應(yīng)用矩量法研究有限長(zhǎng)帶電直導(dǎo)線(xiàn)的電荷分布

劉 冰 房文靜

（中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院，山東 青島 266555）

在大學(xué)物理教材和教學(xué)中，應(yīng)用疊加原理求解帶電直導(dǎo)線(xiàn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)，常常先考慮有限長(zhǎng)帶電直導(dǎo)線(xiàn)，并由所得結(jié)果討論無(wú)限長(zhǎng)帶電直導(dǎo)線(xiàn)的場(chǎng)強(qiáng)問(wèn)題，一般都假設(shè)直導(dǎo)線(xiàn)“均勻帶電”.然而有限長(zhǎng)與無(wú)限長(zhǎng)帶電直導(dǎo)線(xiàn)之間對(duì)稱(chēng)性的差別將對(duì)導(dǎo)體上的電荷分布產(chǎn)生影響［1］，有限長(zhǎng)帶電直導(dǎo)線(xiàn)上的電荷分布并非均勻.本文采用矩量法［2～4］數(shù)值求解了有限長(zhǎng)帶電直導(dǎo)線(xiàn)的電荷分布，討論了計(jì)算矩陣元的分段數(shù)對(duì)電荷密度數(shù)值解的影響.

1 矩量法概述

在電磁工程應(yīng)用中，給定邊值問(wèn)題的場(chǎng)方程歸結(jié)為如下算子方程

已知邊界條件為

式中，L為線(xiàn)性算子；g為已知激勵(lì)函數(shù)；u為待求函數(shù).就積分方程而言，若對(duì)應(yīng)于靜電場(chǎng)中帶電導(dǎo)線(xiàn)l′上的線(xiàn)電荷密度u＝τ（r′）分布問(wèn)題，如給定該導(dǎo)線(xiàn)的電位g＝φ，則算子

對(duì)函數(shù)u構(gòu)造一個(gè)由有限個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)函數(shù)Ni所組成的基函數(shù)集合｛N｝，并令其滿(mǎn)足總體邊界條件式（2），則函數(shù)u的近似解為

式中，ui是待求函數(shù)u的離散解.對(duì)于近似解，且L為線(xiàn)性算子，則將式（3）代入式（1）得

由于ui是近似解，作為一般性討論，在L的值域內(nèi)定義一個(gè)權(quán)函數(shù)集合｛W｝，并就每一個(gè)Wj，對(duì)式（4）兩邊取內(nèi)積，得

上式即表示算子方程（1）的代數(shù)方程組，由含有N個(gè)未知數(shù)ui的N個(gè)方程構(gòu)成.若用矩陣形式表示，則有

式中，系數(shù)矩陣l為

向量u和g分別為

于是在基函數(shù)｛N｝構(gòu)造的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步選定權(quán)函數(shù)｛W｝，就可以計(jì)算l和g中的各個(gè)元素，并由此得到未知函數(shù)u的數(shù)值解ui（i＝1，2，…，n）.

若選取狄拉克δ函數(shù)為權(quán)函數(shù)，即

則式（6）中相應(yīng)的矩陣元素表示為

從以上兩式可以看出，lji和gj的計(jì)算只需求解r′j所在點(diǎn)（匹配點(diǎn)）處的對(duì)應(yīng)值，此方法即為點(diǎn)配法.根據(jù)場(chǎng)的唯一性定理，這些匹配點(diǎn)應(yīng)選取在相應(yīng)定解條件所在的位置上，如選取在給定電位值的電極表面.本文采用點(diǎn)配法的計(jì)算模式，選取脈沖函數(shù)Πi為基函數(shù)和狄拉克δ函數(shù)為權(quán)函數(shù)，數(shù)值求解帶電直導(dǎo)線(xiàn)上的電荷密度分布.

2 矩量法對(duì)帶電細(xì)直導(dǎo)線(xiàn)電荷分布的計(jì)算

原則上，任意帶電體總可以分割為K個(gè)點(diǎn)電荷Δqi（i＝1，2，…，K）的集合，邊界上任意一點(diǎn)的電勢(shì)可根據(jù)疊加原理由Δqi唯一確定，表示為一個(gè)關(guān)于Δqi的線(xiàn)性方程，則這K個(gè)點(diǎn)的電勢(shì)就構(gòu)成K個(gè)這樣的線(xiàn)性方程組，可唯一解出電荷分布Δqi.實(shí)際計(jì)算中K只能取有限值，因此Δqi的分布影響著數(shù)值計(jì)算的精度和收斂性.下面以帶電直線(xiàn)為例分兩種情況討論電荷分布.

如圖1所示，一半徑為a，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的帶電直線(xiàn)，其上給定電位φ0（設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)），求此帶電直導(dǎo)線(xiàn)上的電荷密度分布.

