二叉樹上分枝馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理

黨慧,楊衛(wèi)國,高榮,石志巖

(江蘇大學(xué)理學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江 212013)

二叉樹上分枝馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理

黨慧,楊衛(wèi)國,高榮,石志巖

(江蘇大學(xué)理學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江 212013)

首先給出了在可列狀態(tài)空間取值的二叉樹上分枝馬氏鏈定義的離散形式,然后建立了二叉樹上分枝馬氏鏈的若干強(qiáng)極限定理,最后研究了二叉樹上有限狀態(tài)分枝馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理.

二叉樹;分枝馬氏鏈;強(qiáng)極限定理;強(qiáng)大數(shù)定理

DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2013.05.0013

1 引言

樹圖T是一個(gè)沒有回路的連通圖,對(duì)于任意兩個(gè)頂點(diǎn)σ/=t∈T,設(shè)σt是連接σ與t的唯一路徑,路徑σt中含有的邊數(shù)記為d(σ,t),稱為σ到t的距離.設(shè)T是一個(gè)以o為根頂點(diǎn)的局部有限的無限樹圖.對(duì)于T中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)σ,t,如果σ是處在從根頂點(diǎn)o到t的唯一路徑上,則記為σ≤t.用σ∧t表示同時(shí)滿足σ∧t≤t與σ∧t≤σ的離o最遠(yuǎn)的頂點(diǎn).對(duì)于T上的任一頂點(diǎn)t,|t|表示o和t之間的距離.一個(gè)頂點(diǎn)如果其與根頂點(diǎn)的距離為n,則稱該頂點(diǎn)位于第n層上.Ln表示T的第n層上所有頂點(diǎn)的子圖,Lmn表示T的含有從n層到m層的所有頂點(diǎn)的子圖,特別T(n)=Ln0表示T的含有從0層(根)到n層的所有頂點(diǎn)子圖.如果樹圖T的根頂點(diǎn)有N個(gè)相鄰頂點(diǎn),而其他頂點(diǎn)有N+1個(gè)相鄰頂點(diǎn),稱此樹為Cayley樹,記為TC,N.對(duì)于Cayley樹TC,N上的每一個(gè)頂點(diǎn)t,在它的下一層都有N個(gè)相鄰頂點(diǎn),稱這N個(gè)頂點(diǎn)為t的子代,t為這N個(gè)頂點(diǎn)的父代.本文主要研究二叉樹TC,2(見圖1),為了方便,將TC,2簡記為T2.對(duì)于二叉樹上任一頂點(diǎn)t,記t1,t2為t的兩個(gè)子代.

設(shè){?,F,P}為一概率空間,{Xt,t∈T2}為定義在{?,F,P}上的樹指標(biāo)隨機(jī)過程,設(shè)A為T2的子圖,記XA={Xt,t∈A},用|A|表示A中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù),xA表示XA的實(shí)現(xiàn).

樹指標(biāo)隨機(jī)過程是近年來發(fā)展起來的概率論的一個(gè)新的研究方向.文獻(xiàn)[1]給出了樹指標(biāo)馬氏鏈的定義并研究其常返性及角常返性.文獻(xiàn)[2]研究了齊次樹上某些平穩(wěn)隨機(jī)場的熵率.文獻(xiàn)[3]研究了齊次樹指標(biāo)有限狀態(tài)馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理和漸近均分性(AEP).文獻(xiàn)[4]研究了齊次樹指標(biāo)層非齊次馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理和漸近均分性(AEP).文獻(xiàn)[5]研究了一致有界樹指標(biāo)馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理和漸近均分性(AEP).文獻(xiàn)[6]研究了Cayley樹指標(biāo)有限狀態(tài)非齊次馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理和漸近均分性(AEP).文獻(xiàn)[7]研究了Cayley樹指標(biāo)非對(duì)稱馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理和漸近均分性.文獻(xiàn)[8]定義了在任意狀態(tài)空間取值的二叉樹上分枝馬氏鏈,并研究了其極限定理.

圖1 二叉樹TC,2

本文首先給出在可列狀態(tài)空間取值的二叉樹上分枝馬氏鏈定義的離散形式,然后研究二叉樹上有限狀態(tài)分枝馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理.在文獻(xiàn)[8]中研究的強(qiáng)大數(shù)定理要求隨機(jī)變量是同分布的,并不做此要求,而且與文獻(xiàn)[8]不同的是,本文采用的是與文獻(xiàn)[7]類似的方法,即通過構(gòu)造一個(gè)非負(fù)鞅先建立二叉樹上分枝馬氏鏈的強(qiáng)極限定理,然后利用這個(gè)強(qiáng)極限定理證明本文的強(qiáng)大數(shù)定理.

2 定義

3 強(qiáng)極限定理

4 強(qiáng)大數(shù)定理

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Strong law of large num bers for bifu rcating M arkov chains
indexed by a binary tree

Dang Hui,Yang Weiguo,Gao Rong,Shi Zhiyan

(Faculty of Science,Jiangsu University,Zhen jiang 212013,China)

In this paper,we f rst introduce the def nition of the discrete form of bifurcating M arkov chains indexed by a binary tree,then obtain some strong lim it theorem s for bifurcating M arkov chains indexed by a binary tree,and f nally,we obtain the strong law of large numbers for binary tree-indexed bifurcating Markov chainsw ith f nite state space.

binary tree,bifu rcating M arkov chains,strong lim it theorem s,strong law of large numbers

O211. 4;O211.6

A

1008-5513(2013)05-0529-07

2013-04-012.

國家自然科學(xué)基金(11071104);江蘇大學(xué)大學(xué)生科研立項(xiàng)(12A 409).作

者簡介：黨慧(1987-),在讀碩士,研究方向:概率極限理論.

2010 MSC:60J10,60F15