“數(shù)形結(jié)合”幫助構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

任美全

教學(xué)目標(biāo)：

1.通過觀察發(fā)現(xiàn)圖形特點，從而探索點陣中的規(guī)律。

2.通過本活動的教學(xué)，培養(yǎng)歸納，概括能力。

3.增強學(xué)生的審美觀念，培養(yǎng)學(xué)生審美能力。

教學(xué)重點：在活動中培養(yǎng)分析、推理的思維能力，直觀感知“點陣”有序排列。

教學(xué)難點：用不同的算式表示平方數(shù)，并能正確找到邊長。

教具、學(xué)具：課件，點陣圖。

教學(xué)活動：

1 激發(fā)興趣、引入新知

1.課件出示奧運會方陣圖片，學(xué)生說說感受。如果把每個演員看作一個點，（演示），再把這些點有規(guī)律地排列起來，就形成了一個美麗的圖形（出示），這就是今天我們研究的點陣圖。

2.介紹點和點陣。

師：二千多年前，希臘的數(shù)學(xué)家就開始研究點陣了，這節(jié)課，我想請你們也來嘗試一下，當(dāng)一回科學(xué)家，好不好？

【設(shè)計意圖】利用“奧運會方陣”圖引出點陣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望，介紹點陣體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的文化以及數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價值。

2 多方觀察、體驗探究

2.1 探究橫縱劃分規(guī)律

師：我們一起來看看數(shù)學(xué)家們當(dāng)年研究的點陣圖，邊看邊說出各個點陣的點子數(shù)。

（依次出示前四個正方形點陣圖，并逐步引導(dǎo)學(xué)生想像、猜測：下一個點陣圖會是什么樣子呢？有幾個點構(gòu)成？）

生：根據(jù)規(guī)律猜想。

師：在心里想第三個、第四個點陣圖是什么樣子。（示圖）與你的想像一樣嗎？

師：怎么猜得這樣準(zhǔn)確？有竅門嗎？

教師根據(jù)學(xué)生的回答，板書第一組算式。

1×1=1

2×2=4

3×3=9

4×4=16

師：像1、4、9、16這樣的數(shù)叫平方數(shù)。正方形點陣最能體現(xiàn)平方數(shù)的特點。（板書：平方數(shù)）

師：這種數(shù)法真是又快又方便！照這樣下去，第五個點陣有多少個點呢？第六個呢？第七個？八個？……第100個呢？ 第n個點陣呢怎樣用算式表示？”

師：好像很有規(guī)律哦？誰能用一句話概括一下你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？

生：這樣有序排列下去，第幾個點陣點的個數(shù)就是幾的平方。

師：你們能畫出第五個點陣圖嗎？

指名學(xué)生上臺用圓形磁鐵擺，其余學(xué)生畫一畫。

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生體會到點陣中的規(guī)律可以從形狀和點數(shù)這兩方面進(jìn)行，從這兩方面再來研究這組點陣中的規(guī)律。通過正方形方陣計算點數(shù)，得到平方數(shù)的特征。體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。注重學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能的理解和掌握。

2.2 探究拐彎劃分規(guī)律

師：剛才同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了點陣中的一個規(guī)律，這些點陣中還有其它的規(guī)律嗎？還能換個角度去思考嗎？

小組合作研究。（課件演示）

學(xué)生匯報，引導(dǎo)學(xué)生列算式。

生：點陣中的個數(shù)是：

1=1

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

………………

師：這組算式的規(guī)律是什么？

生：從1起連續(xù)奇數(shù)的和。（板書）

師：如果按這樣的劃分方法劃分第六個正方形點陣，它的點數(shù)該如何用算式來表示？第8個呢？第n個呢？

生根據(jù)規(guī)律寫出算式并總結(jié)規(guī)律。

師：請用你的方式概括一下你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

生：這樣劃分后，點陣中的規(guī)律是：1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，……1+3+3+7+……+（2n-1）

【設(shè)計意圖】《課標(biāo)》提出重視學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中的主體地位，學(xué)生通過自主探索等方式通過實踐，親身參與教師設(shè)計的教學(xué)從而在數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度方面得到充分的發(fā)展。當(dāng)學(xué)生獨立思考仍然不能解決的問題，就會產(chǎn)生合作學(xué)習(xí)的需要。體現(xiàn)了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者這一新課程理念。

2.3 探究斜著劃分規(guī)律

師：同學(xué)們從不同的角度研究了同一點陣不同的規(guī)律，想一想，還有其他的規(guī)律嗎？

師：請同學(xué)們獨立思考，寫出算式，然后匯報?！?/p>

問：你是從哪個角度研究的呢？（學(xué)生匯報。）

（教師板書）

第1個： 1=1

第2個： 1+ 2+1=4

第3個： 1+2+3+2+1=9

第4個： 1+2+3+4+3+2+1=16

師：猜一猜老師接下來想提什么問題？（概括規(guī)律）

【設(shè)計意圖】《課標(biāo)》指出：數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的結(jié)累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。在一二活動中設(shè)計了有效的數(shù)學(xué)探究活動，學(xué)生結(jié)累了數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗和數(shù)學(xué)解決問題的經(jīng)驗。因此，在第三個活動中，讓學(xué)生自己獨立思考，教師巡視，再作全班交流。這樣既面向全體學(xué)生又關(guān)注了個體差異，從而增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。

