基于時變Copula的La—VaR測度研究

江紅莉等

摘要：目前關(guān)于流動性調(diào)整的市場風(fēng)險測度研究，主要是靜態(tài)模型。針對此，文章提出經(jīng)流動性風(fēng)險調(diào)整的市場風(fēng)險動態(tài)測度的時變Copula方法。該方法使用連接函數(shù)構(gòu)建流動性風(fēng)險和市場風(fēng)險的聯(lián)合分布，能夠兼顧這兩種風(fēng)險的非正態(tài)特征和它們之間的動態(tài)相關(guān)結(jié)構(gòu)?；谠摲椒ǘ攘苛酥袊墒薪?jīng)流動性調(diào)整的市場風(fēng)險La-VaR，Kupiec檢驗表明，基于時變Copula模型預(yù)測La-VaR的效果優(yōu)于基于常相關(guān)Copula模型的預(yù)測效果，并且時變T-Copula模型優(yōu)于時變N-Copula模型。

關(guān)鍵詞：市場風(fēng)險；流動性風(fēng)險；經(jīng)流動性調(diào)整的市場風(fēng)險；時變Copula；極值理論；La-VaR

中圖分類號：F84032 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：10085831（2013）03002706

市場風(fēng)險是指由資產(chǎn)價格波動導(dǎo)致投資者收益的不確定性。流動性風(fēng)險源于流動性的不足，是指資產(chǎn)不能按照市場價格立即變現(xiàn)而使變現(xiàn)價格產(chǎn)生的不確定性[1]。投資者尤其是機構(gòu)投資者變現(xiàn)資產(chǎn)的過程不可避免地將影響資產(chǎn)價格，產(chǎn)生流動性風(fēng)險。在指令驅(qū)動市場中，如A股市場，如果投資者投資理念趨同、持股集中或者發(fā)生羊群效應(yīng)，有可能進一步加大流動性風(fēng)險[2]。因此，在測度市場風(fēng)險時，有必要考慮流動性風(fēng)險因子。20世紀(jì)90年代以來，隨著VaR技術(shù)在風(fēng)險管理方面的廣泛應(yīng)用，一些學(xué)者對傳統(tǒng)的VaR方法進行擴展，提出了經(jīng)流動性調(diào)整的VaR模型（Liquidityadjusted VaR，簡稱La-VaR）。Bangia等[3]提出了著名的BDSS模型，創(chuàng)造性地在傳統(tǒng)VaR的基礎(chǔ)上加上可觀測的買賣價差作為流動性風(fēng)險。此后，Le Saout[4]，F(xiàn)rancois-Heude和Wynendaele[5]使用這種方法進行了研究，胡經(jīng)生等[6]、陳劍利等[7]也借鑒Bangia等[3]的方法研究中國市場。宋逢明、譚惠[8]建立了一個對流動性風(fēng)險進行調(diào)整的VaR模型，用以度量中國股票的價格風(fēng)險和流動性風(fēng)險。胡小平和李超杰[9]、謝福座和左柏云[10]基于Copula方法測度了經(jīng)流動性調(diào)整的市場風(fēng)險。張金清和李徐[2]、張蕊等[11]基于Copula方法研究了市場風(fēng)險與流動性風(fēng)險的集成（整合）風(fēng)險。

Copula方法是多資產(chǎn)、多風(fēng)險建模的常用方法，但現(xiàn)階段測度經(jīng)流動性調(diào)整的市場風(fēng)險，或者研究市場風(fēng)險與流動性風(fēng)險的集成（整合）風(fēng)險時，主要采用的是常相關(guān)Copula模型（靜態(tài)Copula模型），即Copula函數(shù)的參數(shù)是常量，而事實上金融時間序列間的相關(guān)性會隨市場波動而發(fā)生變化，這就需要建立新模型來描述時間序列之間的動態(tài)（時變，Timevarying）相關(guān)結(jié)構(gòu)。最先研究時變Copula模型的是Patton[12]，他提出用一個類似ARMA（1，10）的過程來描述二元Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)。Patton[13]隨后基于時變Copula研究了匯率間非對稱相關(guān)性。Mendes[14]基于時變Copula測度了投資組合的CVaR。羅付巖、鄧光明[15]基于時變Copula模型估計了投資組合的VaR。周好文、晏富貴[16]基于時變Copula研究了基金、股票和國債動態(tài)尾部相關(guān)性。

