基于互補(bǔ)判斷矩陣的DS/AHP方法

杜元偉，譚瑩瑩，段萬春

昆明理工大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院，昆明 650093

基于互補(bǔ)判斷矩陣的DS/AHP方法

杜元偉，譚瑩瑩，段萬春

昆明理工大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)院，昆明 650093

1 引言

層次分析方法（Analytic Hierarchy Process，AHP）因其層次結(jié)構(gòu)模型能夠使決策思維過程數(shù)學(xué)化而受到了專家學(xué)者的廣泛關(guān)注。然而，客觀事物的復(fù)雜性以及主觀思維的模糊性，使得AHP方法中用于提取推理判斷信息的兩兩比較判斷矩陣往往很難構(gòu)造[1]。證據(jù)理論（Dempster-Shafer Theory，DS）憑借其對(duì)不完善信息出色的表達(dá)和融合能力已經(jīng)成為不確定推理領(lǐng)域獲取綜合推斷信息的重要技術(shù)[2]。Beynon等學(xué)者將DS理論中的信息表達(dá)和融合技術(shù)集成到AHP方法的層次結(jié)構(gòu)模型之中，提出了DS/AHP方法，即利用知識(shí)矩陣將決策者在不同屬性上對(duì)部分方案給出的偏好推斷信息轉(zhuǎn)化為DS理論中的基本概率分配（Basic Probability Assignments，BPA）函數(shù)，在此基礎(chǔ)上結(jié)合證據(jù)組合規(guī)則實(shí)現(xiàn)對(duì)備選方案的綜合決策判斷[3]。DS/AHP方法既能發(fā)揮AHP方法在層次結(jié)構(gòu)模型方面的特有優(yōu)勢，又能規(guī)避其在決策信息提取方面的固有缺陷，因而很快成為多屬性決策領(lǐng)域的關(guān)注焦點(diǎn)，并被廣泛地應(yīng)用于解決供應(yīng)商選擇、人才選拔等領(lǐng)域的決策優(yōu)化問題[4-5]。特別地，DS/ AHP方法中用于提取決策信息的知識(shí)矩陣是采用2～6標(biāo)度的邊緣化互反判斷矩陣，但此種方式一方面會(huì)因標(biāo)度間距過大而影響推斷信息的精確性，另一方面也會(huì)因矩陣中存在缺失判斷信息而影響集成結(jié)果的有效性（詳見后文）。有鑒于此，本文基于互補(bǔ)判斷矩陣對(duì)傳統(tǒng)知識(shí)矩陣的構(gòu)建方式進(jìn)行修正，并在此基礎(chǔ)上提出一種能夠開展精確推斷與有效集成的改進(jìn)DS/AHP方法。

2 傳統(tǒng)方法缺陷

設(shè)決策者欲應(yīng)用J個(gè)屬性對(duì)I個(gè)備選方案進(jìn)行優(yōu)劣排序，其中方案集為{ai|i=1，2，…，I}，屬性集為{cj|j= 1，2，…，J}。傳統(tǒng)DS/AHP方法對(duì)于該決策問題的建模思路是：首先按照AHP方法構(gòu)建決策問題的層次結(jié)構(gòu)模型并求解各個(gè)屬性的相對(duì)重要性權(quán)重，然后分別針對(duì)每個(gè)屬性由決策者將所有備選方案劃分為若干個(gè)重要程度不同的互斥方案組，將每個(gè)方案組與識(shí)別框架（即整個(gè)方案集）按照2～6標(biāo)度進(jìn)行相對(duì)重要性偏好判斷，并以邊緣化互反判斷矩陣的方式構(gòu)建出知識(shí)矩陣，再通過求解各個(gè)屬性上知識(shí)矩陣的特征向量得到每個(gè)互斥方案組的BPA函數(shù)，在此基礎(chǔ)上將每個(gè)屬性均視為一個(gè)獨(dú)立的證據(jù)源，利用證據(jù)組合規(guī)則對(duì)所有證據(jù)源的BPA函數(shù)進(jìn)行融合，最后基于融合后的綜合集成信息通過計(jì)算信度函數(shù)和似然函數(shù)做出相應(yīng)的決策。

