基于各向異性分形幾何理論的摩擦非線性數(shù)學(xué)模型

田紅亮，趙春華，方子帆，朱大林，秦紅玲，劉芙蓉，鐘先友

將式(21)、(42)、(29)代入式(45)得:

摩擦是研究相互作用表面及其有關(guān)理論與實(shí)踐的科學(xué)，涉及物理、化學(xué)及材料等學(xué)科，摩擦的應(yīng)用覆蓋機(jī)械、材料、化工、石油及冶金等領(lǐng)域。我國(guó)的空間固體潤(rùn)滑材料、微機(jī)械制造摩擦學(xué)、納米顆粒潤(rùn)滑材料與技術(shù)等成果已應(yīng)用于我國(guó)空間技術(shù)領(lǐng)域，解決了航天、航空和船舶等領(lǐng)域多項(xiàng)潤(rùn)滑技術(shù)難題。摩擦是一種復(fù)雜的、非線性的、具有不確定性的自然現(xiàn)象，人類目前對(duì)于摩擦的物理過程的了解還只停留在定性認(rèn)識(shí)階段，無法通過數(shù)學(xué)方法對(duì)摩擦過程給出精確描述［1－2］，所以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)靜摩擦特性會(huì)變得困難。傳統(tǒng)的Coulomb摩擦第1定律認(rèn)為:摩擦力與接觸面所承受的法向載荷成正比例，靜摩擦系數(shù)與法向載荷無關(guān)，也不決定于接觸面所承受的切向載荷，只隨接觸材料的變化而不同。但隨著近代摩擦學(xué)的發(fā)展，發(fā)現(xiàn)①Coulomb摩擦第1定律中摩擦力與法向載荷不成正比例，而呈現(xiàn)出非線性關(guān)系，這是因?yàn)榉ㄏ蜉d荷對(duì)摩擦系數(shù)的影響與材料之間的真實(shí)接觸面積有關(guān)，根據(jù)粘著理論，只有當(dāng)材料之間真實(shí)接觸面積與法向載荷成正比時(shí)，材料摩擦系數(shù)才與法向載荷無關(guān)，這種情況只發(fā)生在微突起主要成塑性變形或微突起成彈性變形，而其高度成指數(shù)分布的狀態(tài)，在一般狀態(tài)下，微突起處于彈塑性變形狀態(tài)，故摩擦系數(shù)將與法向載荷有關(guān)［3］;②靜摩擦系數(shù)對(duì)于同種材料不變的結(jié)論不能很好地反映工程實(shí)踐;③在一定條件下，靜摩擦系數(shù)隨著法向載荷的變大而變大。

自1508年達(dá)芬奇開始把摩擦學(xué)引入理論研究的途徑以來，諸多學(xué)者一直開展摩擦特性的工作。Chang等［4］依照經(jīng)典的Greenwood-Williamson綜合彈性接觸理論［5］，涉及粘著力的作用，架構(gòu)金屬粗糙表面間的靜摩擦系數(shù)計(jì)算模型。尤晉閩等［6］綜合探究微突起的完全彈性、彈－塑性及完全塑性等不同變形機(jī)制，構(gòu)建干摩擦的靜摩擦系數(shù)的統(tǒng)計(jì)計(jì)算模型，該模型考慮完全彈性區(qū)、彈－塑性Ⅰ區(qū)的接觸點(diǎn)承擔(dān)切向載荷的水平，得到“靜摩擦系數(shù)隨著法向載荷的增大而減小”的結(jié)論，支持古典摩擦結(jié)論［7－9］。表面粗糙度對(duì)摩擦系數(shù)有較大影響［10］，盛選禹等［11］沿襲 Majumdar-Bhushan 彈塑性接觸分形模型［12］，綜合考慮分形維數(shù)D、分形粗糙度G、材料性能參數(shù)φ、相關(guān)因子K的作用，預(yù)測(cè)靜摩擦系數(shù)的變化規(guī)律。但文獻(xiàn)［12］在推導(dǎo)微突起曲率半徑R時(shí)存在1個(gè)計(jì)算原理性瑕疵［13］。另外，文獻(xiàn)［11］在計(jì)算方法上具有一些不足之處:①法向總載荷、總摩擦力皆應(yīng)該是有條件等式［14］，這是因?yàn)榻佑|面在法向載荷作用下，處于塑性變形的微突起由于受到局部接觸載荷作用而發(fā)生塑性流動(dòng)，將不能繼續(xù)承受切向載荷，因此在計(jì)算靜摩擦力時(shí)只包含完全彈性區(qū)的微突起;②按文獻(xiàn)［12］的計(jì)算方法，引起一些公式錯(cuò)誤;③給出“f隨φ的增加而降低”的觀點(diǎn)與實(shí)際相反;④靜摩擦系數(shù)的數(shù)字仿真數(shù)據(jù)在0.001～1 000之間，與工程實(shí)際表面靜摩擦系數(shù)的分布區(qū)間0～1相隔較遠(yuǎn);⑤假定粗糙表面的微觀形貌各向同性。

