路面結(jié)構(gòu)的土基應(yīng)力應(yīng)變近似計算

胡洪龍，談至明

（同濟(jì)大學(xué) 道路與交通工程教育部重點實驗室，上海 201804）

土基豎向應(yīng)力、應(yīng)變是路面結(jié)構(gòu)設(shè)計的重要指標(biāo).路面結(jié)構(gòu)主要功能就是降低土基的豎向應(yīng)力，確保土基不出現(xiàn)過量的變形.CBR（California bearing ratio）法即是以CBR值表征土基承載能力的一種瀝青路面結(jié)構(gòu)設(shè)計方法［1］.國內(nèi)外學(xué)者對不同路面結(jié)構(gòu)下的土基豎向應(yīng)力、應(yīng)變做了大量的研究.Franco Gomez-Ramirez M 等［2］根 據(jù) NAPTF（National Airfield Pavement Test Facility）試驗結(jié)果，對瀝青道面下的土基頂面豎向應(yīng)力、應(yīng)變進(jìn)行了分析.Warren等［3－4］通過建立試驗路段測定了柔性基層瀝青路面下的土基豎向應(yīng)力大小.廖公云、朱海波等［5－6］對半剛性基層瀝青路面下的土基豎向應(yīng)力、應(yīng)變進(jìn)行了 實 測［5－6］.Child等［7］對 級 配 碎 石 基 層 水 泥混凝土路面下的土基頂面壓應(yīng)力進(jìn)行測定，給出了荷載作用于水泥混凝土路面板不同位置時的土基豎向應(yīng)力值［7］.此外，Khanal、林小平等［8－9］使用有限元方法，對不同路面結(jié)構(gòu)下的土基豎向應(yīng)力進(jìn)行了研究.以上研究主要針對一些特定的路面結(jié)構(gòu)，對土基豎向應(yīng)力、應(yīng)變與土基深度和路面結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系缺乏深入的分析和總結(jié).因此，有必要對荷載作用下路面結(jié)構(gòu)的土基豎向應(yīng)力、應(yīng)變大小及其在土基深度方向的變化規(guī)律進(jìn)行深入的研究.

1 雙層結(jié)構(gòu)的土基應(yīng)力、應(yīng)變

雙層結(jié)構(gòu)及雙圓荷載的示意圖見圖1.圖1中，q0為均布荷載，δ為荷載圓半徑，E1，E0分別為面層和土基模量，μ1，μ0分別為面層和土基的泊松比，h1為面層厚度，z為土基深度方向，x為與雙圓荷載平行的方向，y為水平面上與雙圓荷載垂直的方向.原點設(shè)于雙圓間隙中心下的土基頂面O點.雙圓荷載P＝50kN，q0＝0.7MPa，δ＝106.5mm.路面結(jié)構(gòu)參數(shù)：h1＝0.1～0.7m，E1＝1 000～31 000MPa，E0＝20～200MPa，μ1＝0.15，μ0＝0.40.

圖1 雙層結(jié)構(gòu)及外荷載示意圖Fig.1 Two layers pavement structure and loads

1.1 土基頂面應(yīng)力

雙圓荷載作用下的土基頂面豎向最大壓應(yīng)力σz0位于雙圓荷載間隙中點，其值可近似為面層剛度半徑l與荷載圓半徑δ之比l／δ的函數(shù)［10］：

式中：αz，βz為回歸系數(shù)，層間光滑時，αz＝1.60，βz＝2.03，R2＝0.998；層間連續(xù)時，αz＝1.55，βz＝2.00，R2＝0.999.

柔性基層瀝青路面結(jié)構(gòu)的剛度半徑l一般不小于0.20m，由式（1）可推出，雙圓荷載作用下的土基頂面豎向最大壓應(yīng)力σz0不大于130kPa；半剛性基層瀝青路面結(jié)構(gòu)的剛度半徑l一般不小于0.25m，由式（1）可得，雙圓荷載作用下的土基頂面豎向最大壓應(yīng)力σz0不大于96kPa.