表1 屬性cj上的知識(shí)矩陣Kj′

傳統(tǒng)DS/AHP方法的上述處理方式，不管是在度量標(biāo)度選擇方面還是在知識(shí)矩陣求解方面均存在問題。其一，就度量標(biāo)度選擇而言，采用2～6標(biāo)度雖然容易建立起相對(duì)重要性推斷語義和偏好程度描述值之間的聯(lián)系，但是因只有五個(gè)等級(jí)的重要性劃分而難以精確刻畫決策者對(duì)方案組之間相對(duì)偏好的區(qū)別程度，特別是當(dāng)方案組的數(shù)量較多時(shí)(Nj＞5)，采用該種標(biāo)度方式便無法對(duì)所有方案組之間的偏好程度都進(jìn)行明確區(qū)分。其二，就知識(shí)矩陣求解而言，其采用的是邊緣化互反判斷矩陣方式，即僅在最后一列/行反映決策者對(duì)方案組偏好程度的推理判斷信息，并且最后一行元素是由最后一列偏好推斷值取其倒數(shù)而得；矩陣中除主對(duì)角線元素取值為1表示方案組與方案組相比較為同等重要以外，其余任意兩個(gè)方案組之間均未進(jìn)行比較判斷，故相應(yīng)取值應(yīng)為空，或者說，該知識(shí)矩陣是一個(gè)除在最后一列、最后一行、主對(duì)角線有具體取值外其余元素全部為空值的殘缺矩陣；因此傳統(tǒng)方法簡單地將知識(shí)矩陣中的殘缺元素賦值為0并在此基礎(chǔ)上通過對(duì)整個(gè)知識(shí)矩陣求特征向量獲取BPA函數(shù)的方式，其有效性是有待商榷的。

3 轉(zhuǎn)換定理與改進(jìn)方法

為解決傳統(tǒng)方法中存在的上述問題，采用殘缺互補(bǔ)判斷矩陣構(gòu)造知識(shí)矩陣，并通過構(gòu)建由知識(shí)矩陣向BPA函數(shù)的轉(zhuǎn)換定理，對(duì)傳統(tǒng)方法進(jìn)行改進(jìn)。

3.1 BPA函數(shù)轉(zhuǎn)換定理

互補(bǔ)判斷矩陣是利用互補(bǔ)標(biāo)度對(duì)元素之間相對(duì)重要性進(jìn)行偏好賦值的一類決策信息提取方法，其中的互補(bǔ)標(biāo)度是指元素X相對(duì)于元素Y的偏好取值與元素Y相對(duì)于元素X的偏好取值之和為1，且二者均是介于[0，1]的數(shù)[6]?？紤]到?jīng)Q策信息提取的可行性，類似于傳統(tǒng)方法對(duì)知識(shí)矩陣的構(gòu)建方式，僅對(duì)各個(gè)屬性上方案組與識(shí)別框架之間的相對(duì)重要程度進(jìn)行偏好推斷，但區(qū)別之處在于偏好推斷值采用的是互補(bǔ)標(biāo)度而非互反標(biāo)度。此種處理方式，不僅能充分發(fā)揮傳統(tǒng)方法對(duì)不完善推斷信息的提取能力，而且還能在(0.5，1]區(qū)間取任意數(shù)值而非僅局限于5個(gè)等級(jí)標(biāo)度，故能有效克服其由標(biāo)度間距問題所帶來的推斷精確性差的缺陷。需要說明的是，遵循互補(bǔ)判斷矩陣構(gòu)建原則，自身與自身的比較為同等重要，其值為0.5；在各個(gè)屬性上方案組均是從識(shí)別框架中識(shí)別出來的，它們的偏好程度一定高于識(shí)別框架，故其值必然在(0.5，1]取值。不妨設(shè)由決策者針對(duì)方案組 A(jn)相對(duì)于識(shí)別框架Θ所給出的相對(duì)偏好推斷值為u(jn)(0.5＜u(jn)≤1.0)，“—”表示殘缺值，則在屬性cj上的知識(shí)矩陣Kj如表2所示。