鑒于以上原因，本文應(yīng)用各向異性分形幾何理論，探索金屬接觸面最大靜摩擦力的來源機(jī)理，構(gòu)建法向載荷、最大靜摩擦力、靜摩擦系數(shù)的非線性數(shù)學(xué)模型，使用數(shù)值模擬，預(yù)測(cè)摩擦特性，本文分析結(jié)果與經(jīng)典摩擦學(xué)論點(diǎn)有偏離，探討導(dǎo)致這些偏離的原因。

1 各向異性分形幾何理論

配對(duì)摩擦副實(shí)質(zhì)上是由兩個(gè)粗糙表面組成的，在微觀狀態(tài)下可以形象化地把兩個(gè)粗糙表面的接觸看作是一系列微突起的接觸，當(dāng)表面受到擠壓，微突起將發(fā)生彈性或者塑性變形。

1.1 彈性接觸時(shí)一個(gè)微突起的實(shí)際微接觸面積

由于粗糙表面輪廓對(duì)工程研究可認(rèn)為是連續(xù)的，而且隨著放大倍數(shù)的增加，在任何一點(diǎn)上都會(huì)呈現(xiàn)出更多的具有統(tǒng)計(jì)自相似自仿射性的粗糙度細(xì)節(jié)。Ausloos-Berman函數(shù)能模擬一個(gè)各向異性分形表面輪廓的幾何形貌，該函數(shù)［15］為:

表面輪廓的高度能用式(1)的實(shí)部導(dǎo)出:

將式(1)中的一些注釋代入式(2)得:

式中nmax為與測(cè)量長(zhǎng)度Ls相關(guān)的指數(shù)，且:

這里fix為向零方向取整。

若 M =10、γ =1.5、L=0.4 μm、G=1.36 ×10－5μm時(shí)，式(3)仿真不同分形維數(shù)的各向異性表面輪廓高度見圖1。從圖1中可以看出，在x→0，y→0附近，表面輪廓高度急劇降低，故式(3)可仿真在微觀上有缺陷的接觸面，即向材料內(nèi)凹陷的裂紋、點(diǎn)蝕坑，例如灰鑄鐵的組織結(jié)構(gòu)就如同在鋼的基體上嵌入大量石墨片，石墨的存在相當(dāng)于在基體上分布大量孔洞，特別是片狀石墨的尖角引起應(yīng)力集中;當(dāng)x→0，y→0時(shí)，表面輪廓高度很低，幾乎趨于零，事實(shí)上，按照式(3)易得二元函數(shù)的極限

若M=1，則m=1時(shí)，式(3)退變?yōu)?

