給定直徑和懸掛點(diǎn)數(shù)的樹(shù)的拉普拉斯系數(shù)

譚尚旺,王奇龍

(中國(guó)石油大學(xué)理學(xué)院,山東青島 266580)

給定直徑和懸掛點(diǎn)數(shù)的樹(shù)的拉普拉斯系數(shù)

譚尚旺,王奇龍

(中國(guó)石油大學(xué)理學(xué)院,山東青島 266580)

拉普拉斯系數(shù)；維納指標(biāo)；Laplacian-like能量；懸掛點(diǎn)

1 問(wèn)題的提出

本文討論的圖都是無(wú)環(huán)無(wú)重邊的簡(jiǎn)單圖。令G是一個(gè)具有n=|V(G)|個(gè)頂點(diǎn)和e(G)個(gè)邊的圖。用A(G)和D(G)分別表示G的鄰接矩陣和頂點(diǎn)度對(duì)角矩陣,則矩陣L(G)=D(G)-A(G)稱(chēng)為G的拉普拉斯矩陣,L(G)的特征多項(xiàng)式det(λIn-L(G))稱(chēng)為G的拉普拉斯多項(xiàng)式,記為φ(G,λ)。令ck(G)(0≤k≤n)表示φ(G,λ)系數(shù)的絕對(duì)值,則熟知,c0(G)=1,c1(G)=2e(G),cn-1(G)=nτ(G), cn(G)=0,其中τ(G)是G的生成樹(shù)的個(gè)數(shù)[1]。如果G是一個(gè)樹(shù),則cn-2(G)和cn-3(G)分別等于G的維納指標(biāo)和修改超維納指標(biāo)。關(guān)于系統(tǒng)內(nèi)指標(biāo),超維納指標(biāo)和修改超維納指標(biāo)有關(guān),結(jié)論見(jiàn)文獻(xiàn)[2-5]。

令G和H是兩個(gè)n點(diǎn)圖。如果對(duì)所有的0≤k≤n,都有ck(G)≤ck(H),則記為G≤H。如果G≤H且存在某個(gè)0≤k≤n,使得ck(G)≠ck(H),則記為G?H。

令S(G)表示在G的每個(gè)邊上插入一個(gè)新的2度點(diǎn)后得到的細(xì)分圖,mk(G)表示G恰好包含k個(gè)邊的匹配的個(gè)數(shù)。對(duì)每個(gè)n點(diǎn)的無(wú)圈圖T,Zhou和Gutman[6]已經(jīng)證明利用這個(gè)結(jié)論,Zhou和Gutman[6]證明了Gutman和Pavlovic'[7]提出的一個(gè)猜想。

定理1令Pn和Sn分別表示具有n個(gè)頂點(diǎn)的路和星,T是不同于Pn和Sn的任意n點(diǎn)樹(shù),則對(duì)所有的k=0,1,…,n,都有ck(Sn)≤ck(T)≤ck(Pn)。

借助式(1),已經(jīng)得到了一些遞減所有拉普拉斯系數(shù)的圖的變換,并且也得到了很多關(guān)于樹(shù)的拉普拉斯系數(shù)的結(jié)論。Mohar[8]給出了兩個(gè)樹(shù)的變換,并且利用這兩個(gè)變換給出了定理1的一個(gè)新的證明和加強(qiáng)。Zhang等[9]回答了Mohar[10]提出的用拉普拉斯系數(shù)定序樹(shù)的一些問(wèn)題,并且確定了偏序≤下n點(diǎn)樹(shù)的幾個(gè)序。Ilic'[11]刻畫(huà)了偏序≤下給定直徑的n點(diǎn)樹(shù)的最小元。Ilic'等[12]刻畫(huà)了偏序≤下給定懸掛點(diǎn)數(shù)或2度點(diǎn)數(shù)的樹(shù)的最小元,特別是確定了n點(diǎn)樹(shù)的第二個(gè)最小元和第二個(gè)最大元。Ilic'[13]確定了偏序≤下給定匹配數(shù)的樹(shù)的最小元。Lin和Yan[14]刻畫(huà)了偏序≤下給定二部劃分的樹(shù)的最小元。

定理2令G和H是兩個(gè)n點(diǎn)圖。如果G≤H,則LEL(G)≤LEL(H)；如果G?H,則LEL(G)＜LEL(H)。

樹(shù)的拉普拉斯系數(shù)涉及到樹(shù)的維納指標(biāo)、修改超維納指標(biāo)、關(guān)聯(lián)能量和Laplacian-like能量。