表2 屬性cj上的殘缺互補(bǔ)知識(shí)矩陣Kj

下面將結(jié)合BPA函數(shù)定義給出由殘缺互補(bǔ)知識(shí)矩陣向BPA函數(shù)轉(zhuǎn)換的定理。

3.2 改進(jìn)方法步驟

結(jié)合知識(shí)矩陣向BPA函數(shù)的轉(zhuǎn)換定理，構(gòu)建DS/AHP的改進(jìn)方法。具體步驟如下：

。將上述信息進(jìn)行條理化即可獲得特定決策問題的層次結(jié)構(gòu)模型（可參見后文圖1）。

步驟3評(píng)估并構(gòu)造殘缺互補(bǔ)知識(shí)矩陣。在特定屬性cj上，由決策者針對(duì)各個(gè)方案組(A(n)j,?n)相對(duì)于識(shí)別框架Θ的相對(duì)偏好程度給出(0.5，1]之間的推斷值u(n)j，從而得到Uj={(A(jn)，u(jn))|n=1，2，…，Nj}。結(jié)合Uj和互補(bǔ)矩陣的結(jié)構(gòu)方式即可構(gòu)造出如表2所示的殘缺互補(bǔ)知識(shí)矩陣Kj(?j)。

步驟4基于轉(zhuǎn)換定理計(jì)算BPA函數(shù)。在特定屬性cj上，利用定理1計(jì)算對(duì)應(yīng)于知識(shí)矩陣 Kj的BPA函數(shù)m(j

n)(n=1，2，…，Nj，Nj+1)。當(dāng)n=1，2，…，Nj時(shí)，m(jn)表示與方案組 A(jn)對(duì)應(yīng)的BPA函數(shù)，而當(dāng)n=Nj+1時(shí)，m(jn)表示與識(shí)別框架Θ對(duì)應(yīng)的BPA函數(shù)。類似地，可以得到在所有屬性上的BPA函數(shù)m(jn)(j=1，2，…，J，n=1，2，…，Nj+1)。

步驟5依據(jù)屬性權(quán)重修正BPA函數(shù)。屬性權(quán)重表示特定來源決策信息對(duì)于決策問題的相對(duì)重要程度。借鑒相關(guān)文獻(xiàn)中的處理方法，即將特定屬性權(quán)重相對(duì)于最大屬性權(quán)重的比值作為修正該屬性下BPA函數(shù)的折扣率，并將折扣損失的信息賦值為未知不確定（識(shí)別框架）[7-8]，則在屬性cj上修正之后的BPA函數(shù)可由式（5）進(jìn)行確定。

4 算例模擬分析

設(shè)方案集為{a1，a2，…，a10}，屬性集為{c1，c2，c3}，按照AHP方法中兩兩比較判斷思想確定的屬性權(quán)重集為{w1，w2，w3}={0.5，0.3，0.2}，由決策者在各項(xiàng)屬性上推斷出的Uj={(A(jn)，u(jn))|n=1，2，…，Nj}詳見圖1。

圖1 算例的層次結(jié)構(gòu)模型圖

表3 殘缺互補(bǔ)知識(shí)矩陣K1

表4 殘缺互補(bǔ)知識(shí)矩陣K2

表5 殘缺互補(bǔ)知識(shí)矩陣K3

結(jié)合如表3～表5所示的知識(shí)矩陣，基于定理1計(jì)算各個(gè)屬性上的BPA函數(shù)，并在此基礎(chǔ)上按照式（5）對(duì)BPA函數(shù)進(jìn)行修正（參見表6）。

表6 各屬性上修正前與修正后的BPA函數(shù)

最后，將表6中各個(gè)屬性上修正后的BPA函數(shù)帶入如式（6）所示的證據(jù)組合規(guī)則，融合所有證據(jù)源的BPA函數(shù)，最終得到綜合BPA函數(shù)如式（7）所示。

為便于理解，這里基于式（7）中的集成BPA函數(shù)計(jì)算與各個(gè)方案對(duì)應(yīng)的Pignistic概率[9]，據(jù)此概率對(duì)方案進(jìn)行排序，最終得 a7(0.338)?a6(0.150)?a1(0.117)?a3(0.093)?a5(0.080)?a4(0.079)?a2(0.060)?a9(0.046)?a8(0.023)，其中括號(hào)內(nèi)數(shù)值為方案對(duì)應(yīng)的Pignistic概率。

