材料力學(xué)中彎曲內(nèi)力概念及計(jì)算的圖例法教學(xué)設(shè)計(jì)

陳建偉，王興國(guó)，楊 梅，武春廷

(河北聯(lián)合大學(xué)建筑工程學(xué)院，河北省地震工程研究中心，河北唐山063009)

《材料力學(xué)》是高等院校工科專業(yè)(如建筑、機(jī)械、礦業(yè)等)一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，為后續(xù)課程(如結(jié)構(gòu)力學(xué)、彈性力學(xué)及專業(yè)課等)的學(xué)習(xí)奠定了重要的理論基礎(chǔ)，該課程具有邏輯性強(qiáng)、貼近工程、生活實(shí)際問(wèn)題等特點(diǎn)。在《材料力學(xué)》課程的教學(xué)過(guò)程中，既要教授學(xué)生求解具體力學(xué)問(wèn)題的技能，更應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生將工程實(shí)際問(wèn)題提煉成力學(xué)問(wèn)題(即力學(xué)建模)的能力。近些年來(lái)，隨著教學(xué)改革的發(fā)展，《材料力學(xué)》課程的學(xué)時(shí)也大大縮減，加上這本課程都是給大學(xué)二年級(jí)的學(xué)生開(kāi)設(shè)，可以說(shuō)是學(xué)生最早接觸到與工程實(shí)際緊密結(jié)合的專業(yè)基礎(chǔ)課，采用傳統(tǒng)的教學(xué)手段很難向邏輯思維不強(qiáng)的低年級(jí)學(xué)生解釋清楚，這使得該課程的教學(xué)效果大打折扣，也為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)埋下隱患［1］，因此，在有限的時(shí)間內(nèi)，既不增加學(xué)生負(fù)擔(dān)又要把基本概念、基本方法闡釋清楚，保證教學(xué)質(zhì)量，是目前《材料力學(xué)》課程教學(xué)中一個(gè)需要認(rèn)真考慮的問(wèn)題。

《材料力學(xué)》課程從桿件的四種基本形式講起，即軸向拉伸或壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)以及彎曲。對(duì)應(yīng)每一種基本變形，都是按照內(nèi)力計(jì)算→應(yīng)力計(jì)算(強(qiáng)度條件)→變形(剛度條件)思路進(jìn)行理論部分闡述。特別是彎曲變形形式，在一般教材中更是利用2～3章的內(nèi)容進(jìn)行介紹，在整個(gè)材料力學(xué)的分量很大。在多輪教學(xué)實(shí)踐和信息反饋中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)接觸“彎曲內(nèi)力”這一部分時(shí)，就開(kāi)始進(jìn)入“混沌狀態(tài)”，或者說(shuō)開(kāi)始進(jìn)入跟不上的萌芽狀態(tài)。主要反映出來(lái)的問(wèn)題有彎曲內(nèi)力的概念不清楚(特別是彎矩的定義)、剪力和彎矩的計(jì)算困難，剪力和彎矩的關(guān)系不清楚、剪力和彎矩符號(hào)規(guī)定與平衡方程正負(fù)號(hào)混淆等等。

為了解決上述問(wèn)題，在分析多部教材的闡釋方式以及對(duì)教學(xué)信息反饋深入調(diào)研的基礎(chǔ)上，得出其中的原因主要有以下三點(diǎn):1)內(nèi)容抽象性。彎曲內(nèi)力(如圖1所示，一集中力作用下簡(jiǎn)支梁居A端x位置處的內(nèi)力)，尤其是彎矩，不像其他內(nèi)力指標(biāo)(比如剪力的作用線方向和橫截面相切)，其作用的方向難以直觀想象到是與垂直于橫截面內(nèi)力偶矩;2)彎曲內(nèi)力有兩個(gè)指標(biāo)，即剪力和彎矩，并且該指標(biāo)隨著桿件位置的變化而變化，而前幾章的的受力形式均為單一指標(biāo)，且不隨桿件位置的變化而變化;3)學(xué)時(shí)不夠造成知識(shí)點(diǎn)講解不足或闡釋不深入。

圖1 集中力作用下簡(jiǎn)支梁的內(nèi)力分析圖

因此，筆者在總結(jié)多輪教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，提出采用圖解法介紹彎曲內(nèi)力基本概念以及計(jì)算方法。

一、彎曲內(nèi)力基本概念的圖解法教學(xué)設(shè)計(jì)

圖解法是教與學(xué)實(shí)踐中最重要的方法和工具之一，它的應(yīng)用能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化。文中選取彎曲內(nèi)力的基本概念和計(jì)算方法進(jìn)行圖解法分析，以引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確掌握和應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)興趣、拓展思路、啟迪創(chuàng)新思維、提高分析、解決問(wèn)題的能力。

