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      軟分離性的進一步研究

      2013-08-24 00:43:38張雄偉
      計算機工程與應(yīng)用 2013年5期
      關(guān)鍵詞:空子例子正則

      張雄偉

      陜西榆林學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用系,陜西 榆林 719000

      現(xiàn)實世界是復(fù)雜以至于人們不能及時、直接地理解,于是人們創(chuàng)造了實際的“模型”,對現(xiàn)實世界的某些方面進行簡化。于是在1999年,Molodtsov D在文獻[1]介紹了軟集的概念,開始發(fā)展一種新的方法作為研究不確定性模型的理論。最近,Shabir和Naz在文獻[2]中提出了軟開集、軟閉集、軟閉包、軟內(nèi)點、點的軟鄰域和軟分離公理,并介紹了它們的基本性質(zhì),對軟拓撲空間上軟Ti(i=1,2,3,4),軟正規(guī)空間和軟正則空間作了詳細闡述。在文獻[3],Min W K指出了文獻[2]中的注4是錯誤的,并且給出了具體的例子闡述這一問題,基于文獻[2-3],本文提出了軟Urysohn空間和軟T5空間的概念,給文獻[2]中的注4提供一個正確的例子,研究了諸軟分離公理之間的關(guān)系。

      1 預(yù)備知識

      下面給出一些關(guān)于軟集的有關(guān)知識。

      定義1.1[1]X上的一個軟集是一個偶對(這里E是一個非空參數(shù)集),且M:E→2X是一個映射,X上的軟集的全體記為:(2X)E。

      定義1.2[2]每一個 A∈2X,定義 (?,E)∈(2X)E如下(i)=A?(?e∈ E);把和?認為是一樣的 ?(?x∈X)。每一個 (M,E)∈(2X)E,定 義 (M′,E)∈(2X)E如 下 :M′(e)=XM(e)?(?e∈ E) ;有 時 使 用 (M,E)′(resp.?)代 替 (M′,E)(resp.(?,E))。

      定義1.3[2]設(shè) X是一個集合,T?(2X)E。(X,T,E)稱為X的一個軟拓撲空間,若T對任意并運算和有限非空交元算關(guān)閉,T稱為X的一個軟拓撲,T中的成員稱為軟開集,對每一個(M,E)∈T,(M′,E)稱為一個軟閉集。={(M,E)?(N,E(N,E)∈T′},明顯地對每一個 e∈E ,集族Te={M(e)|(M,E)∈T}是 X上的一個拓撲。對每一個(M,E)∈(2X)E,有 (ˉ,E。這里(e)=,對每一個e∈E,指 M(e)在 Te中的閉包。

      定理1.1[3](1)設(shè)(X,T,E)是一個 X上的軟拓撲空間。若 (X,T,E)是一個軟T3空間,則對每一個 x∈X,(x?,E)是軟閉的。

      (2)軟T3空間是軟T2空間。

      在下文,若沒有提到和解釋的概念,有關(guān)軟拓撲空間的一些概念和性質(zhì)可以在文獻[2]中找到。

      2 軟Urysohn空間和軟T5空間

      本章先給出軟Urysohn空間和軟T5空間的概念。

      定義2.1設(shè)(X,T,E)是X上的軟拓撲空間,?x,y∈X且 x≠y,若存在軟開集(M,E)和(N,E)使得 x∈(M,E),y∈(N,E)(X,T,E)稱為是一個軟Urysohn空間。

      定義2.2設(shè)(X,T,E)是X上的軟拓撲空間,?(M,E),(N,E,X)∈(2X)E滿足下面條件:,若存在軟開集 (P,E,X)和 (Q,E,X)使得T,E)稱為是一個軟完全正規(guī)空間。(X,T,E)稱為是一個軟T5空間,若它是一個軟完全正規(guī)空間且是一個軟T1空間。

      本章的主要結(jié)果如下:

      定理2.1設(shè)(X,T,E)是一個軟拓撲空間。

      (1)若(X,T,E)是一個軟T5空間,則(X,T,E)是一個軟T4空間。

      (2)若 (X,T,E)是一個軟Urysohn空間,則 (X,Te)是一個Urysohn空間 ?(?e∈ E)。

      (3)若(X,T,E)是一個軟Urysohn空間且Y是 X上的一個非空子集,則(X,TY,E)是一個軟Urysohn空間。

      (2)?x,y∈Y且 x=y,由于(X,T,E)是一個軟Urysohn空間,存在軟開集(M,E)∈T和(N,E)∈T使得 x∈(M,E),一個Urysohn空間 (?e∈E)。(3)?x,y∈Y 且 x=y,則存在軟開集 (M,E)∈T 和是一個Y上的軟閉集,記(MY,E)和所以(X,TY,E)是一個軟Urysohn空間。

      定理2.2(1)若(X,T,E)是一個軟T3空間,則(X,T,E)是一個軟Urysohn空間。

      (2)若 (X,T,E)是一個軟Urysohn空間,則 (X,T,E)是一個軟T2空間。

      證明(1)設(shè)(X,T,E)是一個軟T3空間。首先,對每一個 x∈X和每一個開軟集(M,E)滿足 x∈(M,E),存在開軟集(N,E)滿足 x∈(N,E)使得。事實上,設(shè) x∈X 和 (F,E)∈T 滿足 x∈(F,E),則 x∈(F,E)′∈T′,因此(X,T,E)是一個軟T3空間,存在軟集(M,E)和(N,E)滿足 x∈(M,E)和其次,由定理2.1可知(X,T,E)是軟T2空間,設(shè) x≠y,則存在軟開集(M,E)和 (N,E)滿足 x∈(M,E)和 y∈(N,E)使得因此,存在開軟集 (P,E)滿足 x∈(P,E)使得且存在開軟集 (Q,E)滿足 y∈,因此(X,T,E)是一個軟Urysohn空間。