5 結(jié)束語

傳統(tǒng)DS/AHP方法一方面會(huì)因標(biāo)度間距過大而影響推斷信息的精確性，另一方面也會(huì)因矩陣中存在缺失判斷信息而影響集成結(jié)果的有效性。為了解決上述問題，本文首先結(jié)合傳統(tǒng)DS/AHP方法的建模思路分析指出其中存在的問題缺陷，然后通過引入殘缺互補(bǔ)判斷矩陣對(duì)傳統(tǒng)方法進(jìn)行完善，分別提出了由知識(shí)矩陣向BPA函數(shù)轉(zhuǎn)換的定理以及在此基礎(chǔ)上開展推理判斷的改進(jìn)方法步驟，最后應(yīng)用一個(gè)算例模擬說明了提出方法的具體操作過程。本文研究特色之處在于，用互補(bǔ)判斷矩陣替代了傳統(tǒng)方法中的互反判斷矩陣，并提出了此種方式下開展問題決策的BPA函數(shù)轉(zhuǎn)換定理和評(píng)價(jià)方法步驟，能夠解決傳統(tǒng)方法中因度量標(biāo)度選擇和知識(shí)矩陣求解所帶來的一系列問題，具有方法創(chuàng)新性。需要指出的是，本文側(cè)重于從決策信息提取視角提出一種能夠有效獲得各個(gè)屬性上BPA函數(shù)的改進(jìn)方法（見步驟2～步驟5），而對(duì)于通過證據(jù)組合規(guī)則集成之后的綜合BPA函數(shù)（見步驟6）應(yīng)該如何運(yùn)用才能獲得更易理解的決策信息，目前已有多種解決方法，可參照相關(guān)文獻(xiàn)選擇合適的一種即可。

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DU Yuanwei,TAN Yingying,DUAN Wanchun

Faculty of Management and Economics,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650093,China

In order to overcome the drawbacks that inference information accuracy is poor and integration outcome validity remains to be discussed resulting from measurement scale selection and knowledge matrix solution in traditional DS/AHP method, the existing problems are presented by analyzing the traditional modeling approach.The complementary judgment matrix is introduced to extract decision maker's relative preference inferences between alternative teams and frame of discernment.After that,a transformation theorem from knowledge matrix with incomplete and complementary information to BPA function is proposed,as well as an improved method is established to perform inference and judgment in terms of evidence discounting idea and evidence combination rule.A numerical example is applied to illustrate the operational process of the presented method.

Dempster-Shafer/Analytic Hierarchy Process（DS/AHP）;complementary judgment matrix;evidence theory;analytic hierarchy process;basic probability assignments

為克服傳統(tǒng)DS/AHP方法中因度量標(biāo)度選擇問題和知識(shí)矩陣求解問題而帶來的推斷信息精確性差和集成結(jié)果有效性有待商榷的缺陷，結(jié)合傳統(tǒng)方法的建模思路分析指出其中存在的問題，通過引入互補(bǔ)判斷矩陣提取決策者對(duì)方案組與識(shí)別框架之間的相對(duì)偏好推斷，在此基礎(chǔ)上提出由殘缺互補(bǔ)知識(shí)矩陣向BPA函數(shù)轉(zhuǎn)換的定理，并結(jié)合證據(jù)折扣思想和證據(jù)組合規(guī)則構(gòu)建了開展推理判斷的改進(jìn)方法步驟，應(yīng)用一個(gè)算例說明了提出方法的具體操作過程。

登普斯特謝菲爾/層次分析方法（DS/AHP）；互補(bǔ)判斷矩陣；證據(jù)理論；層次分析法；基本概率分配

A

C934

10.3778/j.issn.1002-8331.1210-0018

DU Yuanwei,TAN Yingying,DUAN Wanchun.DS/AHP method based on complementary judgment matrix.Computer Engineering and Applications,2013,49（5）：44-47.

國家自然科學(xué)基金（No.71261011，No.71263031）；中國博士后科學(xué)基金面上資助項(xiàng)目（No.20110491760）；云南省應(yīng)用基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目（No.2011FZ021）；云南省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目（No.2012Z103）；昆明理工大學(xué)組織行為與復(fù)雜行為決策創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)支持計(jì)劃。

杜元偉（1981—），男，博士，在站博士后，副教授，研究方向?yàn)楣芾頉Q策、信息融合等；譚瑩瑩（1981—），女，碩士生，研究方向?yàn)槲锪飨到y(tǒng)優(yōu)化；段萬春（1956—），男，教授，博導(dǎo)，研究方向?yàn)榻M織行為決策等。E-mail：duyuanwei@gmail.com

2012-10-08

2012-11-21

1002-8331（2013）05-0044-04