磁懸浮軸承H∞魯棒控制策略研究

龍亞文，謝振宇，徐 欣

主動(dòng)磁懸浮軸承是利用可控電磁力將轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮的一種新型支撐裝置，與傳統(tǒng)軸承相比，具有無接觸、無磨損、無需潤滑、精度高和剛度阻尼可調(diào)等優(yōu)點(diǎn)?？蓮V泛應(yīng)用于航空航天、交通、能源、超高速精密加工和機(jī)器人等領(lǐng)域［1］。

磁懸浮軸承的控制策略對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)靜態(tài)性能有重要影響。對(duì)此，國內(nèi)外許多學(xué)者從不同方面進(jìn)行了研究。童水光等［2］利用電磁阻尼器來抑制轉(zhuǎn)子的振動(dòng);謝振宇等［3］利用金屬橡膠環(huán)—磁懸浮軸承組合支撐來提高系統(tǒng)阻尼，達(dá)到吸振的目的;張德魁等［4］采用LMS(Least Mean Square)控制算法對(duì)磁懸浮磨床電主軸系統(tǒng)的同步振動(dòng)進(jìn)行抑制，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明此控制策略能明顯提高系統(tǒng)性能;段廣仁等［5－6］在磁懸浮飛輪儲(chǔ)能系統(tǒng)中采用魯棒動(dòng)態(tài)補(bǔ)償控制，其設(shè)計(jì)的一階參數(shù)化動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器能明顯抑制系統(tǒng)擾動(dòng)，并使控制代價(jià)最小，減少系統(tǒng)能量損耗;Beals等［7］提出一種自適應(yīng)力平衡(AFB)補(bǔ)償控制策略，解決磁懸浮軸承中周期性振動(dòng)問題;Tamisier等［8］提出一種前饋力補(bǔ)償控制策略，根據(jù)不同轉(zhuǎn)速計(jì)算不平衡補(bǔ)償量，得到補(bǔ)償信號(hào);Kai等［9］提出一種自適應(yīng)自動(dòng)對(duì)心控制策略，能在線實(shí)時(shí)補(bǔ)償系統(tǒng)的不平衡。

根據(jù)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)知識(shí)，柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在越過各階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，轉(zhuǎn)子振幅較大，容易與軸承碰撞;而當(dāng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速遠(yuǎn)離各階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，轉(zhuǎn)子振幅相對(duì)較低。為了有效抑制轉(zhuǎn)子在各階臨界轉(zhuǎn)速附近運(yùn)行時(shí)的振動(dòng)，同時(shí)不增加控制策略的復(fù)雜性，本文提出根據(jù)轉(zhuǎn)子在固有頻率處的振幅選擇加權(quán)函數(shù)的方法，在磁懸浮軸承柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗(yàn)臺(tái)上，通過理論計(jì)算得到系統(tǒng)的不確定性和固有頻率處的不平衡響應(yīng)，通過仿真分析和高速旋轉(zhuǎn)試驗(yàn)研究了混合靈敏度H∞控制策略對(duì)柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響，并與PID控制策略進(jìn)行了對(duì)比。

1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

1.1 系統(tǒng)工作原理

磁懸浮系統(tǒng)部分包括:傳感器、控制器、功率放大器、電磁鐵和轉(zhuǎn)子。磁懸浮系統(tǒng)工作原理為:轉(zhuǎn)子平衡參考位置假設(shè)為 x0(本實(shí)驗(yàn)臺(tái)平衡氣隙 x0=0.25 mm)，傳感器檢測(cè)位置信號(hào)為x，將兩個(gè)信號(hào)差值輸入控制器，根據(jù)控制策略進(jìn)行運(yùn)算，輸出控制電壓信號(hào)到功率放大器，最后輸出差動(dòng)電流控制電磁鐵上、下線圈的電磁力，將轉(zhuǎn)子拉回至平衡位置x0處。

1.2 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

圖1為系統(tǒng)轉(zhuǎn)子受力示意圖，參數(shù)含義見表1。

圖1 轉(zhuǎn)子受力示意圖Fig.1 the rotor force diagram

表1 主要機(jī)械尺寸表Tab.1 Diagram of main mechanical size

轉(zhuǎn)子質(zhì)心處徑向各自由度的運(yùn)動(dòng)方程可表示為:

其中:fx，fy分別為 x，y 正方向的干擾力，Jx，Jy，Jz分別為轉(zhuǎn)子繞x，y，z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣。質(zhì)心處位移為:

轉(zhuǎn)子在xz、yz平面內(nèi)的轉(zhuǎn)角為:

轉(zhuǎn)子在軸承支撐平衡位置處的線性化電磁力為:

其中:Krs=－3.2×105N/m，Kri=32 N/A分別為徑向位移剛度系數(shù)和徑向電流剛度系數(shù)。

取狀態(tài)向量X1=［xa，xb，ya，yb，

取控制向量 U1= ［ixa，ixb，iya，iyb］T

取輸出向量 Y1= ［xa，xb，ya，yb］T

將式(2)、(3)、(4)代入式(1)中且令外干擾fx=fy=0，可得徑向自由度的數(shù)學(xué)模型如式(5)所示。

其中:參數(shù)矩陣 a21，a22，b21，D1 分別為:

轉(zhuǎn)子質(zhì)心處軸向運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為:

軸向電磁合力

其中:Kzs= －1.2×105N/m 和 Kzi=12.13 N/A 分 別為軸向位移剛度系數(shù)和軸向電流剛度系數(shù)。

取控制變量 U2=iz

取輸出變量 Y2=zc

令外干擾fz=0，則軸向自由度的數(shù)學(xué)模型可表示為:

其中D2=0

綜合上述徑向和軸向數(shù)學(xué)模型，忽略上述參數(shù)矩陣中非對(duì)角元項(xiàng)(即忽略慣性耦合和陀螺耦合項(xiàng))，得各自由度被控對(duì)象標(biāo)稱傳遞函數(shù)分別為:第1、2自由度

第3、4自由度

第5自由度

當(dāng)系統(tǒng)近似為線性系統(tǒng)時(shí)，轉(zhuǎn)子各個(gè)自由度的振動(dòng)相似，故可通過分析其中某個(gè)自由度的振動(dòng)獲得轉(zhuǎn)子的整體振動(dòng)情況［3］。本文主要以徑向第1自由度為例進(jìn)行分析，其余自由度類似。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 混合靈敏度H∞控制

以徑向第1自由度為例，圖2是該自由度的控制原理框圖。

圖2 控制系統(tǒng)原理框圖Fig 2 principle of control system

圖中r為參考輸入，e為跟蹤誤差，u為控制輸出，d為干擾輸入，y為系統(tǒng)輸出，k(s)為控制器，G0(s)為受控對(duì)象，則靈敏度函數(shù)S(s)，補(bǔ)靈敏度函數(shù)T(s)和函數(shù)R(s)定義分別為:

S(s)是系統(tǒng)干擾d到輸出y的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣，其增益表示閉環(huán)系統(tǒng)對(duì)低頻干擾的抑制能力。

T(s)是參考輸入r到y(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣，其增益表示對(duì)系統(tǒng)的高頻乘性攝動(dòng)或高頻未建模動(dòng)態(tài)抑制能力和對(duì)參考輸入的復(fù)現(xiàn)能力，同時(shí)整個(gè)頻段內(nèi)滿足S(s)+T(s)=I。

R(s)是參考輸入r到控制輸出u的傳遞函數(shù)矩陣，其增益表示對(duì)控制輸出的抑制。

一般系統(tǒng)標(biāo)稱模型G0(s)不可能完全描述實(shí)際受控對(duì)象，即G0(s)存在不確定性ΔG(s)，實(shí)際模G(s)∈(G0(s)+ΔG(s)| ΔG(s ) ＜ ε)是一個(gè)有界的攝動(dòng)范圍區(qū)間。由魯棒穩(wěn)定性理論可知，如果控制器k(s)使標(biāo)稱系統(tǒng)G0(s)閉環(huán)穩(wěn)定，則對(duì)于任意攝動(dòng)ΔG(s)，系統(tǒng)仍閉環(huán)穩(wěn)定的充分條件是:

成立。如果有 ΔG(s )≤W3(s)成立，則式(12)等價(jià)于

W3(s)稱為補(bǔ)靈敏度函數(shù)的加權(quán)函數(shù)。

對(duì)于外界干擾d，考慮其頻譜特性，合理選擇加權(quán)函數(shù) W1(s)，使得 S(s)W1(s) ＜ 1成立，就能對(duì)閉環(huán)傳遞函數(shù)頻域進(jìn)行整形，從而抑制干擾d對(duì)系統(tǒng)輸出的影響。

2.2 加權(quán)函數(shù)選擇

混合靈敏度設(shè)計(jì)中加權(quán)函數(shù)選擇是關(guān)鍵，合適的加權(quán)函數(shù)可以使系統(tǒng)獲得良好的低頻與高頻性能。在系統(tǒng)高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，柔性轉(zhuǎn)子較剛性轉(zhuǎn)子而言會(huì)出現(xiàn)更多的固有模態(tài)振動(dòng)，對(duì)柔性轉(zhuǎn)子固有模態(tài)的識(shí)別有助于更好地進(jìn)行振動(dòng)控制。