2 預(yù)備知識(shí)

對(duì)于圖G,令μ(G)表示L(G)的最大特征值, dG(v)表示G的頂點(diǎn)v在G中的度。G的1度頂點(diǎn)稱(chēng)為G的懸掛點(diǎn),G關(guān)聯(lián)于懸掛點(diǎn)的邊稱(chēng)為G的懸掛邊。G的一個(gè)路v0v1…vk稱(chēng)為G在頂點(diǎn)v0處長(zhǎng)為k的懸掛路,如果它滿(mǎn)足

定義1令w是非平凡連通圖G的一個(gè)頂點(diǎn), G(p,q)表示分別在w處增加懸掛路wv1v2…vp和wu1u2…uq得到的圖。如果p≥q≥1,則從G(p,q)到G(p+1,q-1)的過(guò)程稱(chēng)為G(p,q)的一個(gè)π變換,而從G(p+1,q-1)到G(p,q)的過(guò)程稱(chēng)為G(p +1,q-1)的一個(gè)π-1變換。

引理1[13]如果p≥q≥1,則G(p,q)≤G(p +1,q-1)。

引理2如果G是一個(gè)二部圖并且p≥q≥1,則G(p,q)?G(p+1,q-1)。

證明既然G是二部連通圖,于是μ(G(p,q))＞μ(G(p+1,q-1))[21],從而

這表明存在一個(gè)k(2≤k≤n-2),使得ck(G(p, q))≠ck(G(p+1,q-1))。故由引理1知結(jié)論成立。

連通圖G中度大于2的頂點(diǎn)稱(chēng)為G的分枝點(diǎn),G中頂點(diǎn)u和v之間最短路的長(zhǎng)度稱(chēng)為u和v之間的距離。G的頂點(diǎn)v的離心率等于從v到其他所有頂點(diǎn)間距離的最大值。G中具有最小離心率的頂點(diǎn)稱(chēng)為G的中心。樹(shù)的中心是一個(gè)或兩個(gè)鄰接的頂點(diǎn)[2]。

定義2 令v是樹(shù)T的一個(gè)度為m+1的頂點(diǎn),記v的所有鄰接點(diǎn)為u,v1,v2,…,vm。假設(shè)H1,H2,…, Hm是關(guān)聯(lián)v的所有懸掛路,其中Hi的起點(diǎn)是vi并且長(zhǎng)度ni≥1(i=1,2,…,m)。令T′=δ(T,v)是從T中刪除邊vv2,vv3,…,vvm,然后增加m-1個(gè)新的邊uv2,uv3,…,uvm后得到的樹(shù)。稱(chēng)T′是T從v到u關(guān)于H1的一個(gè)δ變換,T是T′從u到v關(guān)于H1的一個(gè)δ-1變換。顯然,δ變換保持樹(shù)的懸掛點(diǎn)數(shù)不變。

引理3[12]令T是根在它的一個(gè)中心的n點(diǎn)樹(shù),v是T中具有最大深度的一個(gè)分枝點(diǎn),則對(duì)δ變換樹(shù)T′=δ(T,v),有T′≤T。

定義3令vu1u2…us-1us是樹(shù)T的一個(gè)路,滿(mǎn)足:dT(v)≥3,dT(u1)=dT(u2)=…=dT(us-1)=2, dT(us)≥3。除去u1外,假設(shè)v的其他鄰接點(diǎn)都在懸掛路上并且假設(shè)H=vv1v2…vt就是一個(gè)在v處的懸掛路。令T″是從T中刪除邊vu1,然后把v和u1等同得到的樹(shù)。令T?是在T″中增加新的懸掛邊vtu′1后得到的樹(shù)。