有趣的是，式(5)與y無關(guān)。

設(shè)橫截微接觸點(diǎn)的半徑為r'，微突起波形式的最長(zhǎng)波長(zhǎng)為2r'，取Ls=2r'。按式(4)可得基波長(zhǎng)微突起對(duì)應(yīng)的頻率指數(shù)滿足:

上式在式(5)中對(duì)應(yīng)的一項(xiàng)為:

選擇合適的兩自變量φ1，n0，x使z0(x)最大。如將φ1，n0=0，x=r'代入式(7)，可得微突起變形量為:

當(dāng)表面受到擠壓時(shí)，一個(gè)球體狀微突起將發(fā)生彈性變形見圖2，其中Pe為一個(gè)微突起承擔(dān)的法向彈性載荷;R為一個(gè)微突起頂端的曲率半徑;r為彈性接觸時(shí)一個(gè)微突起實(shí)際微接觸面積的半徑;E'為兩接觸物體的綜合彈性模量。

圖1 不同分形維數(shù)的表面輪廓高度Fig.1 Surface profile height with different fractal dimensions

圖2 球體狀微突起與剛性光滑平面的彈性接觸Fig.2 Elastic contact of spherical asperity and rigid smooth surface

對(duì)圖2的直角三角形ocd使用勾股定理得:

化簡(jiǎn)上式得:

將式(8)代入式(11)得:

進(jìn)一步可寫為:

這里a'為一個(gè)微突起的橫截微接觸面積，a'=πr'2。

彈性接觸時(shí)一個(gè)微突起實(shí)際微接觸面積的半徑［19］為:

式中:E1、E2分別為兩個(gè)接觸物體的彈性模量;μ1、μ2分別為兩個(gè)接觸物體的泊松比。

值得指出的是，式(15)與文獻(xiàn)［19］的式(2－13)不同。

一個(gè)微突起承擔(dān)的法向彈性載荷［4］為:

將式(16)代入式(14)得:

將式(11)代入式(17)得:

將式(18)代入式(14)得:

接著式(19)可變形為:

將式(13)代入式(20)得:

由式(13)的注釋、式(18)可得彈性接觸時(shí)一個(gè)微突起的實(shí)際微接觸面積為:

1.2 完全塑性接觸時(shí)一個(gè)微突起的實(shí)際微接觸面積

一個(gè)微突起承擔(dān)的法向塑性載荷［12］為:

式中:K為相關(guān)因子;σy為較軟材料的屈服強(qiáng)度。

一個(gè)塑性變形微突起的實(shí)際微接觸面積［4］為:

這里δc為一個(gè)微突起的臨界變形量。

當(dāng)2δ?δc時(shí)，完全塑性接觸時(shí)一個(gè)微突起的實(shí)際微接觸面積為:

運(yùn)用式(13)的注釋、式(18)得:

將式(17)代入式(26)得:

使用式(25)暨(27)，可得完全塑性接觸時(shí)一個(gè)微突起的實(shí)際微接觸面積為:

將式(28)代入式(23)得:

1.3 接觸面承擔(dān)的法向總載荷

一個(gè)微突起的臨界變形量［4］為:

這里b為待求解的無量綱正常數(shù)。

將式(13)代入式(30)得:

式(8)可改寫為:

式(32)除以式(31)得:

當(dāng)δ=δc時(shí)，可得惟一解a'，即為劃分彈塑性區(qū)域的臨界微接觸截面積:

將式(34)代入式(33)得:

由于 1≤D≤2，則 a'≥a'c時(shí)，可得 δ≤δc，接觸微突起發(fā)生彈性變形;而則a'＜a'c時(shí)，可得δ＞δc，接觸微突起發(fā)生塑性變形。

考慮式(21)與(29)，劃分彈塑性區(qū)域的臨界微接觸截面積a'c匹配的一個(gè)微突起承擔(dān)的法向彈性載荷、法向塑性載荷分別為:

兩接觸粗糙表面在逐漸變大的法向總載荷作用下，并列分布的一系列微突起承擔(dān)法向載荷。如果一個(gè)微突起承擔(dān)的法向載荷函數(shù)在點(diǎn)劃分彈塑性區(qū)域的臨界微接觸截面積ac'連續(xù)，即 Pe(ac')=Pp(ac')，或:

將式(34)代入式(39)得:

需要說明的是式(40)不同于文獻(xiàn)［15］。

將式(40)代入式(34)得:

微突起微接觸截面積的大小分布函數(shù)［20］為:n(a')=0.5Dψ1－0.5Da'L0.5Da'－1－0.5D，0 ＜ a'≤ a'L(42)這里ψ為域擴(kuò)展因子。

整個(gè)接觸面的實(shí)際接觸面積為:

需要強(qiáng)調(diào)式(43)異于文獻(xiàn)［15］的式(8)。

將式(22)、(42)代入式(43)得:

整個(gè)接觸面承受的法向總載荷為:

將式(21)、(42)、(29)代入式(45)得:

值得指出式(46)異于文獻(xiàn)［15］的式(13)、(16)。

仿照式(22)得:

將式(47)代入式(44)得:

將式(47)、(48)代入式(46)得:

這里Arc為實(shí)際臨界接觸面積，且:

依靠式(49)得:

式中:Aa為整個(gè)接觸面的宏觀接觸面積為整個(gè)接觸面的接觸率。

將式(52)代入式(50)得:

2 接觸面的最大靜摩擦力與靜摩擦系數(shù)

對(duì)整個(gè)接觸面承受法向載荷和切向力，應(yīng)力場(chǎng)目前還沒有完整的解析解?，F(xiàn)有的有關(guān)文獻(xiàn)都根據(jù)一定的假設(shè)進(jìn)行了簡(jiǎn)化。田紅亮等［21］指出，如果兩個(gè)力T(一個(gè)微突起承擔(dān)的切向力)、Pe(一個(gè)微突起承擔(dān)的法向彈性載荷)的比例小于0.3，屈服將發(fā)生在表層以下，如果比例大于0.3，屈服將發(fā)生在接觸點(diǎn)的邊緣。為使應(yīng)力表達(dá)式簡(jiǎn)化，假設(shè)屈服將發(fā)生在接觸點(diǎn)的邊緣。此時(shí)接觸點(diǎn)邊緣的接觸面三個(gè)主應(yīng)力分別為:

這里μ為較軟材料的泊松比。

需要說明式(57)不同于文獻(xiàn)［6］的式(2)。

解釋屈服失效的第3強(qiáng)度理論［22］為:

將式(57)、(59)代入式(60)中，有:

將式(22)代入式(61)得:

假設(shè)已經(jīng)發(fā)生塑性變形的微突起，由于局部的接觸載荷已經(jīng)使其發(fā)生塑性流動(dòng)，將不能繼續(xù)承受切向載荷，因此在計(jì)算最大靜摩擦力時(shí)不包括已經(jīng)發(fā)生塑性變形的微突起。沒有達(dá)到彈性極限的微突起能夠繼續(xù)承受切向載荷，對(duì)最大靜摩擦力有貢獻(xiàn)。當(dāng)切向力逐漸增大時(shí)，只有彈性變形的微突起最終將達(dá)到屈服，此時(shí)的切向力就是最大靜摩擦力。所以最大靜摩擦力為:

將式(42)、(21)代入式(63)中，有:

需要說明式(67)不同于文獻(xiàn)［15］的式(25)。

下面將對(duì)本文所提出的理論公式進(jìn)行數(shù)字仿真。在接下來的仿真研究中，先假設(shè)某個(gè)分形參數(shù)確定，然后讓另外一個(gè)或二個(gè)分形參數(shù)變化，研究靜摩擦非線性特征的變化規(guī)律，但分形參數(shù)他們之間不是相互獨(dú)立的，各參數(shù)需滿足不等式獻(xiàn)［12］，近似選擇接觸率的上限為0.1，即0.1≥A*r，故適合不等式劃分分形維數(shù)D、域擴(kuò)展因子ψ、相關(guān)因子K、材料性能參數(shù)φ、表面輪廓頻譜密度相關(guān)的參數(shù)γ、無量綱分形粗糙度G*有效范圍的依據(jù)，且0.5≤K≤3。因此后續(xù)的6個(gè)仿真參數(shù) D、ψ、K、φ、γ、G*的選擇絕不是簡(jiǎn)單意義上的純數(shù)學(xué)游戲，否則不考慮不等式，就會(huì)出現(xiàn)文獻(xiàn)［23］中的3個(gè)弊端(圖3、4、6的縱坐標(biāo)接觸率A*r在0刻度以下都有坐標(biāo))。