本文采用力錘作為激振源，加速度傳感器測(cè)量轉(zhuǎn)子振動(dòng)，并輸入HP35670進(jìn)行頻譜分析，得到系統(tǒng)的前三階固有頻率如表2所示。

表2 系統(tǒng)的固有頻率Tab.2 The natural frequency of system

由表2可知，本系統(tǒng)轉(zhuǎn)子在15 000 r/min(250 Hz)轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，會(huì)出現(xiàn)前二階臨界轉(zhuǎn)速。為了保證系統(tǒng)安全穩(wěn)定運(yùn)行，本文根據(jù)轉(zhuǎn)子在固有頻率處的振幅選擇加權(quán)函數(shù)，利用加權(quán)函數(shù)具有濾波器的作用，來減小系統(tǒng)不確定性的影響和抑制轉(zhuǎn)子的振動(dòng)。

由第1節(jié)計(jì)算得到的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，其不確定性包括由電磁力線性化引起的參數(shù)不確定性和由各自由度之間的陀螺與慣性耦合引起的動(dòng)態(tài)不確定性。其中參數(shù)不確定性主要考慮轉(zhuǎn)子起浮時(shí)，位移剛度Ks和電流剛度Ki不確定性。

單自由度電磁力公式:

其中:K=0.25μ0N2A。將上式在平衡位置(X0，I0)附近進(jìn)行前四階泰勒展開，忽略高階小項(xiàng)得:

轉(zhuǎn)子在剛起浮時(shí)非線性攝動(dòng)最大，此時(shí)x=0.25 mm，i≈0.5A，以第1自由度為例，得到由參數(shù)攝動(dòng)引起的乘性不確定性為Δ1(s):

其中:Δ1(s)的奇異值特性曲線如圖3所示。

轉(zhuǎn)子慣性耦合描述同一平面內(nèi)自由度間力或力矩耦合，陀螺耦合描述相互自由度之間的力或力矩耦合。由第1節(jié)的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，當(dāng)保留參數(shù)矩陣a21、b21非對(duì)角元，而忽略a22的非對(duì)角元素時(shí)，即系統(tǒng)只考慮考慮慣性耦合，不考慮陀螺耦合。此時(shí)徑向第1自由度由慣性耦合引起的乘性不確定性為Δ2(s):

當(dāng)保留參數(shù)矩陣a22的非對(duì)角元，而忽略a21、b21非對(duì)角元時(shí)，即系統(tǒng)只考慮考慮陀螺耦合，不考慮慣性耦合。此時(shí)徑向第1自由度由陀螺耦合引起的乘性不確定性為Δ3(s):

其中:Δ2(s)、Δ3(s)的奇異值見圖3。根據(jù)加權(quán)函數(shù)的選擇原則［10］，補(bǔ)靈敏度函數(shù)T(s)的加權(quán)函數(shù)W3(s)的奇異值曲線一般應(yīng)在 Δ1(s)、Δ2(s)、Δ3(s)的上方，這樣可以避免所求的控制器溢出。同時(shí)W3(s)應(yīng)具有高通特性，但對(duì)低頻特性沒有特別要求。

圖3 不確定性奇異值曲線Fig 3 Singular value curves of uncertainty

轉(zhuǎn)子的主要干擾為轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心引起的同頻離心力干擾，其表達(dá)式為 Fd=mεω2cosωt，其中質(zhì)量 m=7.533 2 kg，轉(zhuǎn)子偏心ε=0.01 mm。由干擾引起的轉(zhuǎn)子位移幅值為:

其中:Ks為位移剛度系數(shù)，以徑向第1自由度為例，可計(jì)算得到固有頻率f1=61.2 Hz和f2=221 Hz對(duì)應(yīng)的同頻干擾幅值分別為:

其余各自由度類似。在上述干擾下，為保證轉(zhuǎn)子繞中心軸振動(dòng)幅值xm不超過氣隙長(zhǎng)度(徑向氣隙為0.25 mm)的十分之一，即xm≤25μm，則期望靈敏度函數(shù)S(s)在 ω1=2πf1=384.5 rad/s最大幅值為:

在 ω2=2πf2=1 388.6 rad/s最大幅值為:

根據(jù)加權(quán)函數(shù)的選擇原則，加權(quán)函數(shù)W1(s)的倒數(shù)在 ω1處應(yīng)小于 S(jω1)、在 ω2處應(yīng)小于 S(jω2)。同時(shí)W1(s)具有低通特性，其截止頻率應(yīng)小于W3(s)的截止頻率，即高通與低通頻帶不重疊。

R(s)的加權(quán)函數(shù)為W2(s)，一般取比較小的常數(shù)，這樣可以獲得較大的系統(tǒng)帶寬同時(shí)避免增加控制器的維數(shù)。綜上，選取徑向第1自由度加權(quán)函數(shù)選為:

加權(quán)函數(shù)W3(s)和W1(s)的奇異值如圖4所示，其滿足上述加權(quán)函數(shù)的選擇原則。

圖4 加權(quán)函數(shù)奇異值Fig.4 Singular value of weighting function

2.3 控制器實(shí)現(xiàn)

由前述系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，徑向第1自由度控制器傳遞函數(shù)可表示為:

其余各自由度類似。由2.2節(jié)得到的徑向第1自由度加權(quán)函數(shù)，利用matlab工具箱中Augtf()函數(shù)，可推得徑向第1自由度增廣系統(tǒng)p1(s)如下:

利用hinflmi()函數(shù)，徑向第1自由度的H∞控制器k1(s)可表示為:

3 仿真與實(shí)驗(yàn)

3.1 試驗(yàn)系統(tǒng)的組成

圖5為試驗(yàn)系統(tǒng)實(shí)物圖，其中包括:傳感器、控制器、PC機(jī)、功率放大器和機(jī)械受控部分。其中控制器為TI公司的TMS320F28335 DSP，該處理器具有高精度浮點(diǎn)運(yùn)算能力，與PC機(jī)之間通過JTAG仿真器連接通信，采用CCS軟件編寫控制程序，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)主動(dòng)控制。

圖5 試驗(yàn)系統(tǒng)實(shí)物圖Fig.5 Experiment setup of system

3.2 仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

利用matlab中simulink工具箱對(duì)H∞控制器和傳統(tǒng)的PID控制器階躍響應(yīng)進(jìn)行仿真對(duì)比。H∞控制器取式(22)形式，PID 控制器為:Kp(s)=2.5，Ki(s)=200/s，Kd(s)=0.03 s/(1+0.000 6 s)。

圖6 階躍響應(yīng)對(duì)比Fig.6 Comparation of step response

由圖6可知，曲線1為H∞控制，曲線2為PID控制。經(jīng)比較可知，H∞控制的調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量都較小。

根據(jù)式(22)，采用雙線性變換得徑向第1自由度的離散控制器如式(23)所示。

即可得到離散控制輸出u1與輸入e1的關(guān)系式:

其余各自由度控制器與此類似。而PID控制器參數(shù)仍如前所示，經(jīng)過PC機(jī)和CCS軟件編程，調(diào)試通過后即可下載到DSP中進(jìn)行實(shí)時(shí)控制。

圖7是系統(tǒng)從0 r/min到15 000 r/min升速時(shí)，轉(zhuǎn)子徑向第1自由度的振動(dòng)曲線圖，其余各自由度與此類似。圖7中，在3 900 r/min和11 400 r/min轉(zhuǎn)速附近，兩條曲線都存在兩個(gè)明顯的峰值，H∞控制曲線中兩峰值分別為4.44μm和6.57μm;PID曲線中兩峰值分別為6.31μm和7.2μm，H∞控制在臨界轉(zhuǎn)速處的振動(dòng)幅值小于PID控制，其中第一階臨界轉(zhuǎn)速處幅值減少29.6%，第一階臨界轉(zhuǎn)速處減少8.75%。說明H∞控制策略能夠更好地抑制固有頻率處轉(zhuǎn)子的振動(dòng)，系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒穩(wěn)定性和較好的動(dòng)態(tài)性能。

圖7 轉(zhuǎn)子振動(dòng)曲線Fig.7 Vibration curves of the rotor

4 結(jié)論

(1)本文以五自由度磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為對(duì)象，建立了系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，提出了根據(jù)轉(zhuǎn)子在固有頻率處的振幅選擇加權(quán)函數(shù)的方法，采用混合靈敏度H∞優(yōu)化控制理論，對(duì)被控對(duì)象的不確定性進(jìn)行估計(jì)，獲得加權(quán)函數(shù)W3(s)。

(2)利用激振試驗(yàn)，獲取轉(zhuǎn)子前二階固有頻率值，根據(jù)這兩個(gè)固有頻率處轉(zhuǎn)子的同頻振動(dòng)幅值求得加權(quán)函數(shù)W1(s)，借助matlab的LMI工具箱，獲得魯棒控制器并應(yīng)用于磁懸浮控制系統(tǒng)中。

(3)仿真和試驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提出的抑制柔性轉(zhuǎn)子固有頻率處不平衡振動(dòng)的加權(quán)函數(shù)選擇方法有效可行，由此得到的H∞控制器能夠保證磁懸浮軸承柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)高速運(yùn)行，系統(tǒng)具有良好的魯棒穩(wěn)定性和抑制轉(zhuǎn)子振動(dòng)的能力。

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