      (2)容易證明,略。

      注1(1)若(X,T,E)是一個軟正規(guī)空間,則(X,T,E)不一定是一個軟正則空間。

      (2)若(X,T,E)是一個軟正規(guī)空間,且Y是 X的一個非空子集,則(X,TY,E)不一定是一個軟正規(guī)空間。事實上,設(shè) (Y,TY,E)不是一個軟正規(guī)空間,∞?Y,設(shè) X=可以證明(X,T,E)是一個軟拓(F,E,X)和 (G,E,X)是 X上的軟閉集滿足(G,E,X)=?,則其中之一不含∞,不妨設(shè)為(F,E,X),所以 (F′,E,X)=?,因此 (F,E,X)=?,則存在軟開集 ??和T,E)是一個軟正規(guī)空間。

      (3)文獻[2]中注5①一個軟T4空間不一定是軟T3空間。

      ②若(X,T,E)是一個軟T4空間,則對每一個e∈E,(X,Te)不一定是T4空間。

      ③若(X,T,E)是一個軟T4空間,且Y是 X的一個非空子集,則(X,TY,E)不一定是一個軟T4空間。

      可以證明文獻[2]中注5的陳述是正確的,但是它的例子是不正確的,即文獻[2]中例10是不正確的。因為存在軟開集?滿足 h4∈?,但 hi∈=1,2,3),因此 (X,T,E)不是一個軟T1空間,所以(X,T,E)不是一個軟T4空間。

      下面給出正確的例子:

      例2.1設(shè)X={1 ,2,3,4},E={e1,e2},T={?,?,(F1,E),(F2,E),…,(F22,E)},這里的

      則可以證明(X,T,E)是軟正規(guī)空間且是軟T1空間。即(X,T,E)是一個軟T4空間,但不是T3空間,因為1∈?和(F3,E)′是 X的一個軟集滿足1?(F3,E)′,所有軟開集(Fi,E)?(i=1,2,3,19,20,21,22) 和滿 足 1∈(Fi,E) 和1∈?, 所 有 軟 開 集 (Fj,E)?(j=8,17) 和?滿 足,即不存在軟開集 (F,E)和(G,E)滿足,因此每一個軟T4空間不必是一個軟T3空間。

      現(xiàn)在由于 Te2={?,X,{1,2,3},{1,4},{2,3},{1}},因為2≠3,所有的開集{2,3},{1,2,3}和 X滿足 2∈{2,3},2∈{1,2,3}且2∈X也包含元素3,所以(X,Te2)不一定是一個T1空間,因此(X,Te2)不一定是一個T4空間。

      取 Y={1,2,3},則 TY={?,?(FY1,E),(FY2,E),…,(F12,E)}。這里的

      則容易證明(X,T,E)是一個軟T1空間,但不一定是一個軟正規(guī)空間,因為(FY2,E)′和(FY5,E)′是Y上的兩個軟閉集,使得所有軟開集 (FYi,E)(i=1,4,5,8,10)和?滿足i和和存在軟開集 (FY,E)和?滿足2和但是,即不存在 Y 上的軟開集 (F,E)和 (G,E)滿足(F,E)和使得因此一個軟T4的子空間不一定是軟T4空間。

      3 軟分離性的各種關(guān)系

      在本章,作為本文的結(jié)束,將給出幾種分離關(guān)系如下:

      定理3.1 T5?T4?T3? 軟Urysohn空間?T2?T1?T0;T5?軟完全正規(guī)空間?軟正規(guī)空間?軟正則空間。

      證明由定理1.1、定理2.1~2.2、注2.1以及文獻[2],易知定理3.1是成立的。

      [1]Molodtsov D.Soft set theory-first results[J].Computers and Mathematics with Applications,1999,37(4/5):19-31.

      [2]Shabir M,Naz M.On soft topological spaces[J].Computers and Mathematics with Applications,2011,61:1786-1799.

      [3]Min W K.A note on soft topological spaces[J].Computers and Mathematics with Applications,2011,62:3524-3528.

      [4]Cagman N,Karatas S,Enginoglu S.Soft topology[J].Computers and Mathematics with Applications,2011,62(1):351-358.

      [5]Sezgin A,Atagün A O.Soft groups and normalistic soft groups[J].Computers and Mathematics with Applications,2011,62(2):685-698.

      [6]Tanay B,Kandemir M B.Topological structure of fuzzy soft sets[J].Computers and Mathematics with Applications,2011,61:2952-2957.

      [7]Aygünolu A,Aygün H.Introduction to fuzzy soft groups[J].Computers and Mathematics with Applications,2009,58(6):1279-1286.

      [8]Jun Y B,Lee K J,Zhan J M.Soft p-ideals of soft BCI-algebras[J].Computers and Mathematics with Applications,2009,58(10):2060-2068.

      [9]Yang C F.Fuzzy soft semigroups and fuzzy soft ideals[J].Computers and Mathematics with Applications,2011,61(2):255-261.

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