(一)彎曲內(nèi)力的基本概念

為了確定梁的應(yīng)力和變形，應(yīng)首先確定梁在外力作用下任一截面的內(nèi)力。當(dāng)作用在梁上的全部外力(包括支座反力和荷載)均已知時(shí)，可以采用截面法求出其內(nèi)力。針對(duì)彎曲內(nèi)力——剪力和彎矩這兩個(gè)概念，從內(nèi)力角度可以給出如下定義1，剪力FS是構(gòu)件在受彎時(shí)，橫截面上其作用線平行于截面的內(nèi)力，彎矩M是在構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上其作用面垂直于截面的內(nèi)力偶矩［劉］;從外力角度，可以給出如下定義2，剪力FS數(shù)值上等于該截面任何一側(cè)所有外力的代數(shù)和，彎矩M數(shù)值上等于該截面任何一側(cè)所有外力對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和［許］。

(二)彎曲內(nèi)力概念的兩種圖解方法

從定義1和定義2可以看出，彎曲內(nèi)力的概念可以從外力和內(nèi)力兩個(gè)不同角度解釋，材料力學(xué)的內(nèi)力指標(biāo)包括軸力、剪力、扭矩和彎矩。在學(xué)生接觸這章之前，只是了解軸力、剪力、扭矩三種內(nèi)力，所以，想更好地給學(xué)生引入彎曲內(nèi)力，需要以力的平衡方程為基礎(chǔ)，也就是根據(jù)力或力偶的平衡可以列出平衡方程，得出使左端或桿件整體處于平衡狀態(tài)的內(nèi)力。

從外力角度考慮，對(duì)于圖1所示的簡(jiǎn)支梁，為確定居A端x位置處的內(nèi)力，先確定所研究梁段范圍內(nèi)的所有外力和支座反力。如圖2所示，梁左半段為研究對(duì)象，x段上承擔(dān)的外力僅有FRAy，由于梁左半段處于平衡狀態(tài)，則內(nèi)力中必有一個(gè)與橫截面相切的內(nèi)力，即剪力，該定義與剪切變形的定義一致，剪力FS如圖2所示，如果此時(shí)x長(zhǎng)的梁段處于平衡狀態(tài)，則可以認(rèn)為內(nèi)力指標(biāo)中只有剪力，然而進(jìn)一步對(duì)圖2進(jìn)行分析可知，支座反力FRAy和剪力FS組成一個(gè)力偶，會(huì)使x梁段產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的趨勢(shì)，因此，為此達(dá)到梁段所有力和力偶的平衡，必然會(huì)在m－m截面(如圖1所示)存在一個(gè)與之相反的力偶，這里稱為內(nèi)力偶，即彎曲內(nèi)力——彎矩，內(nèi)力計(jì)算時(shí)需要先求出支座反力FRAy和剪力FS組成的力偶矩，然后列力偶矩的平衡方程，即可確定彎矩值。

圖2 外力角度解釋彎矩圖

從內(nèi)力角度考慮，簡(jiǎn)支梁受如圖1所示的集中力，會(huì)引起梁截面的中性層以上處于受壓，習(xí)慣上稱梁截面的中性層以上區(qū)域?yàn)椤笆軌簠^(qū)”，相反，梁截面的中性層以下處于受拉，習(xí)慣上稱梁截面的中性層以上區(qū)域?yàn)椤笆芾瓍^(qū)”，桿件受壓會(huì)收縮，受拉會(huì)伸長(zhǎng)，因此，在梁截面的中性層以上部分會(huì)有軸向壓力作用，其合力設(shè)為FNC，梁截面的中性層以下部分會(huì)有軸向拉力作用，其合力設(shè)為FNT(如圖3所示)，其方向均垂直于橫截面，內(nèi)力FNC和FNT會(huì)組成一對(duì)力偶，產(chǎn)生繞中性層逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的趨勢(shì)，此內(nèi)力偶矩可以用一內(nèi)力偶矩代替，即為彎矩，即定義1。通過(guò)以上分析可知，彎矩可以由內(nèi)力FNC和FNT組成的力偶代替，內(nèi)力FNC和FNT分別是由一簇不等的壓力和拉力簡(jiǎn)化而成的合力，因此可以說(shuō)，彎矩是在構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上其作用面垂直于截面的內(nèi)力偶矩。

圖3 內(nèi)力角度解釋彎矩圖

基于從內(nèi)力角度考慮的分析結(jié)果，從內(nèi)力和外力結(jié)合的角度考慮可知，內(nèi)力FNC和FNT組成的力偶，可以用彎矩M代替，為了使所有外力(包括力偶)在點(diǎn)C處于平衡，令所用外力都對(duì)點(diǎn)C取矩，即彎矩M和有支座反力引起的力偶矩平衡，從而可以確定彎矩M的數(shù)值。

以上利用圖解法，分別從外力、內(nèi)力以及內(nèi)力與外力相結(jié)合的角度，對(duì)彎曲內(nèi)力——剪力和彎矩進(jìn)行分析，可以看出，該方法能夠直觀看出內(nèi)力的作用線或作用面的方向，幫助學(xué)生理解定義1和定義2，并且有助于理解和掌握彎曲內(nèi)力計(jì)算原理和方法。

