落球法測液體粘滯系數(shù)實驗的理論分析

曹春梅 甄 釗

（1華北電力大學(xué)數(shù)理系，河北 保定 071003）

（2華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，河北 保定 071003）

液體粘滯系數(shù)是液體的重要性質(zhì)之一，在工程、生產(chǎn)技術(shù)及醫(yī)學(xué)方面有著重要的應(yīng)用.測量液體粘滯系數(shù)有多種方法，對粘滯系數(shù)較大的液體如甘油、蓖麻油等液體，實驗室常采用落球法測量其粘滯系數(shù).其方法是在裝有被測液體的圓柱形玻璃筒內(nèi)，使小球由靜止開始沿圓柱中心軸線在液體中下落，小球運(yùn)動過程中除受到重力、浮力作用外，還受到液體對小球的粘滯阻力作用，該力的描述通常由著名的斯托克斯公式給出：f＝6πrηv，其中，r為球體半徑；v為球體運(yùn)動速率；η為液體粘滯系數(shù).該式在液體無限廣延、且雷諾數(shù)的值遠(yuǎn)小于1時才正確.考慮到圓筒直徑R和筒內(nèi)液體的深度H有限對小球運(yùn)動的影響，雷諾數(shù)大小（實際應(yīng)用落球法時，小球的運(yùn)動不會處于高雷諾數(shù)狀態(tài)，一般Re值小于10）對粘滯阻力的影響，則斯托克斯公式應(yīng)修正為［1～4］

因此，質(zhì)量為m的小球在液體中的運(yùn)動微分方程為

1 雷諾數(shù)修正項的影響

根據(jù)奧西恩－果爾斯公式，當(dāng)雷諾數(shù)不太大時，考慮雷諾數(shù)的影響，粘滯阻力的二級近似表達(dá)式為中的三項分別稱為對斯托克斯公式的零級修正項f0＝1、一級修正項和二級修正項

將小括號因子Re2.圖1給出了當(dāng)Re≤5時各修正項隨Re值的變化.由圖1可知，零級修正項較之一級修正項和二級修正項均偏小，當(dāng)Re≤0.5時，忽略一級修正項和二級修正項引起的粘滯阻力相對誤差不超過10%；而當(dāng)0.5＜Re＜2.0時，此時修正項明顯不可忽略，保留到一級修正項對結(jié)果的影響在10%之內(nèi)，而僅考慮零級修正項引起的相對誤差可達(dá)10～30%；當(dāng)Re＞2.0時，應(yīng)保留至二級修正項，此時保留到一級修正項的結(jié)果引起的相對誤差已超過10%，而僅考慮零級修正項引起的相對誤差高達(dá)40%.

圖1 各級修正項隨雷諾數(shù)Re的變化曲線

2 粘滯系數(shù)η、落球直徑d對雷諾數(shù)Re的影響

由式（1）可知，小球剛剛進(jìn)入液體時運(yùn)動速率較小，相應(yīng)的阻力也較小，重力大于粘滯阻力和浮力，所以小球做加速運(yùn)動，隨著小球速率越來越大，阻力越來越大，加速度越來越小.當(dāng)小球速率達(dá)到某一值時，所受合外力為零，趨于勻速運(yùn)動，此時速率稱為終極速率.令式（1）中＝0，可得終極速率隨粘滯系數(shù)η變化滿足的關(guān)系式為

若落球為小鋼球，則ρ＝7.9×103kg／m3，若液體為常用的蓖麻油，忽略溫度變化對密度的影響，則ρ′＝0.96×103kg／m3，根據(jù)一般實驗所用圓筒，取圓筒直徑D＝0.0672m，圓筒內(nèi)液體的高度H＝0.5340m.取小球直徑分別為d＝1.0、1.5、2.0、2.5、3.0、3.5、4.0（單位：10－3m）共7個量值，由式（2）可得小球以終極速率運(yùn)動時雷諾數(shù)Re隨粘滯系數(shù)η變化的計算結(jié)果如圖2所示.

圖2 不同落球直徑下粘滯系數(shù)η對雷諾數(shù)Re的影響

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)查得不同溫度（≤40℃）蓖麻油粘滯系數(shù)見表1，對應(yīng)每一溫度的粘滯系數(shù)，由式（2）可得小球以終極速率運(yùn)動時雷諾數(shù)Re隨小球直徑d變化的計算結(jié)果如圖3所示.

