平面度誤差粒子群算法評定的不確定度評估

姜焰鳴，劉桂雄

（華南理工大學機械與汽車工程學院，廣東 廣州 510640）

0 引 言

隨著智能算法的發(fā)展，一些學者將遺傳算法[1-2]、粒子群算法[3-4]、蜂群算法[5-6]等應用于形狀誤差評定，這對提高評定算法的準確度、減小計算復雜度、提高評定效率有重要作用。但仿生智能算法按照形狀誤差的數(shù)學模型，采用概率化隨機搜索模式，評定結(jié)果存在分散性，因此無法直接作為平面度誤差估計值，還須對評定結(jié)果進行不確定度評估。

不確定度評估一般是基于概率分布，但是智能評定結(jié)果的概率分布不規(guī)則，并不是一種確定類型的概率分布，使得形狀誤差智能評定的不確定度成為一個難點。較多學者采用評定結(jié)果樣本均值、樣本方差作為被測對象形狀誤差的最佳估計值、標準不確定度，但并沒有根據(jù)評定結(jié)果的概率分布估計形狀誤差，一定程度上影響了評定算法的可靠性。

本文以平面度誤差的粒子群評定算法為例，針對智能評定結(jié)果的概率分布特性，提出采用β分布統(tǒng)示法擬合智能評定結(jié)果的概率分布，對智能評定的不確定度進行評估，并選取仿真平面測量數(shù)據(jù)進行智能評定的不確定度評估實驗。

1 評定結(jié)果概率分布的β分布統(tǒng)示法

1.1 粒子群算法評定結(jié)果的概率分布特性分析

平面度誤差粒子群評定算法是將包容區(qū)域法向量作為搜索個體，以搜索個體對應包容區(qū)域?qū)挾仍u價個體品質(zhì)。算法首先隨機初始化若干搜索個體，通過跟蹤個體最優(yōu)值、當前全局最優(yōu)值調(diào)整速度產(chǎn)生新個體，不斷逼近于全局最優(yōu)解，搜索結(jié)束后最優(yōu)個體對應包容區(qū)域?qū)挾燃礊槠矫娑日`差的評定結(jié)果。若平面度誤差真實值為tT、智能評定結(jié)果理論最大值為te_max，則智能評定結(jié)果概率密度函數(shù)f（te）可認為分布在區(qū)間[tT，f（te）]的有界概率分布。

f（te）與原始測量數(shù)據(jù)、評定算法搜索方式、搜索次數(shù)、初始化個體有關(guān)，分布規(guī)律非常復雜，故利用解析法求出f（te）難度大；此外，雖可利用正態(tài)分布、均勻分布、對數(shù)正態(tài)分布、Weibull分布等常見概率分布對其進行擬合，但如果算法更換或參數(shù)調(diào)整，則被選用的擬合概率分布函數(shù)不一定適用。本文引入一種統(tǒng)示分布方法——β分布統(tǒng)示法[7]，對評定結(jié)果概率分布進行擬合，可在不同智能算法、不同參數(shù)情況下都適用或接近，具有一定的普適性。

1.2 β分布統(tǒng)示法擬合評定結(jié)果概率分布

若變量x服從β分布，x∈[xs，xe]，形狀參數(shù)為g和h，β分布的形態(tài)完全由取決于形狀參數(shù)g、h，不同g、h對應不同形狀的概率分布，且常見的概率分布都可以采用β分布統(tǒng)示法擬合。若xs=0、xe=1，g、h>0時，不同形狀參數(shù)下的β概率分布為圖1。

圖1 不同形狀參數(shù)下的β概率分布

若智能評定結(jié)果te服從形狀參數(shù)為gt、ht的β分布βte，則te的概率密度函數(shù)f（te）為

對于式（1），首先須求出形狀參數(shù) gt、ht，雖可根據(jù)樣本均值和樣本標準差估計gt、ht，但這兩種統(tǒng)計量并不能反映概率分布的形態(tài)，這種方法求形狀參數(shù)并不準確?？紤]到β分布的偏度、峰度僅由形狀參數(shù)決定，則可通過計算樣本偏度、樣本峰度間接估計f（te）的形狀參數(shù)gt、ht。若智能評定結(jié)果樣本分別為te1、te2、…、ten，則可用樣本偏度 sk′te樣本峰度 ku′te來估計總體偏度skte、峰度kute，那么有：

構(gòu)成關(guān)于gt、ht二元非線性方程，可采用具備全局尋優(yōu)性能且收斂較快的蜂群算法[8]來求解形狀參數(shù)gt、ht的估計值。

2 智能評定的不確定度評估

2.1 平面度誤差的區(qū)間估計

若平面度誤差智能評定結(jié)果te服從β分布βte（gt，ht），則智能評定結(jié)果的期望與標準差為

若評定結(jié)果樣本最小值為tei_min，它也可作為平面度誤差的有效估計值，并且由和tei_min可構(gòu)成一個估計區(qū)間，平面度誤差真值tT有較大概率分布在該區(qū)間內(nèi)。由于為智能評定結(jié)果樣本擬合函數(shù)βte（）的左邊界值，則，令ηβ為[0，1]內(nèi)一較大常數(shù)，那么有

