類專業(yè)學生的一門重要的專業(yè)基礎課，周期信號的頻域分析是信號與系統(tǒng)中的難點內(nèi)容之一。本文以典型的周期矩形脈沖信號為例，介紹了周期信號頻域分析的兩種方法即傅立葉級數(shù)分析法和傅立葉變換分析法，并利用MATLAB軟件，結合其圖形用戶界面接口（GUI），設計了具有良好人機交互界面的仿真軟件，用以輔助課堂教學，不僅提高了教學效率，而且有助于學生掌握周期信號頻譜分析的方法。

1 周期信號頻域分析理論

周期信號是定義在（-∞，+∞）區(qū)間內(nèi)，按一定時間間隔（周期T）不斷重復的信號?？杀硎緸閒（t）=f（t+mT），式中m為任意整數(shù)，T為周期，周期的倒數(shù)稱為該信號的頻率。典型的周期信號如周期矩形脈沖信號（見圖1），周期為T，脈沖寬度為τ。

周期信號可以分解成一系列正弦信號或虛指數(shù)信號之和，這些分量的幅度和相位隨頻率變化的關系稱為周期信號的頻譜，可分為幅度譜和相位譜。

圖1 周期矩形脈沖

1.1 連續(xù)時間周期信號的傅立葉級數(shù)分析

在信號與系統(tǒng)理論中，滿足狄里赫利條件的周期信號可以展開成傅立葉級數(shù)，傅立葉級數(shù)展開式有三種：

傅立葉級數(shù)展開的三種形式各有優(yōu)點，式（1）便于進行傅立葉級數(shù)展開，式（2）是物理意義清楚的三角形式，式（3）是便于理論分析的指數(shù)形式。

下面利用指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)對圖1所示的周期矩形脈沖進行頻譜分析，首先計算傅立葉系數(shù) Fn：

周期矩形脈沖的指數(shù)形式的傅立葉級數(shù)展開式為

圖2 周期矩形脈沖的頻譜（T=4τ）

1.2 連續(xù)時間周期信號的傅立葉變換分析

周期信號的傅立葉變換在頻域是由一串沖激所組成，各沖激的面積正比于傅立葉級數(shù)。一個周期為T的周期函數(shù)fT（t）的傅立葉變換FT（jω）的表達式為

上式表明，周期信號的傅立葉變換由無窮多個沖激函數(shù)組成，這些沖激函數(shù)位于信號各諧波角頻率 nΩ（n=0，±1，±2……）處，其強度為各相應幅度Fn的2π倍。

下面利用傅立葉變換對圖1所示的周期矩形脈沖進行頻譜分析，式（4）為已求得的傅立葉系數(shù)Fn，將其代入式（6）得

圖3 周期矩形脈沖的傅立葉變換（T=4τ）

比較圖2和圖3，雖然從頻譜的圖形上看很相似，但二者的含義不同，圖2是將周期函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)時的頻譜，得到的是傅立葉系數(shù)與頻率的關系，代表的是各頻率分量的幅度和相位，而圖3是對周期信號進行傅立葉變換時的頻譜，得到的是頻譜密度與頻率的關系。

2 教學程序演示及實例仿真

在信號與系統(tǒng)的教學中，周期信號的頻域分析始終是一個教學難點。為了更直觀的展現(xiàn)周期信號的頻譜，同時也為了使學生更好的理解理論知識，我們利用MATLAB開發(fā)了用于周期矩形脈沖信號頻譜分析的交互式仿真程序，周期矩形脈沖信號的頻譜隨著其周期及脈沖寬度的變化而有所不同。通過此仿真程序可以直觀地觀察到這種變化。

（1）脈沖寬度與頻譜的關系

將周期矩形脈沖信號的周期固定為10s，設定脈沖寬度分別為1s、4s，觀察幅度譜的變化。

圖4 周期矩形脈沖頻譜隨脈寬的變化

由圖4可見，由于周期T相同，因而相鄰譜線的間隔相同；脈沖寬度τ越窄，其頻譜包絡線第一個零點的頻率越高，即信號頻帶寬度越寬，這就驗證了信號的頻帶寬度與脈沖寬度τ成反比。

（2）周期與頻譜的關系

將矩形脈信號脈沖寬度的固定為1s，設定周期分別為10s、15s，觀察幅度譜的變化。

圖5 周期矩形脈沖頻譜隨周期的變化

由圖5可見，由于周期信號的時域脈沖寬度不變，這時頻譜包絡線的零點所在位置不變，而當周期變長時，相鄰譜線的間隔減少，頻譜變密。如果周期無限長（這時信號變?yōu)榉侵芷冢?，那么，相鄰譜線的間隔將趨近于零，周期信號的頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)譜。隨著周期信號周期的增長，各諧波分量的幅度也相應減小。

3 結論

通過以上分析可以總結出周期信號頻譜的特點。（1）離散性：周期信號的頻譜由不連續(xù)的線條組成，每一條線代表一個正弦量，故稱為離散頻譜；（2）諧波性：周期信號頻譜的每條譜線只能出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍頻率上，這就是周期信號頻譜的諧波性；（3）收斂性：各次諧波的振幅隨著諧波次數(shù)的增高而逐漸減小，所以周期信號的頻譜具有收斂性。我們把MATLAB引入信號與系統(tǒng)的教學當中，啟發(fā)學生開發(fā)仿真程序，利用MATLAB強大的計算能力和繪圖能力把周期信號的頻譜圖通過編程繪制出來，既幫助學生理解了理論知識，又鍛煉了學生的實踐能力。

［1］吳大正.信號與線性系統(tǒng)分析（第4版）［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［2］梁虹，梁潔，陳躍斌等.信號與系統(tǒng)分析及MATLAB實現(xiàn)［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2002.

［3］顧小軍，錢蘇翔，朱夏青.基于MATLAB的信號分析系統(tǒng)［J］.嘉興學院學報，2001，13（3）：74-76.

［4］姚齊國，程漢湘.MATLAB在頻域分析中的應用［J］.中南民族學院學報（自然科學版），2001，20（3）：17-20.

［5］奧本海姆.信號與系統(tǒng)（第二版）［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2002.

［6］蘇變玲.取樣定理及基于MATLAB的實驗教學［J］.四川師范大學學報（自然科學版），2004，27（4）：438-440.