表1 不同溫度蓖麻油粘滯系數(shù)

圖3 不同粘滯系數(shù)下落球直徑d對雷諾數(shù)Re的影響

從圖2可知，對一定直徑的小球在蓖麻油中的運(yùn)動，雷諾數(shù)Re隨著粘滯系數(shù)η的增大而減?。挥蓤D3可知，一定的粘滯系數(shù)下，雷諾數(shù)Re均隨著落球直徑的增大而不同程度地增大.分析圖2、圖3還可有如下結(jié)論：只要落球直徑小于或等于2mm，蓖麻油溫度不高于40℃時，雷諾數(shù)Re的值均不大于0.5；落球直徑為2～4mm之間，但蓖麻油溫度低于25℃使其粘滯系數(shù)較大時，雷諾數(shù)Re的值也不大于0.5.

3 小球運(yùn)動分析

根據(jù)以上分析，一般實驗室條件下，蓖麻油溫度低于40℃，落球直徑選取小于2mm，即可滿足Re≤0.5，因此一級修正項和二級修正項均可忽略，故小球所受的粘滯阻力表現(xiàn)為常用的斯托克斯公式形式f＝6πrηv，其運(yùn)動的動力學(xué)方程可簡化為

對式（3）的定性分析不難得出小球半徑越大，粘滯系數(shù)越小，達(dá)到終極速率的時間越長，而達(dá)到終極速率前下落位移也越大.在保證Re≤0.5的條件下，取溫度40℃時較小的蓖麻油粘滯系數(shù)為η＝0.231Pa·s，較大的落球直徑d＝2mm，其他參量取值與上面相同，積分式（3），并以初始條件t＝0時v0＝0、x0＝0代入后，分別給出小球運(yùn)動速率和位移隨時間變化的關(guān)系式如下：

圖4給出了小球下落的位移、速度與時間的關(guān)系曲線.由圖4及相應(yīng)計算結(jié)果可知，實驗中落球在液體內(nèi)很快達(dá)到了終極速率而勻速運(yùn)動，若令v＝0.9999v終極時認(rèn)為小球已到達(dá)終極速度，則所需時間計算為t＝0.0649s，此時小球到達(dá)液面下x0＝3.5133mm處.顯然這一具體結(jié)果與落球直徑及液體粘滯系數(shù)有關(guān)，在滿足Re≤0.5實驗條件下取不同的落球直徑和粘滯系數(shù)，計算相應(yīng)的t、x0值，計算出的t、x0值不同，t值為10－2s量級，因此幾乎可以認(rèn)為小球在下落到液面下方后瞬時達(dá)到終極速率而勻速運(yùn)動，這與文獻(xiàn)［5］的分析結(jié)果一致.而x0均不超過幾個毫米，這就以小球在液體內(nèi)下落距離作基準(zhǔn)為小球在液體內(nèi)開始勻速運(yùn)動的判定提供了理論依據(jù)，更便于實驗中小球勻速運(yùn)動起點的測量.

圖4 落球下落的位移、速度隨時間的變化

4 結(jié)束語

在實驗誤差允許的范圍內(nèi)，從理論分析方面給出了斯托克斯公式成立的條件為雷諾數(shù)Re≤0.5，并用圖示標(biāo)定了不同落球直徑、不同粘滯系數(shù)（對應(yīng)不同溫度）蓖麻油對應(yīng)的雷諾數(shù)數(shù)值，為實驗中根據(jù)不同溫度（≤40℃）的蓖麻油選取適當(dāng)直徑的落球以滿足Re≤0.5提供了參考.在滿足Re≤0.5條件下，計算了不同粘滯系數(shù)、不同落球直徑對應(yīng)的小球達(dá)到終極速率前下落的時間和距離，證實了用落球法測蓖麻油粘滯系數(shù)時，小球從液面靜止下落達(dá)勻速運(yùn)動所用的時間是10－2s量級，下落距離為幾個mm量級，為小球在液體內(nèi)何時何處開始勻速運(yùn)動提供了理論依據(jù).

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［2］ 劉偉，邱曉明.大學(xué)物理實驗教程［M］.大連：大連理工大學(xué)出版社，2000.93～96.

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