市場處于常態(tài)時，流動性充裕，只需付出較小的流動性成本就能完成投資交易，而當(dāng)市場巨幅下跌，市場風(fēng)險較大時，投資者可能需要付出巨大的流動性成本才能完成交易，甚至不能進行交易（如金融危機時），也就是說，極端情況下，市場風(fēng)險與流動性風(fēng)險的相關(guān)性可能呈現(xiàn)出與正常情況下不一樣的特征。靜態(tài)Copula模型無法準(zhǔn)確地刻畫這一特征，需要借助于時變Copula方法?；诖耍疚幕跁r變Copula方法研究經(jīng)流動性調(diào)整的市場風(fēng)險：首先基于GARCH-EVT模型對市場風(fēng)險因子和流動性風(fēng)險因子建模，然后應(yīng)用時變Copula測度市場風(fēng)險因子與流動性風(fēng)險因子間的動態(tài)相關(guān)結(jié)構(gòu)，最后應(yīng)用Monte Carlo方法模擬市場風(fēng)險因子和流動性風(fēng)險因子，計算經(jīng)流動性調(diào)整的市場風(fēng)險LaVaR和LaES值。

一、市場風(fēng)險和流動性風(fēng)險因子

市場風(fēng)險因子一般使用收益率來描述。設(shè)Pt為資產(chǎn)的收盤價，將資產(chǎn)損失率定義為：

Rt = -ln（Pt /Pt -1 ）

流動性是證券市場的重要屬性，學(xué)術(shù)界一般認為流動性是在不改變價格或價格微小變動的情況下迅速完成大規(guī)模交易的能力。一般而言，若單位時間完成單位成交量引起的價格變化越小，則市場流動性越好。流動性風(fēng)險源于流動性的不足，是指資產(chǎn)不能按照市場價格立即變現(xiàn)而使變現(xiàn)價格產(chǎn)生的不確定性[2]。刻畫流動性的指標(biāo)很多，本文采用謝福座、左柏云[10]的流動性指標(biāo)來描述流動性風(fēng)險因子：

Lt=（Pmax-Pmin）/Pmin/Vt

其中，Pmax是日最高價，Pmin是日最低價，Vt為當(dāng)日成交額。該指標(biāo)的分子為股價的日波動率，可理解為日價差，這樣Lt可以理解為一個交易日內(nèi)單位成交金額所導(dǎo)致的最大價格變動。Lt的值越小，則流動性越好。

進一步，可以根據(jù)該指標(biāo)計算在一個交易日內(nèi)變現(xiàn)金額為V0時的變現(xiàn)損失率，即

LRt=LtV0

那么，考慮了流動性的資產(chǎn)損失率為

LaRt = Rt +LRt =-ln（Pt /Pt -1 ） +

（Pmax -Pmin ）/Pmin /Vt *V0

二、測度模型

（一）GARCH模型

金融時間序列的一個顯著特點是存在條件異方差，Engle于1982年提出自回歸條件異方差（ARCH）模型來刻畫時間序列的條件二階矩性質(zhì)，并通過條件異方差的變化來刻畫波動的時變性及聚集性。用ARCH模型對非平穩(wěn)時間序列建模過程中會遇到滯后階數(shù)過大甚至趨于無窮，導(dǎo)致計算上的過高復(fù)雜性，這就引入了廣義ARCH—GARCH（P，Q）模型。

Rt=μt+εt

εt=σtzt，zt～i.i.F（·）

σ2t=w+∑qi=1αiε2t-i+∑pi=1βiσ2t-i

（1）

其中，p≥0，q≥0，α0≥0， αi≥0（i=1，2，…，q），βi≥0（i=1，2，…，p）。

（二）極值理論（EVT）

一般來說，金融資產(chǎn)收益都具有尖峰厚尾的特征，極值理論（EVT）僅針對尾部建模，避開了分布假設(shè)難題，有助于處理風(fēng)險度量中的厚尾問題?；贓VT建模時，必須要求收益率序列獨立同分布，因此，本文首先采用GARCH模型對收益率序列建模，提取標(biāo)準(zhǔn)化殘差zt。假設(shè)F（z）為Z（zt所對應(yīng)的隨機變量）的分布函數(shù)，u為閾值，z-u表示超額值，其超額分布函數(shù)記為：