一個(gè)具有唯一分枝點(diǎn)v的樹(shù)稱(chēng)為關(guān)于根v的星狀樹(shù)。如果一個(gè)星狀樹(shù)關(guān)于根的所有懸掛路都有幾乎相等的長(zhǎng)度,則稱(chēng)它是平衡星狀樹(shù)。用S(n,s)表示有n個(gè)頂點(diǎn)和s個(gè)懸掛點(diǎn)的平衡星狀樹(shù)。令D(n, m,r)表示在一個(gè)固定邊uv的頂點(diǎn)u增加m個(gè)路uui1ui2…uit(i=1,2,…,m),而在頂點(diǎn)v增加r個(gè)路vvj1vj2…vjt(j=1,2,…,r)后得到的n點(diǎn)樹(shù),其中m+ r=s,并且mr≠0。容易發(fā)現(xiàn),D(n,m,r)有n=st+ 2個(gè)點(diǎn),s個(gè)懸掛點(diǎn)和直徑2t+1。如果d是一個(gè)偶數(shù),則記εd=0,否則記εd=1。

引理4令T是根在它的一個(gè)中心的n點(diǎn)樹(shù),v是T中具有最大深度的一個(gè)分枝點(diǎn),則對(duì)δ變換樹(shù)T′=δ(T,v),有T′?T。

證明由δ變換的定義知,T至少有兩個(gè)分枝點(diǎn)。令us是T中與v距離最小的一個(gè)分枝點(diǎn), vu1u2…us是v和us之間的唯一路,則T??T′=δ(T, v)。既然T″是T??T′的一個(gè)真子圖,于是μ(T′)＞μ(T″)[22]。另一方面,μ(T″)＞μ(T)[23]。因此, μ(T′)＞μ(T)。這表明存在一個(gè)k(2≤k≤n-2),使得ck(T′)≠ck(T)。于是由引理3得T′?T。

引理5令T是具有n頂點(diǎn),s個(gè)懸掛點(diǎn)和直徑d的任意樹(shù),則s(d-εd)≥2(n-1-εd)。等式成立,當(dāng)且僅當(dāng)d是一個(gè)偶數(shù)時(shí),T?S(sd/2+1,s)；d是一個(gè)奇數(shù)時(shí),存在整數(shù)m(1≤m≤s-1),使得T?D(s(d-1)/2+2,m,s-m)。

證明令Pd+1=u1u2…udud+1是T的一個(gè)最長(zhǎng)路,v1=u1,v2,…,vs-1,vs=ud+1是T的所有懸掛點(diǎn)。容易發(fā)現(xiàn),T的所有中心都在Pd+1上。

于是sd≥2(n-1)。由式(2)知sd=2(n-1),當(dāng)且僅當(dāng)

這就得到s(d-1)≥2(n-2)。由式(3)知s(d-1)=2(n-2),當(dāng)且僅當(dāng)

圖1 一個(gè)特殊星狀樹(shù)Fig.1 A special starlike tree

引理6如果n,d,s是滿(mǎn)足s(d-εd)≥2(n-1-εd)且3≤s≤n-d+1的正整數(shù),則Tn,d,s具有n個(gè)頂點(diǎn),s個(gè)懸掛點(diǎn)和直徑d。

證明由定義知,Tn,d,s有s個(gè)懸掛點(diǎn),并且它的頂點(diǎn)數(shù)等于

如果q=0,則p≤r-1,即p+1≤r。如果q≠0,則p≤r-2,即p+2≤r。因此,Tn,d,s的直徑總是d。

3 主要結(jié)論及其證明

定理3在所有具有n個(gè)頂點(diǎn),s個(gè)懸掛點(diǎn)和直徑d的樹(shù)中,Tn,d,s是偏序關(guān)系≤下的唯一最小元。

證明由于路Pn和星Sn分別是有2個(gè)懸掛點(diǎn)和n-1個(gè)懸掛點(diǎn)的唯一樹(shù),于是下面假設(shè)3≤s≤n-d+1≤n-2。由引理5和引理6知,Tn,d,s是具有n個(gè)頂點(diǎn),s個(gè)懸掛點(diǎn)和直徑d的樹(shù)。令T?Tn,d,s是任意一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn),s個(gè)懸掛點(diǎn)和直徑d的樹(shù),Pd+1=123…d(d+1)是T的一個(gè)最長(zhǎng)路,則T的中心都在Pd+1上。選擇一個(gè)中心作為T(mén)的根,用θ(T)表示T的分枝點(diǎn)個(gè)數(shù)。顯然,θ(T)≥1。下面只需證明Tn,d,s?T即可。

情形1假設(shè)θ(T)=1。此時(shí),T是一個(gè)星狀樹(shù)。保持Pd+1不變,通過(guò)應(yīng)用π-1變換至少一次,T能被變換成Tn,d,s。由引理2得到Tn,d,s?T。