二、彎曲內(nèi)力計(jì)算的圖解法教學(xué)設(shè)計(jì)

(一)圖解截面法

內(nèi)力計(jì)算的截面法精髓是“截開(kāi)”、“代替”和“平衡”，即進(jìn)行內(nèi)力計(jì)算的三個(gè)步驟，一般情況下，用截面法計(jì)算時(shí)未知力不超過(guò)三個(gè)。利用截面法之前首先要明確內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定，即能夠使微段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的剪力為正，反之為負(fù)。當(dāng)微段的彎曲下凸(即該段的下半部受拉)時(shí)，橫截面m－m上的彎矩為正，反之為負(fù)，對(duì)于圖1所示m－m截面，欲求其內(nèi)力均需給出正方向，如下圖4表示。一般教材中在此，就給出y軸平衡方程，即可求出剪力FS，然后令所有外力對(duì)點(diǎn)C取矩，既可以列出力偶矩的平衡方程，從而確定彎矩M。

圖4 內(nèi)力與外力結(jié)合解釋彎矩圖

(二)彎曲內(nèi)力正負(fù)號(hào)與列平衡方程的關(guān)系

教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生極易把直接寫彎矩方程的符號(hào)規(guī)定與平衡方程里的符號(hào)規(guī)定相混淆。

如圖5所示，列出彎矩的平衡方程為FRAyx+M=0，從表面看好像是一時(shí)疏忽，但課后給學(xué)生輔導(dǎo)時(shí)發(fā)現(xiàn)，他認(rèn)為FRAy使m－m截面產(chǎn)生向下凸的變形，所以取正號(hào)，顯然錯(cuò)在彎矩的符號(hào)規(guī)定與列平衡方程時(shí)力矩的符號(hào)規(guī)定相混淆。這里給出一種避免出錯(cuò)的解釋方法，即“同向同號(hào)法”。

“同向同號(hào)法”是在列彎矩平衡方程時(shí)，根據(jù)所有外力對(duì)截面中心C產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的方向來(lái)確定方程中各個(gè)力偶矩的“+”和“－”，如果產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)相同，方程中的符號(hào)也相同，反之則相反，跟彎矩符號(hào)規(guī)定沒(méi)有任何關(guān)系。結(jié)合圖5進(jìn)行分析，支座反力FRAy繞點(diǎn)C會(huì)產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的趨勢(shì)，而彎矩M的正方向會(huì)繞點(diǎn)C會(huì)產(chǎn)生逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的趨勢(shì)，因此這兩者的符號(hào)必然相反，即 －FRAyx+M=0或者FRAyx－M=0，兩個(gè)方程的計(jì)算結(jié)果均相同。

圖5 截面法求彎曲內(nèi)力

因此，采用“同向同號(hào)法”，不會(huì)出現(xiàn)彎矩方程的符號(hào)規(guī)定與平衡方程里的符號(hào)規(guī)定相混淆的情況，只要保證同向同號(hào)，即可列出正確的平衡方程。

三、結(jié) 論

“彎曲內(nèi)力”是材料力學(xué)教與學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，其學(xué)習(xí)效果的好壞直接影響后續(xù)課程的理解與掌握。文中采用圖解法對(duì)“彎曲內(nèi)力”的基本概念和計(jì)算進(jìn)行解釋分析，可以得出如下結(jié)論:

1)從外力、內(nèi)力以及內(nèi)力與外力相結(jié)合的角度，對(duì)彎曲內(nèi)力——剪力和彎矩進(jìn)行闡釋分析，教學(xué)實(shí)踐表明，該方法能夠直觀看出內(nèi)力的作用線或作用面的方向，幫助學(xué)生理解額彎曲內(nèi)力定義，并且有助于理解和掌握彎曲內(nèi)力計(jì)算原理和方法。

2)提出采用“同向同號(hào)法”，可以幫助學(xué)生不出現(xiàn)或少出現(xiàn)把直接寫彎矩方程的符號(hào)規(guī)定與平衡方程里的符號(hào)規(guī)定相混淆的情況。

3)從教學(xué)效果來(lái)看，采用文中的圖解法教學(xué)，能夠?qū)⒖菰锏睦碚搩?nèi)容轉(zhuǎn)化為直觀的理解，提高了教學(xué)質(zhì)量，為后續(xù)課程奠定了必要基礎(chǔ)。

［1］ 陳莘莘，李慶華．材料力學(xué)中彎曲內(nèi)力的教學(xué)研究［J］．株洲工學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，19(5):127-128．

［2］ 白春海．關(guān)于彎曲內(nèi)力常見(jiàn)錯(cuò)誤的剖析［J］．科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2011，88．

［3］ 錢麗璞．梁彎曲內(nèi)力多媒體演示系統(tǒng)的設(shè)計(jì)［J］．滄州師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2006，22(2):63-64．

［4］ 劉鴻文．材料力學(xué)［M］．高等教育出版社，2011．

［5］ 許本安，李秀治．材料力學(xué)［M］．上海交通大學(xué)出版社，1988．