Fu（y）=P（Z-u≤y|Z>u）=（F（z）-

F（u））/（1-F（u））

（2）

對于條件超額分布函數(shù)Fu（y），存在一個廣義Pareto分布函數(shù)GPDξ，β（y）使得Fu（y）≈GPDξ，β（y），即對于充分大的閾值u，超額值的分布函數(shù)可以用廣義Pareto分布（GPD）近似。即

GPDξ，β（y）=1-（1+ξyβ）-1/ξξ≠0

1-exp（-yβ）ξ=0

（3）

其中，ξ是形狀參數(shù)，β是尺度參數(shù)。ξ>0表示是厚尾的；當(dāng)ξ<0時，0≤x≤-β/ξ。

由于下跌風(fēng)險普遍受關(guān)注，所以本文只考慮下尾閾值。將基于閾值u的zt的分布定義為：

Fξ，β（z）=P（z） z

1-nun（1+ξz-uβ）-1/ξ z≥u

（4）

其中，P（z）是經(jīng)驗分布函數(shù)（也可以用其他分布來描述，因為極值理論關(guān)心的是尾部數(shù)據(jù)的擬合，所以對中間數(shù)據(jù)的分布擬合沒有任何要求）。 （三）時變Copula

時變Copula與非時變Copula的主要區(qū)別在于Copula函數(shù)的參數(shù)，前者是動態(tài)變化的，后者是固定常數(shù)。Patton[12-13]提出了時變正態(tài)Copula（記作N-Copula）、時變T-Copula、時變rotated Gumbel Copula（記作RG-Copula）和時變Symmetrized Joe-Clayton Copula（記作SJC-Copula）四種函數(shù)，其中時變T-Copula函數(shù)僅僅假設(shè)相關(guān)系數(shù)是時變的，自由度υ仍然是常量。時變N-Copula、T-Copula的相關(guān)系數(shù)演化方程分別為

ρN， t = Λ（ωN + βN ρt-1 +

αN ×110∑10j = 1Φ -1（ut-j ）Φ -1（vt-j ））

（5）

ρT， t = Λ（ωT + βT ρt-1 + αT ×110∑10j = 1T-1（ut-j ；

υ）T-1（vt-j ；υ））

（6）

其中，Λ（x）≡（1-e-x）/（1+e-x）是一種修正的Logistic變換，它的引入是為了確保ρN，t始終落在（-1，1）內(nèi)；Φ-1（·）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的逆分布；T-1（·；υ）表示自由度為υ的標(biāo)準(zhǔn)T分布的逆分布。

（四）La-VaR計算步驟

按照上文的定義及測度模型，經(jīng)流動性調(diào)整的市場風(fēng)險La-VaR和La-ES計算步驟如下。

步驟1：分別對市場風(fēng)險因子和流動性風(fēng)險因子建模。檢驗市場風(fēng)險因子和流動性風(fēng)險因子的自相關(guān)性、ARCH效應(yīng)，如果存在ARCH效應(yīng)，就基于GARCH-EVT模型建模，否則在消除了自相關(guān)性后，直接用EVT建模。

步驟2：選擇合適的時變Copula函數(shù)類型對市場風(fēng)險因子和流動性風(fēng)險因子的聯(lián)合分布建模，準(zhǔn)確地描述兩類風(fēng)險因子間的動態(tài)相關(guān)結(jié)構(gòu)。

步驟3：基于Monte Carlo模擬法，根據(jù)兩風(fēng)險因子間的動態(tài)相關(guān)結(jié)構(gòu)以及各自的邊緣分布，模擬出與原始數(shù)據(jù)具有相同特征的風(fēng)險因子時間序列，計算經(jīng)流動性調(diào)整的損失率，計算La-VaR和La-ES。

三、實證分析

（一）描述性統(tǒng)計分析

本文主要研究中國股票市場經(jīng)流動性調(diào)整的市場風(fēng)險?；诤唵蔚皇б话阈缘脑瓌t，選擇滬深300指數(shù)代表中國滬、深股票市場。樣本考察期為2005年1月4日至2010年12月31日，共1 456組數(shù)據(jù)。所有數(shù)據(jù)來源于大智慧軟件，數(shù)據(jù)處理采用S-plus8.0和Matlab7.9。

2005年1月4日至2010年12月31日，共1 456個交易日，其中231個交易日滬深300指數(shù)成交額（實際上是滬深300指數(shù)中包含的所有股票的總成交額，單位：元）在109～1010之間，1 225個交易日的成交額在1010～1011之間。因此，本文假定日成交額為1010，即V0=1010。