圖1 帶電直導(dǎo)線(xiàn)模型

（1）帶電直導(dǎo)線(xiàn)長(zhǎng)度L遠(yuǎn)大于其半徑a

若帶電直導(dǎo)線(xiàn)長(zhǎng)度L?a，可把待求導(dǎo)體表面上電荷密度σr（′）的分布，等價(jià)地看作沿導(dǎo)體軸線(xiàn)上分布的線(xiàn)電荷密度τ（x′）.根據(jù)單層位勢(shì)理論，電勢(shì)積分方程的數(shù)學(xué)模型為

沿x軸將帶電導(dǎo)體分割為長(zhǎng)度均為Δx′的n段小導(dǎo)體段，并令每個(gè)導(dǎo)體段的電荷密度為相應(yīng)的常量τi，但不同小導(dǎo)體段的電荷密度不同.選脈沖函數(shù)Πi為基函數(shù)，則直導(dǎo)線(xiàn)上電荷密度τ（x′）近似為

對(duì)應(yīng)每個(gè)小導(dǎo)體段中心，在導(dǎo)體表面上選定n個(gè)相應(yīng)的匹配點(diǎn)建立式（7）的離散積分方程為

采用點(diǎn)配法計(jì)算離散積分方程（9）得

寫(xiě)成矩陣形式為

顯然有

在求解矩陣元素lji時(shí)，文獻(xiàn)［2］中將n段小導(dǎo)體段視為位于該段導(dǎo)體中心的點(diǎn)電荷，計(jì)算精度不高，而且隨著分段數(shù)n的增加，計(jì)算結(jié)果不收斂（見(jiàn)圖2和圖3）.為此，本文仍將每個(gè)小導(dǎo)體段視為線(xiàn)電荷分布，通過(guò)積分求解矩陣元素lji，可得

圖2 帶正電直導(dǎo)線(xiàn)的電荷密度分布

（2）帶電直導(dǎo)線(xiàn)長(zhǎng)度L并非遠(yuǎn)大于其半徑a

若帶電直導(dǎo)線(xiàn)長(zhǎng)度L并非遠(yuǎn)大于其半徑a，則導(dǎo)體表面的電荷面分布σr（′）不能近似為線(xiàn)電荷分布，必須計(jì)算導(dǎo)體表面上的電荷面密度σr（′），電勢(shì)積分方程為

根據(jù)問(wèn)題的軸對(duì)稱(chēng)性特征，可采用柱坐標(biāo)系計(jì)算矩陣元素lji，匹配點(diǎn)仍取在導(dǎo)體表面上，類(lèi)似式（10）的推導(dǎo)，則有

令θj＝0，則式（15）變?yōu)?/p>

式中，xb，xa同式（13）.

3 計(jì)算結(jié)果分析

圖3 帶正電直導(dǎo)線(xiàn)的電荷密度分布

假設(shè)導(dǎo)體長(zhǎng)為L(zhǎng)＝1m，電勢(shì)為φ0＝±1（相對(duì)值，且選無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)），導(dǎo)體半徑為a＝5×10-3m、10-2m，n取10、50、150.分別采用式（13）和式（16）計(jì)算導(dǎo)體電荷密度分布，并與文獻(xiàn)［2］的計(jì)算結(jié)果比較，如圖2、圖3和圖4所示.

從圖2和圖3中（除圖2（g）和圖3（g）外）可以看出，帶正電直導(dǎo)線(xiàn)上的電荷分布不均勻，兩端密度大，中間密度小，呈現(xiàn)出“∪”型分布.負(fù)電荷密度呈“∩”型分布，如圖4所示.從圖2和圖3還看出，本文給出的計(jì)算方法得到的數(shù)值解較為穩(wěn)定，利用式（16）進(jìn)行求解得到的電荷密度分布最為穩(wěn)定.文獻(xiàn)［2］給出的計(jì)算結(jié)果在n取值較大時(shí)明顯不收斂，如圖2（g）和圖3（g）所示.原因是文獻(xiàn)［2］假定導(dǎo)線(xiàn)長(zhǎng)度和導(dǎo)線(xiàn)分段長(zhǎng)度都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于導(dǎo)線(xiàn)的半徑，但隨著n的增大，導(dǎo)線(xiàn)的分段長(zhǎng)度Δx′＝L／n接近導(dǎo)線(xiàn)的半徑，不能將其視為線(xiàn)電荷元，應(yīng)將其視為面電荷元，因此線(xiàn)電荷分布的假設(shè)不再成立.

4 結(jié)論

本文應(yīng)用矩量法研究了帶電直導(dǎo)線(xiàn)上電荷密度分布的不均勻性，導(dǎo)體兩端電荷密度大，中間密度小，正電荷呈“∪”型分布，負(fù)電荷呈“∩”型分布，本文計(jì)算結(jié)果較為精確且具有良好的收斂性.

圖4 帶負(fù)電直導(dǎo)線(xiàn)的電荷密度分布

［1］陳鋼.有限長(zhǎng)帶電導(dǎo)體直線(xiàn)的電荷分布［J］.大學(xué)物理，2011，30（10）：28～29.

［2］倪光正，錢(qián)秀英，等.電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算［M］.北京：高等教育出版社，1996：313～332.

［3］盛劍霓.工程電磁場(chǎng)數(shù)值分析［M］.西安：西安交通大學(xué)出版社，1991：8～19.

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