面層與土基層間光滑，土基頂面豎向壓應(yīng)力最大點的x方向應(yīng)力σx0和y方向應(yīng)力σy0與土基頂面豎向最大壓應(yīng)力σz0、土基泊松比μ0之間有如下關(guān)系：

1.2 深度方向的土基應(yīng)力

將土基任一深度處的最大應(yīng)力σx（z），σy（z），σz（z）與土基頂面最大應(yīng)力σx0，σy0，σz0之比記作θx，θy，θz即

θx，θy，θz稱為土基應(yīng)力衰減系數(shù)，它隨著土基深度z的增加而減小，隨著剛度半徑l的增加而增加.θx和θy大致相等，可統(tǒng)一記為θx，y.θx，y隨土基深度增加的收斂速度快于θz.研究發(fā)現(xiàn)，將土基深度z、剛度半徑l和荷載半徑δ合并成一個參數(shù)η＝z／（l＋δ），則不同路面結(jié)構(gòu)的土基應(yīng)力衰減系數(shù)θx，y，θz均可視為參數(shù)的一元函數(shù)，見圖2，它們的回歸式可統(tǒng)一表示為

式中：a，b，c為回歸系數(shù)，見表1.

1.3 土基豎向應(yīng)變

多數(shù)情況下，土基任一深度處的豎向壓應(yīng)變最大點與壓應(yīng)力最大點重合，豎向壓應(yīng)變最大點與壓應(yīng)力最大點不重合時，兩點處的壓應(yīng)變在數(shù)值上相差甚微，可近似認(rèn)為其相等.根據(jù)各向同性彈性本構(gòu)方程，土基任一深度處豎向最大壓應(yīng)變εz（z）為

表1 式（4）的回歸系數(shù)a，b，cTab.1 Regression parameters a，b，c of formula（4）

圖2 土基應(yīng)力衰減系數(shù)θ與η的關(guān)系Fig.2 Relationship of subgrade stresses attenuation coefficientθandη

面層與土基層間光滑時，將式（2）和式（3）代入式（5）可得

面層與土基層間連續(xù)時，回歸得到土基頂面壓應(yīng)變εz0與土基頂面壓應(yīng)力σz0有如下關(guān)系：

進(jìn)一步可推出土基任一深度處豎向最大壓應(yīng)變εz（z）為

將式（1）和式（4）代入式（6）或式（8），即可得到任一深度的土基最大豎向應(yīng)變值.與用BISAR軟件計算結(jié)果相比，層間光滑時，兩者之間的偏差小于11 μm；層間連續(xù)時，兩者之間的偏差不大于12μm.

2 多層結(jié)構(gòu)的土基應(yīng)力、應(yīng)變

路面結(jié)構(gòu)有基層時，可按彎曲剛度等效原則將面層和基層合并成一層結(jié)構(gòu)［11］，面層和基層總的剛度半徑lg可按下式計算：

式中：Dg為面層和基層總的彎曲剛度.

式中：E2，h2，μ2分別為基層的模量、厚度、泊松比；ku為層間接觸系數(shù)，層間連續(xù)時，ku＝1，層間光滑時，ku＝0.

面、基層連續(xù)，基層與土基光滑時，與理論結(jié)果相比，土基豎向的最大應(yīng)力偏差不超過2kPa；最大應(yīng)變的偏差小于12μm.各層之間連續(xù)時，土基豎向的最大壓應(yīng)力偏差不大于2kPa，最大應(yīng)變的偏差小于15μm.

若路面結(jié)構(gòu)超過二層，可由上而下逐層換算，先利用式（10）計算出一、二層總的彎曲剛度，再利用式（11）得出一、二層的當(dāng)量結(jié)構(gòu)層的模量Ex、厚度hx

然后再由式（10）和式（11）計算出一、二、三層的當(dāng)量結(jié)構(gòu)層，如此換算至雙層結(jié)構(gòu)后，利用式（9）計算出路面結(jié)構(gòu)總的剛度半徑lg，最后根據(jù)式（6）和式（8）求得土基的應(yīng)力、應(yīng)變.