2.4 總結(jié)提升

師：同學(xué)們，剛才我們從三個不同角度觀察同一組正方形點陣，得到了三條不同的規(guī)律，也許再換一個角度觀察，還可以得到新的規(guī)律，今天咱們暫不作研究。既然是同一組點陣，那么黑板上的三組算式的得數(shù)就應(yīng)該分別相等。我們可以用等于號將它們連接起來。這樣，三種不同的算式都可以看作是求平方數(shù)來計算。

不過我們怎樣來求這平方數(shù)呢？請同桌討論交流。

這一知識你們掌握了嗎？我出兩題考考大家。

出示： 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=（ ）

1+3+5+7+9+11+13+15=（ ）

教師小結(jié)：今天我們研究了正方形點陣，在學(xué)習(xí)這一內(nèi)容時，你們都用到了哪些學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法呢？觀察和思考是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必不可少的方法，那么今天我們還學(xué)習(xí)了一種新的方法，借助圖形來研究數(shù)，最終發(fā)現(xiàn)了點陣中隱含的規(guī)律。

【設(shè)計意圖】《課標(biāo)》指出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，應(yīng)注重學(xué)生對所學(xué)知識的理解，體會數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)。在學(xué)生從不同角度研究了不同的規(guī)律后，進(jìn)行一個總結(jié)和提升，注重了在數(shù)學(xué)教學(xué)中知識的“生長點”與“延伸點”引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。

3 延伸應(yīng)用，形成策略

生活中，除了正方形點陣外，還有其它形狀的點陣嗎？

3.1 長方形點陣（書P83試一試第1題）

學(xué)生獨立用算式表示點陣中點的個數(shù)并發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

3.2 三角形點陣（書P83試一試第2題）

學(xué)生從不同角度劃分點陣，尋求多種解決問題的方法。

3.3 自創(chuàng)點陣圖（三道題目任選一道題目完成）

a.根據(jù)圖形布點。b.根據(jù)數(shù)字設(shè)計點陣圖。c.自由創(chuàng)作點陣圖。

【設(shè)計意圖】學(xué)生在“探究”和“思考”的過程中積淀了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，通過延伸應(yīng)用培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，學(xué)生通過觀察、嘗試、歸納、畫圖等活動中發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生運用這些問題解決的策略解決實際問題，這樣既發(fā)展了學(xué)生合情推理能力也發(fā)展了學(xué)生演繹推理能力。

4 參與評價，總結(jié)全課

4.1 引導(dǎo)學(xué)生回憶總結(jié)

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

總結(jié)：同學(xué)們，我們今天研究了點陣中的規(guī)律，用點陣圖發(fā)現(xiàn)了一些數(shù)的特征。由于圖形具有直觀形象的特點，會使抽象的數(shù)學(xué)問題變得生動具體，是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一大法寶，我們以后在研究數(shù)學(xué)問題時，要學(xué)會利用圖形來幫助解決。在生活中，到處都存在各種各樣的規(guī)律，老師希望同學(xué)們從現(xiàn)在開始做個有心的人，在以后的生活和學(xué)習(xí)中，多觀察、多思考，繼續(xù)去發(fā)現(xiàn)更多、更奇妙的規(guī)律。

4.2 參與評價，增強自信

師：同學(xué)們這節(jié)課你對自己或同學(xué)的表現(xiàn)滿意嗎？能評價一下自己或同學(xué)的表現(xiàn)嗎？

最后，老師送給大家一句話：“善于觀察，勤于思考，數(shù)形結(jié)合，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美！數(shù)學(xué)美把自然規(guī)律抽象成一幅簡潔準(zhǔn)確的圖像！”

【設(shè)計意圖】評價不僅要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，更要關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的發(fā)展和變化。因此，讓學(xué)生總結(jié)反思的同時，參與評價，通過評價得到的信息，可以了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)達(dá)到的水平和存在的問題，幫助教師進(jìn)行總結(jié)與反思。

5 板書設(shè)計：

點陣中的規(guī)律

1 = 1 = 1 = 1²平方數(shù)

4 = 1+3 = 1+2+1 = 2²

9 = 1+3+5 = 1+2+3+2+1 = 3²

16 = 1+3+5+7 = 1+2+3+4+3+2+1 = 4²

25 = 1+3+5+7+9 = 1+2+3+4+5+4+3++2+1 = 5²