將滬深300指數(shù)的市場風(fēng)險因子和流動性風(fēng)險因子分別記為Rhsh和Lhsh，其描述性統(tǒng)計如表1所示。由表1可知，在樣本觀察期間內(nèi)，滬深300指數(shù)平均收益均為正（表1中給出的是負對數(shù)收益率）。峰度統(tǒng)計量和J-B檢驗統(tǒng)計量均表明市場風(fēng)險因子和流動性風(fēng)險因子均不服從正態(tài)分布。ARCH效應(yīng)檢驗表明，滯后10階，市場風(fēng)險因子和流動性風(fēng)險因子都具有明顯的條件異方差性。Ljung-Box Q統(tǒng)計量顯示，滯后10階，在5%的顯著水平下，市場風(fēng)險因子和流動性風(fēng)險因子均具有自相關(guān)性。單位根ADF檢驗表明，所有的序列都是平穩(wěn)的?？傮w來看，市場風(fēng)險因子與流動性風(fēng)險因子均具有高峰、厚尾、條件異方差性。適合用GARCH模型建模。圖1給出了市場風(fēng)險因子與流動性風(fēng)險因子的變化趨勢。

注：*表示5%的顯著水平所對應(yīng)的臨界值，其余的括號內(nèi)的數(shù)值表示相伴概率p，Ljung-Box Q統(tǒng)計量和ARCH效應(yīng)檢驗給出的是滯后10階的檢驗結(jié)果。 （二）邊緣分布建模

基于Ljung-Box Q檢驗，并結(jié)合AIC和SC準(zhǔn)則，最終選擇AR（1）-GARCH（1，1）-t對Rhsh建模，選擇AR（5）-IGARCH（1，1）-t對Lhsh建模。為節(jié)約篇幅，略去均值方程的參數(shù)估計結(jié)果，僅給出波動方程的參數(shù)估計結(jié)果，見表2。

圖1 滬深300指數(shù)的市場風(fēng)險因子和流動性風(fēng)險因子

對市場風(fēng)險因子和流動性風(fēng)險因子的標(biāo)準(zhǔn)化殘差進行Ljung-Box Q檢驗和ARCH效應(yīng)檢驗（表2的最后兩列），發(fā)現(xiàn)消除了自相關(guān)性和ARCH效應(yīng)，說明邊緣分布建模是合理的，可以應(yīng)用極值理論對標(biāo)準(zhǔn)化殘差的尾部分布建模。

基于EVT建模，關(guān)鍵問題之一是確定閾值u。根據(jù)市場風(fēng)險因子和流動性風(fēng)險因子的標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列，作出MEF圖（平均超額函數(shù)圖），如圖2所示。從圖2可以看出，當(dāng)u在-1左右時，MEF圖基本為一條直線，但不能精確到具體的值。采用試驗的辦法，分別將-0.8到-1.2之間的數(shù)作為閾值，采用極大似然函數(shù)法進行參數(shù)估計，選擇最大似然函數(shù)值所對應(yīng)的閾值作為下尾閾值，下尾閾值及下尾分布的參數(shù)估計結(jié)果見表3。

圖2 市場風(fēng)險因子和流動性風(fēng)險因子的經(jīng)驗超額函數(shù)圖（MEF）

（三）時變Copula的參數(shù)估計

對風(fēng)險因子的標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列進行概率積分變換，得到在（0，1）上服從均勻分布的時間序列。借助于Matlab7.9估計時變N-Copula和時變T-Copula模型的參數(shù)，結(jié)果如表4所示。

由表4可知，無論是時變NCopula還是時變TCopula，市場風(fēng)險因子與流動性風(fēng)險因子的相關(guān)系數(shù)的滯后項系數(shù)為負，表明市場風(fēng)險因子與流動性風(fēng)險因子的相關(guān)性具有一定的“矯正”能力。圖3給出了基于時變N-Copula和時變T-Copula的相關(guān)系數(shù)演化趨勢，發(fā)現(xiàn)，基于時變N-Copula相關(guān)系數(shù)的波動幅度較之時變T-Copula相關(guān)系數(shù)的波動幅度大。對時變相關(guān)系數(shù)進行描述性統(tǒng)計分析（表5），發(fā)現(xiàn)：時變相關(guān)系數(shù)的峰度要低于正態(tài)分布的峰度，J-B統(tǒng)計量也表明相關(guān)系數(shù)不服從正態(tài)分布；滯后10階，具有ARCH效應(yīng)；Ljung-Box Q統(tǒng)計量表明相關(guān)系數(shù)序列具有較強的自相關(guān)性（這與表4得出的結(jié)論是一致的）。