3 旁側(cè)輪系數(shù)和鄰軸系數(shù)

道路上行駛的載重車輛有單軸、雙軸和三軸3類軸型.單軸荷載可視為在雙圓荷載的x方向一定距離（輪距取1.8m）處又施加一個雙圓荷載，新加雙圓荷載對土基豎向最大應(yīng)力（或應(yīng)變）的影響可以用應(yīng)力的旁側(cè)輪系數(shù)ξσ（或應(yīng)變的旁側(cè)輪系數(shù)ξε）來表示；雙軸荷載可視為在單軸荷載的y方向一定距離（軸距取1.4m）處再作用另一個單軸荷載，三軸荷載與之類似，新加軸載對土基豎向最大應(yīng)力（或應(yīng)變）的影響用應(yīng)力的鄰軸系數(shù)ζσ，n（或應(yīng)變的鄰軸系數(shù)ζε，n）來表示.因此，n軸荷載作用下，土基任一深度處的豎向最大應(yīng)力σz，n（z）（或應(yīng)變εz，n（z））可寫成下式：

3.1 土基豎向應(yīng)力

雙層結(jié)構(gòu)時，應(yīng)力的旁側(cè)輪系數(shù)ξσ及鄰軸系數(shù)ζσ，n隨著面層厚度h1、土基深度z和面層剛度半徑l的變化而變化.層間光滑時，旁側(cè)輪系數(shù)ξσ及雙輪荷載時的鄰軸系數(shù)ζσ，2的回歸式可寫成

式中：νσ可稱為相對深度；λ為回歸系數(shù)，可近似取0.4n；A，B為回歸系數(shù)，對于ξσ，分別為0.046，－0.285，R2＝0.995；對 于ζσ，2，分 別 為 0.074，－0.221，R2＝0.992.

三軸荷載時的鄰軸系數(shù)ζσ，3的回歸式為

層間連續(xù)條件下ξσ，ζσ，2和ζσ，3的數(shù)值比層間光滑條件下的數(shù)值稍大，其差值一般不超過0.04，可予忽略.

3.2 土基豎向應(yīng)變

應(yīng)變的旁側(cè)輪系數(shù)ξε、鄰軸系數(shù)ζε，n的回歸形式與應(yīng)力的旁側(cè)輪系數(shù)ξσ、鄰軸系數(shù)ζσ，n的回歸形式相同.雙層結(jié)構(gòu)層間光滑時，對于ξε，回歸系數(shù)A，B分別為0.040，－0.236，R2＝0.991；對于ζε，2，A，B分別為0.065，－0.122，R2＝0.992；對于ζε，3，A，B分別為0.032，0.130，R2＝0.989.相對深度νε中回歸系數(shù)λ可近似地取0.2（n－1）.層間連續(xù)條件下的ξε，ζε，2和ζε，3值稍大于層間光滑條件下的值，但其差值一般小于0.05，可予忽略.

多層結(jié)構(gòu)時，旁側(cè)輪系數(shù)ξ和鄰軸系數(shù)ζ仍可按上述方法計算，只需在相對深度ν計算式中的面層厚度h1和剛度半徑l分別換成路面結(jié)構(gòu)層的總厚度h和總的剛度半徑lg即可.

4 荷位系數(shù)

對于水泥混凝土路面而言，車輛荷載位于水泥混凝土路面板的不同位置，例如，板中、板邊緣、板角隅時，土基的應(yīng)力、應(yīng)變是不同的.荷載位于路面板角隅時，土基的豎向應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)樽畲?，它們較上述的板中荷位的最大應(yīng)力、應(yīng)變之增大比例可引入荷位系數(shù)來表征，即

式中：σc，z，n，εc，z，n分別為荷載位于板角隅時土基的豎向最大應(yīng)力、應(yīng)變；φσ，φε分別為土基豎向最大應(yīng)力、應(yīng)變的荷位系數(shù).