情形2假設(shè)θ(T)≥2。再劃分成兩種情形。

情形2.1假設(shè)T的所有分枝點(diǎn)都在Pd+1上。選擇一個(gè)與T的根有最大距離的分枝點(diǎn)v。令w是v在Pd+1上介于v和T的根之間的鄰接點(diǎn),H1是Pd+1上關(guān)聯(lián)于v的懸掛路。通過(guò)應(yīng)用從v到w關(guān)于H1的一個(gè)δ變換,T能變換成一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn),s個(gè)懸掛點(diǎn)和直徑d的新的樹(shù)T1。顯然,θ(T1)≤θ(T)。如果θ(T1)≥2,則對(duì)T1重復(fù)上面過(guò)程,直到得到一個(gè)樹(shù)Tr為止,其中θ(Tr)=1。于是得到有n個(gè)頂點(diǎn),s個(gè)懸掛點(diǎn)和直徑d的樹(shù)的序列T,T1,T2,…,Tr(r≥1)。因此,由情形1的結(jié)論和引理4得到Tn,d,s≤Tr?…?T1?T.

情形2.2假設(shè)T至少有一個(gè)分枝點(diǎn)不在Pd+1上。令v是不在Pd+1上具有最大深度的一個(gè)分枝點(diǎn),P=vuu′…是從v到T的根的唯一路。由v的假設(shè)知,除去u外,v的其他所有鄰接點(diǎn)都在長(zhǎng)度至少是1的懸掛路上。令H1是關(guān)聯(lián)于v的任意一個(gè)懸掛路。通過(guò)應(yīng)用從v到u關(guān)于H1的一個(gè)δ變換,T能變換成一個(gè)有n個(gè)頂點(diǎn)、s個(gè)懸掛點(diǎn)和直徑d的樹(shù)G1。顯然,θ(G1)≤θ(T)。容易發(fā)現(xiàn),u是G1的一個(gè)分枝點(diǎn)并且它的深度比v在T中的深度小。如果G1仍然存在分枝點(diǎn)不在Pd+1上,則對(duì)G1重復(fù)上面過(guò)程,直到得到一個(gè)樹(shù)Gm為止,其中Gm的分枝點(diǎn)都在Pd+1上。于是得到有n個(gè)頂點(diǎn),s個(gè)懸掛點(diǎn)和直徑d的樹(shù)的序列T,G1,G2,…,Gm(m≥1)。由引理4知 Gm?…?G1?T。既然Gm滿(mǎn)足情形2.1的條件,于是由情形2.1的結(jié)論得Tn,d,s≤Gm?T。

推論1在所有具有n個(gè)頂點(diǎn),s個(gè)懸掛點(diǎn)和直徑d的樹(shù)中,Tn,d,s是分別具有最小維納指標(biāo)、修改超維納指標(biāo)和LEL(=IE)的唯一樹(shù)。

推論2[12]在所有具有n個(gè)頂點(diǎn)和s個(gè)懸掛點(diǎn)的樹(shù)中,S(n,s)是偏序關(guān)系≤下的唯一最小元。

證明令T?S(n,s)是任意一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)和s個(gè)懸掛點(diǎn)的樹(shù),并且記T的直徑為d。如果T?Tn,d,s,則由定理3得

如果Tn,d,s?S(n,s),則在Tn,d,s的最長(zhǎng)懸掛路和最短懸掛路之間反復(fù)應(yīng)用π-1變換,直到所有懸掛路的長(zhǎng)度變成幾乎相等為止。最后得到的樹(shù)為S(n,s),于是由引理2知

由式(5)和(6),推論得證。

推論3[11]在所有具有n個(gè)頂點(diǎn)和直徑d的樹(shù)中,Tn,d,n-d+1是偏序關(guān)系≤下的唯一最小元。

證明令T?Tn,d,n-d+1是任意一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)和直徑為d的樹(shù),并且記T的懸掛點(diǎn)數(shù)為s。如果T?Tn,d,s,則由定理3得

令Pd+1是Tn,d,s的一個(gè)最長(zhǎng)路。如果Tn,d,s?Tn,d,n-d+1,則對(duì)不在Pd+1上的Tn,d,s的懸掛路反復(fù)應(yīng)用π-1變換,直到這些懸掛路都變成懸掛邊為止。最后得到的樹(shù)為T(mén)n,d,n-d+1,于是由引理2知