3 法向總載荷對(duì)實(shí)際接觸面積的影響

在理論上如何精確計(jì)算整個(gè)接觸面的接觸率A*

r，是傳統(tǒng)摩擦學(xué)的一個(gè)懸而未決難點(diǎn)。依據(jù)式(53)，整個(gè)接觸面承受的無量綱法向總載荷P*是整個(gè)接觸面的接觸率A*r的顯函數(shù)。在機(jī)械工程實(shí)際的螺栓結(jié)合部中，啞鈴狀測(cè)試試件具有三種接觸面:①零件1、零件2間的平面接觸面;②螺栓與零件2的螺紋接觸面;③螺栓頭與零件1階梯光孔的平面接觸面。其中后兩種接觸面與螺栓的共同作用是將數(shù)顯扳手控制的擰緊力矩轉(zhuǎn)化為作用在整個(gè)接觸面上的法向總載荷。所以按照式(53)、給定工程預(yù)緊力［24］P*，可間接計(jì)算接觸率

若 K =0.5、φ = 0.01、γ =1.5 時(shí)，選擇不同分形維數(shù)D及無量綱分形粗糙度G*，因變量P*對(duì)自變量的影響見圖3。

圖3 接觸率隨無量綱法向總載荷的變化規(guī)律Fig.3 Varying law of contact ratio with dimensionless normal total load

4 靜摩擦非線性特征的預(yù)測(cè)

4.1 分形維數(shù)D對(duì)靜摩擦的影響

若 K=2.8、φ =1、G*=10－10、μ =0.3、γ =1.5 時(shí)，分形維數(shù)D對(duì)靜摩擦特征的影響見圖4。

圖4 分形維數(shù)對(duì)靜摩擦特征的影響Fig.4 Effect of fractal dimension to static friction features

4.2 無量綱分形粗糙度G*對(duì)靜摩擦的影響

若 K=2.8、φ =1、μ =0.3、γ =1.5 時(shí)，無量綱分形粗糙度G*對(duì)靜摩擦特征的影響見圖5。

4.3 材料性能參數(shù)φ對(duì)靜摩擦的影響

若 K=2.8、D=1.7、G*=10－10、μ =0.3、γ =1.5時(shí)，材料性能參數(shù)φ對(duì)靜摩擦特征的影響見圖6，其中圖6(a)不同于文獻(xiàn)［15］的圖4(3條曲線沿順時(shí)針方向分別對(duì)應(yīng) φ =0.01、φ =1、φ =0.1，φ =0.01 代表的曲線幾乎與y軸重合)。

圖5 無量綱分形粗糙度對(duì)靜摩擦特征的影響Fig.5 Influence of dimensionless fractal roughness to static friction performances

圖6 材料性能參數(shù)對(duì)靜摩擦特征的影響Fig.6 Impact of material property parameter to static friction traits

通過數(shù)值模擬的計(jì)算結(jié)果可以看出:

(1)依據(jù)圖3，接觸率隨著無量綱法向總載荷的增大而增大，且表面越平整(即分形維數(shù)越大、無量綱分形粗糙度越小)接觸率增大的相對(duì)比例越大。