4.1 計算方法及參數(shù)

荷載位于水泥混凝土路面板角隅時的土基應(yīng)力、應(yīng)變采用有限元法計算，水泥混凝土路面板平面尺寸取為5m×4m，基層縱、橫向加寬3m，底基層和基層同尺寸，土基相對基層橫向加寬4m，縱向加寬6m，土基深度為8m，土基尺寸為17m×18m×8m.土基豎向采用不等尺寸劃分為14層，上密下疏，土基單元最小網(wǎng)格尺寸為0.06m×0.06m.土基與底基層（或基層）層間連續(xù)或光滑，其他各層之間均光滑.

計算選取的3種路面結(jié)構(gòu)參數(shù)見表2.分別計算單軸－雙輪、雙軸－雙輪和三軸－雙輪 （單軸重均為100 kN）作用下，土基頂面至深度3m范圍內(nèi)的豎向最大應(yīng)力、應(yīng)變.

表2 路面結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.2 Pavement structure parameters

4.2 土基豎向應(yīng)力

土基頂面的應(yīng)力荷位系數(shù)φσ單軸時為0.70～3.50；雙軸時為0.45～2.80；三軸載時為0.50～2.75.隨著土基深度的增加，應(yīng)力荷位系數(shù)φσ減小，當(dāng)z＝3m時，φσ約為土基頂面的5%～25%.應(yīng)力荷位系數(shù)φσ與相對深度νσ之間關(guān)系如圖3所示，可近似表示為

土基和底基層（或基層）連續(xù)時，回歸系數(shù)Cσ，Dσ值見表3.層間光滑時的應(yīng)力荷位系數(shù)φσ約為層間連續(xù)時的1.05～1.20倍.

表3 荷位系數(shù)回歸系數(shù)Cσ，DσTab.3 Regression parameters Cσ，Dσ

圖3 層間連續(xù)時φσ－νσ關(guān)系Fig.3 φσ～νσcurve with bonded interface

4.3 土基豎向應(yīng)變

土基與底基層（或基層）層間連續(xù)，單軸荷載作用于水泥混凝土板時，在土基頂面，應(yīng)變的荷位系數(shù)φε在0.90～5.30之間；多軸（雙軸和三軸）荷載時，φε分別在0.65～4.50和0.65～4.65之間.當(dāng)z＝3 m時，φε約為土基頂面的5%～20%左右.

應(yīng)變的荷位系數(shù)φε與νε之間有如下關(guān)系：

土基與底基層（或基層）層間連續(xù)時，回歸系數(shù)Cε，Dε值見表4.層間光滑時應(yīng)變的荷位系數(shù)φε約為層間連續(xù)時的1.10～1.25倍.

表4 荷位系數(shù)回歸系數(shù)Cε，DεTab.4 Regression parameters Cε，Dε

5 結(jié)論

（1）雙圓荷載作用于雙層結(jié)構(gòu)時，土基頂面橫向（平行雙圓荷載方向）應(yīng)力σx0和縱向（垂直雙圓荷載方向）應(yīng)力σy0在層間光滑時可認(rèn)為相等.在深度方向，土基橫、縱向的應(yīng)力收斂速度要大于土基豎向的應(yīng)力收斂速度.

（2）多層結(jié)構(gòu)時土基豎向應(yīng)力、應(yīng)變的計算可采用雙層結(jié)構(gòu)時的土基豎向應(yīng)力、應(yīng)變的計算方法，計算結(jié)果滿足精度要求.

（3）單軸荷載較雙圓荷載對土基豎向最大應(yīng)力、應(yīng)變之增大比例用旁側(cè)輪系數(shù)ξ來表示；多軸（雙軸和三軸）荷載較單軸荷載對土基豎向最大應(yīng)力、應(yīng)變之增大比例用鄰軸系數(shù)ζn來表示.旁側(cè)輪系數(shù)ξ及鄰軸系數(shù)ζn隨著相對深度ν的增加而增加.層間接觸狀態(tài)對旁側(cè)輪系數(shù)ξ及鄰軸系數(shù)ζ的影響不大.