由式(7)和(8),推論得證。

引理7如果2≤s≤n-2,則S(n,s+1)?S(n,s)。

證明如果s=2,則令w是S(n,s)的任意一個(gè)中心；否則令w是S(n,s)的唯一分枝點(diǎn)。假設(shè)P是一個(gè)端點(diǎn)為w而另一個(gè)端點(diǎn)是懸掛點(diǎn)的最長(zhǎng)路,記P的懸掛點(diǎn)為v。令T=S(n,s)-v+wv,則T是一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)和s+1個(gè)懸掛點(diǎn)的樹(shù)。由推論2和引理2得S(n,s+1)≤T?S(n,s)。

令A(yù)s,t表示在星圖St+1的中心增加s個(gè)長(zhǎng)為2的懸掛路得到的樹(shù)。對(duì)一個(gè)n點(diǎn)樹(shù)T,令α和α′分別表示T的獨(dú)立數(shù)和匹配數(shù)。熟知,α+α′=n。注意到α′≤n/2,于是α≥n/2。

設(shè)G=(V,E)是一個(gè)簡(jiǎn)單圖,B是V∪E的一個(gè)子集。如果B的任兩個(gè)元素既不鄰接,也不關(guān)聯(lián),則稱(chēng)B為G的一個(gè)全獨(dú)立集。元素個(gè)數(shù)最多的全獨(dú)立集稱(chēng)為G的最大全獨(dú)立集,并且最大全獨(dú)立集的元素?cái)?shù)稱(chēng)為G的全獨(dú)立數(shù),記為γ。

定理4在所有具有n個(gè)頂點(diǎn)和全獨(dú)立數(shù)為γ的樹(shù)中,An-γ-1,2γ-n+1是偏序關(guān)系≤下的唯一最小元。

證明令T?An-γ-1,2γ-n+1是任意一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)和全獨(dú)立數(shù)為γ的樹(shù)。記T的懸掛點(diǎn)數(shù)為s。既然T的所有懸掛點(diǎn)構(gòu)成T的一個(gè)獨(dú)立集并且T的獨(dú)立集一定是T的全獨(dú)立集,于是s≤α≤γ。注意到α≥n/2,于是γ≥n/2。既然S(n,γ)的所有懸掛路具有幾乎相等的長(zhǎng)度,于是由γ≥n/2知S(n, γ)的所有懸掛路的長(zhǎng)度不超過(guò)2。令x和y分別是S(n,γ)中長(zhǎng)為2和長(zhǎng)為1的懸掛路的個(gè)數(shù),則2x+ 1+y=n,x+y=γ。容易發(fā)現(xiàn)x=n-γ-1,y=2γ -n+1。于是S(n,γ)=An-γ-1,2γ-n+1。因此,由s≤γ,引理7和推論2,有

并且由T?An-γ-1,2γ-n+1知,對(duì)某個(gè)k(2≤k≤n-2),上面至少一個(gè)不等式是嚴(yán)格的。因此,定理得證。

推論4在所有具有n個(gè)頂點(diǎn)和全獨(dú)立數(shù)為γ的樹(shù)中,An-γ-1,2γ-n+1是分別具有最小維納指標(biāo)、修改超維納指標(biāo)和LEL(=IE)的唯一樹(shù)。

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(編輯 修榮榮)

Laplacian coefficients of trees with given diameter and number of pendant vertices

TAN Shang-wang,WANG Qi-long
(College of Science in China University of Petroleum,Qingdao 266580,China)

Let φ(T,λ)=∑nk=0(-1)kck(T)λn-kbe the characteristic polynomial of Laplacian matrix of a n-vertex tree T.It is well known that cn-2(T)and cn-3(T)are equal to the Wiener index and modified hyper-Wiener index of T,respectively.By applying some transformations of graphs,the trees with given diameter and number of pendant vertices were characterized which simultaneously minimize all Laplacian coefficients.In particular,some trees with extremal Wiener index,modified hyper-Wiener index and Laplacian-like energy were determined.

Laplacian coefficient；Wiener index；Laplacian-like energy；pendant vertex

O 157.5

A

1673-5005(2013)02-0186-05

10.3969/j.issn.1673-5005.2013.02.031

2012-08-05

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10871204)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)(09CX04003A)

譚尚旺(1965-),男,教授,碩士,研究方向?yàn)閳D論。E-mail:tswang@sina.com。