(2)由圖4(a)～4(b)、圖5(a)～5(d)、圖6(a)可知，靜摩擦系數(shù)隨著無量綱法向總載荷的增大而微向上凸弧式增大，并無限接近于1，這是由于隨著法向總載荷增大，潤(rùn)滑油的擠壓損失隨之加大，摩擦副表面油膜變薄，進(jìn)入混合潤(rùn)滑狀態(tài)，摩擦表面接觸微突起增多，法向總載荷一部分由油膜承擔(dān)，一部分由接觸微突起承擔(dān)，其摩擦學(xué)特征由潤(rùn)滑油的流變學(xué)和接觸微突起的彈塑性變形共同決定，本文論斷與文獻(xiàn)［4］中結(jié)論“靜摩擦系數(shù)隨著無量綱法向總載荷的增大而微向上凹弧式減小”、文獻(xiàn)［6］的論斷“靜摩擦系數(shù)隨著無量綱法向總載荷的增大而微向上凸弧式減小”恰恰相反，與文獻(xiàn)［25］中有關(guān)結(jié)果“靜摩擦系數(shù)隨著無量綱法向總載荷的增大而微向上凹弧式增大”稍有不同，這是因?yàn)槲墨I(xiàn)［25］在無量綱法向總載荷表示的橫坐標(biāo)中采用常用對(duì)數(shù)刻度，而本文在無量綱法向總載荷表示的橫坐標(biāo)中使用絕對(duì)刻度。

(3)當(dāng)φ=1時(shí)，由圖4(a)分析可知，在1.1≤D≤1.4范圍內(nèi)，靜摩擦系數(shù)隨著分形維數(shù)的增大而增大;從圖4(a)～4(b)可以看出，在1.4≤D≤1.99范圍內(nèi)，靜摩擦系數(shù)隨著分形維數(shù)的增大而下降，故分形維數(shù)存在某個(gè)最優(yōu)數(shù)，該數(shù)讓靜摩擦系數(shù)取得極大值。

(4)傳統(tǒng)摩擦學(xué)觀點(diǎn)認(rèn)同，降低表面粗糙度，可以改善摩擦性能——降低靜摩擦系數(shù)。但按照?qǐng)D5(a)～5(d)分析可知，靜摩擦系數(shù)隨著無量綱分形粗糙度的減小而微向上凸弧式增加，當(dāng)表面粗糙度降低到一定程度，達(dá)到超光潔狀態(tài)時(shí)，摩擦副的摩擦性能反而下降。

(5)通過圖6(a)分析可知，靜摩擦系數(shù)f隨φ的增加而微向上凸弧式增加，這和文獻(xiàn)［11］的言論“f隨φ的增加而降低”差異很大。

(6)理想的Coulomb干摩擦模型認(rèn)定，靜摩擦系數(shù)與法向總載荷無關(guān)，法向總載荷越大，最大靜摩擦力會(huì)變大。從圖4(c)～4(d)、圖5(e)～5(h)、圖6(b)可知，法向總載荷和最大靜摩擦力近似呈現(xiàn)出線性正比例的關(guān)系，驗(yàn)證經(jīng)典摩擦學(xué)論點(diǎn)。

5 結(jié)論

(1)基于各向異性分形幾何理論，提出一種摩擦非線性數(shù)學(xué)模型，研究表明該模型可以用于進(jìn)行摩擦非線性特征的預(yù)測(cè)。

(2)靜摩擦系數(shù)不像理想的Coulomb干摩擦模型描述那樣為恒定值，它由兩接觸材料的分形維數(shù)D、分形粗糙度G、域擴(kuò)展因子ψ、相關(guān)因子K、材料性能參數(shù)φ、表面輪廓頻譜密度相關(guān)的參數(shù)γ與法向總載荷P一起決定。

(3)靜摩擦系數(shù)隨著法向總載荷、材料性能參數(shù)的增大而微向上凸弧式增大，但隨著分形粗糙度的減小而微向上凸弧式增加。

(4)當(dāng)分形維數(shù)較小時(shí)，靜摩擦系數(shù)隨著分形維數(shù)的增大而增大;當(dāng)分形維數(shù)較大時(shí)，靜摩擦系數(shù)隨著分形維數(shù)的增大而變小。

(5)在絕對(duì)刻度坐標(biāo)系下，法向總載荷和最大靜摩擦力近似呈現(xiàn)出線性正比例的關(guān)系。

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