（4）車輛荷載位于水泥混凝土路面板角隅時，土基豎向應(yīng)力、應(yīng)變最大，它們較荷載位于板中時的土基豎向最大應(yīng)力、應(yīng)變之增大比例可用荷位系數(shù)φ來表征.水泥混凝土路面的底基層（或基層）與土基層間光滑時的荷位系數(shù)φ值大于層間連續(xù)時的荷位系數(shù)φ值.

［1］ 姚祖康.瀝青路面結(jié)構(gòu)設(shè)計［M］.北京：人民交通出版社，2011.

YAO Zukang.Structural design of asphalt pavements［M］.Beijing：China Communications Press，2011.

［2］ Franco M.Gomez-Ramirez， Marshall Thompson.Aircraft multiple wheel gear load interaction effects on airport flexible pavement response ［C］／／Advanchg Airfield Pavements.Proceedings of the 2001 Airfield Pavement Specialty Conference.Chicago：American Society of Civil Engineers，2001：123-132.

［3］ Warren K A， Howard I L，Brooks J A.Preliminary construction and instrumentation plan for geosyntheticreinforced flexible pavement test sections［C］／／Geo-Frontiers 2005.Austin：Geo-Institute of the American Society of Civil Engineers，2005：4091-4096.

［4］ Isaac L H，Kimberly A W.Preliminary analysis comparing measured responses of FWD and traffic data［C］／／Geo Congress 2008：Characterization，Monitoring，and Modeling of Geo Systems. New Orleans： American Society of Civil Engineerings，2008：380-387.

［5］ 廖公云，路暢，黃曉明.瀝青路面結(jié)構(gòu)力學(xué)相應(yīng)的分層檢測與分析［J］.東南大學(xué)學(xué)報，2010，40（5）：1061.

LIAO Gongyun，LU Chang，HUANG Xiaoming.Layered measure and analysis of mechanical responses within asphalt pavement［J］.Journal of Southeast University，2001，40（5）：1061.

［6］ 朱海波，賈朝霞，張宏博，等.重載交通下的路基工作區(qū)界定問題探討［J］.公路交通科技，2009，26（1）：39.

ZHU Haibo，JIA Chaoxia，ZHANG Hongbo，et al.Discussion of the definition of subgrade workspace under heavy traffic［J］.Journal of Highway and Transportation Research and Development，2009，26（1）：39.

［7］ Child L D，Nussbaum P J.Pressures at foundation soil interfaces under loaded concrete and soil-cement highway slabs［C］／／American Society for Testing and Materials Conference.［S.l.］：American Society for Testing and Materials，West Cohshohocken，1962：1243-1263.

［8］ Punya P Khanal，Michael S.Mamlouk.Program BIMODPAV for analysis of flexible pavements ［J］. Transportation Engineering，1997：43.

［9］ 林小平，凌建明，官盛飛，等.水泥混凝土路面路基應(yīng)力水平分析［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，38（4）：546.

LIN Xiaoping，LING Jianming，GUAN Shengfei，et al.Analysis on stress level of subgrade under cement pavement［J］.Journal of Tongji University：Natural Science，2010，38（4）：546.

［10］ 吁新華.瀝青路面等效溫度的研究［D］.上海：同濟(jì)大學(xué)交通運輸工程學(xué)院，2011.

YU Xinhua.Study on equivalent temperatures of asphalt pavement ［D］. Shanghai： College of Transportation Engineering of Tongji University，2011.

［11］ 談至明，姚祖康.層狀結(jié)構(gòu)頂面當(dāng)量模量的近似計算［J］.公路，2003（8）：5.

TAN Zhiming，YAO Zukang.Approximate calculation of equivalent modulus for the top of layer structure［J］.Highway，2003（8）：5.