注：*表示1%的顯著水平所對應(yīng)的臨界值，**表示5%的顯著水平所對應(yīng)的臨界值，其余的括號內(nèi)的數(shù)值表示相伴概率p，Ljung-Box Q統(tǒng)計量和ARCH效應(yīng)檢驗給出的是滯后10階的檢驗結(jié)果。

圖3 市場風(fēng)險因子與流動性風(fēng)險因子的動態(tài)相關(guān)系數(shù) （四）模型評價

為檢驗時變Copula建模的合理性，并與常相關(guān)Copula模型進行比較，對經(jīng)流動性調(diào)整的市場風(fēng)險值La-VaR進行Kupiec檢驗，也稱LR似然比檢驗，其基本思想是假定實際考察天數(shù)為N0，失敗天數(shù)為n，則失敗率為p=n/ N0。設(shè)La-VaR置信度為p*。假定La-VaR估計具有時間獨立性，則失敗天數(shù)n服從參數(shù)為N0和p的二項分布，即n～B（N0，p），在零假設(shè)p=p*下，似然比LR=-2ln[（1-p*） N0-n（p*）n]+2ln[（1-n/N0） N0-n（n/ N0）n]～χ2（1），在5%的顯著水平下，如果LR>3.841 5，拒絕本模型。表6給出了1%和5%顯著水平下的檢驗結(jié)果：失敗天數(shù)、失敗率及LR統(tǒng)計值。

由表6可以看出，無論95%的置信度還是99%的置信度，基于時變Copula模型的La-VaR預(yù)測效果均優(yōu)于常相關(guān)模式下的預(yù)測效果。T-Copula模型的預(yù)測效果要普遍要優(yōu)于N-Copula，一個可能的解釋是T-Copula模型能較好地刻畫上、下尾部相關(guān)性。但無論是N-Copula，還是T-Copula，99%置信度下的預(yù)測效果要優(yōu)于95%置信度下的預(yù)測效果。

進一步，基于時變T-Copula模型，采用Monte Carlo方法可以得到，若投資1單位，當(dāng)股市日成交額為1010元，即V0=1010時，樣本期內(nèi)，95%置信度下，經(jīng)流動性調(diào)整的市場風(fēng)險日均LaVaR為0.029 7單位，日均La-ES為0.048 0單位；市場風(fēng)險日均VaR為0.036 4單位，日均ES為0.055 0單位；流動性風(fēng)險日均VaR為0.000 3單位，日均ES為0.000 7單位。由此可見，當(dāng)股市日成交額為1010元時，中國股市主要面臨的是市場風(fēng)險。

四、結(jié)論

Michael認為，流動性風(fēng)險可能是繼信用風(fēng)險之后，金融業(yè)面臨的下一個最重要的風(fēng)險，而流動性風(fēng)險的研究遠遠落后于市場風(fēng)險和信用風(fēng)險的研究[17]。現(xiàn)階段主要采用靜態(tài)Copula方法測度經(jīng)流動性調(diào)整的市場風(fēng)險，本文將時變Copula方法引入到風(fēng)險測度中，提出了基于時變Copula的經(jīng)流動性調(diào)整的市場風(fēng)險動態(tài)測度方法，并基于滬深300指數(shù)測度了中國股票市場經(jīng)流動性調(diào)整的市場風(fēng)險LaVaR和LaES。Kupiec檢驗發(fā)現(xiàn)，在預(yù)測La-VaR時，基于時變Copula模型的效果要優(yōu)于常相關(guān)下的Copula模型，并且，時變T-Copula的預(yù)測效果優(yōu)于N-Copula的預(yù)測效果。

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Measurement of Liquidityadjusted VaR Based on Timevarying Copula

JIANG Hongli1， HE Jianmin2， HU Xiaoping2

（1. School of Finance and Economics， Jiangsu University， Zhenjiang 212013， P. R. China；

2.School of Economics and Management， Southeast University， Nanjing 211102， P. R. China）