2.2 智能評定結(jié)果樣本的百分位數(shù)截取法

智能評定結(jié)果樣本較多時，其概率分布會出現(xiàn)拖尾現(xiàn)象，引起平面度誤差估計區(qū)間增大，因此須將樣本進行預處理，保留較優(yōu)評定結(jié)果樣本。這里采用基于百分位數(shù)Qp截取法，對智能評定結(jié)果進行預處理，具體步驟：（1）將智能評定結(jié)果樣本 te1，te2，…，ten按照升序排列，令其順序統(tǒng)計量為 te（1）≤te（2）≤…

≤te（n）；（2）取正整數(shù) Qp∈[0，100]，求 te（1），、te（2），…，te（n）序列中第 Qp百分位數(shù) te（Qp），保留序列中 te（Qp）之前所有評定結(jié)果樣本 te（1），te（2），…，te（Qp）。

經(jīng)預處理后，再對 te（1），te（2），…，te（Qp）進行 β分布統(tǒng)示法進行擬合，并根據(jù)式（4）求出平面度誤差估計值，連同 te（1）構(gòu)成平面度誤差估計區(qū)間，即：

作為平面度誤差智能評定的不確定度評估結(jié)果。

3 仿真測量數(shù)據(jù)智能評定的不確定度評估實驗

3.1 仿真測量數(shù)據(jù)模型

產(chǎn)品平面形成過程中影響平面度誤差的因素很多，既會受刀具熱膨脹效應、磨損等固有規(guī)律性因素影響，又受毛坯余量大小、硬度均勻性、機床振動等隨機因素影響[9]，可認為平面度誤差主要由系統(tǒng)誤差分量、隨機誤差分量組成[10]。設(shè)理想平面函數(shù)為FFlat_ideal（x，y），系統(tǒng)誤差分量、隨機誤差分量分別為δFlat（x，y）、εFlat（x，y），則實際加工平面FFlat_Real（x，y）可表示為

根據(jù)式（6）設(shè)計了最小包容區(qū)域模型為1-3型的仿真平面模型，其長、寬、平面度誤差為：L=500mm、W=500mm、tf=0.01mm。該仿真平面 x∈[0，500]mm，y∈[0，500]mm，高極點為（250，250，0.0059）mm，低極點為（50，50，-0.0041）mm、（450，50，-0.0041）mm、（45，450，-0.0041）mm，其數(shù)學模型為

以矩形布點形式在以上仿真平面模型基礎(chǔ)上獲取100×100個測量點，連同4個極值點繞x、y軸旋轉(zhuǎn)小角度θrx=0.05和θry=0.01，構(gòu)成仿真測量數(shù)據(jù)。

3.2 評定結(jié)果不確定度評估與結(jié)果分析

利用粒子群算法對測量數(shù)據(jù)進行NS次評定，取截取參數(shù)Qp=100-10（間隔為10），并利用本文提出的方法評估智能評定不確定度。表1～表3分別為評定結(jié)果樣本NS=20，50，100平面度誤差區(qū)間估計，為平面度誤差的估計區(qū)間。

可以看出：所有估計區(qū)間均能夠有效包容仿真測量數(shù)據(jù)的平面度誤差值tT=0.01 mm；截取分位數(shù)Qp減小，估計區(qū)間跨度減小；Qp相同條件，NS越大，ΔT越小。

分析得到 Qp=20、NS=100，ΔT最小，下面繼續(xù)取Qp=20，隨機取10組NS個評定結(jié)果樣本，進一步觀察每組平面度誤差區(qū)間估計結(jié)果，表4～表6分別為NS=20，50，100 區(qū)間估計結(jié)果。

表1 NS=20平面度誤差區(qū)間估計

表2 NS=50平面度誤差區(qū)間估計

表3 NS=100平面度誤差區(qū)間估計

可以看出：（1）NS=20，50，100 估計區(qū)間跨度取值范圍為 [4.0064×10-7，1.0912×10-5]mm、[3.5502×10-7，1.1847×10-5]mm、[4.180 5×10-7，5.881 6×10-6]mm，并且均能包容平面度誤差tT=0.01mm，說明可有效地給出智能評定的不確定度；（2）Qp=20，ΔT寬度均較小，但NS=20和50時，ΔT波動性相對較大；NS=100 時，ΔT相對穩(wěn)定，平均跨度相對較小，不確定度評估效果較好。

4 結(jié)束語

（1）以平面度誤差的粒子群評定算法為例，針對智能評定結(jié)果概率密度函數(shù)特性，提出采用β分布統(tǒng)示法擬合智能評定結(jié)果的概率分布，將區(qū)間作為平面度誤差的估計區(qū)間，并在擬合之前采用百分位數(shù)截取法對數(shù)據(jù)進行預處理。

表4 NS=20不同樣本平面度誤差區(qū)間估計

表5 NS=50不同樣本平面度誤差區(qū)間估計

表6 NS=100不同樣本平面度誤差區(qū)間估計

（2）選取仿真平面測量數(shù)據(jù)進行不確定度評估實驗，結(jié)果表明，評定結(jié)果樣本數(shù)NS、截取分位數(shù)Qp都會影響平面度誤差區(qū)間估計效果，適當增加NS、減小Qp，有利于提高智能評定的不確定度評估效果；NS=100，Qp=20時，估計區(qū)間平均寬度相對較小，驗證了基于β分布統(tǒng)示法的智能評定不確定度評估可行性。

（3）本文主要研究智能評定算法的不確定度評估方法，并沒有涉及測量不確定度評估，可通過與其他不確定度分量合成求出測量不確定度。

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