Walker星座攝動(dòng)分析與保持控制策略*

姜 宇，李恒年 ，寶音賀西

(1.宇航動(dòng)力學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安710043; 2.西安衛(wèi)星測控中心,西安710043;3.清華大學(xué)航天航空學(xué)院,北京100084)

全球星座可用于導(dǎo)航、通信、環(huán)境監(jiān)測、數(shù)據(jù)中繼、目標(biāo)識(shí)別等諸多領(lǐng)域.全球星座一般采用Walker星座或包含Walker星座的復(fù)合星座[1].Walker星座[2]由具有相同軌道半長軸和軌道傾角的多個(gè)衛(wèi)星組成，分為若干個(gè)軌道面，每個(gè)軌道面內(nèi)的衛(wèi)星數(shù)目相同，不同軌道面內(nèi)的衛(wèi)星之間的相對(duì)相位保持特定的關(guān)系.Walker星座一般以N/P/F表示，N代表星座中的衛(wèi)星總數(shù)，P為星座軌道面數(shù)，F(xiàn)為相位因子.典型的全球星座有美國的GPS、俄羅斯的Glonass、歐盟的Galileo等.Glonass采用24/3/1的Walker星座，Galileo采用27/3/1的Walker星座，早期GPS采用24/3/2的Walker星座.星座衛(wèi)星之間由于入軌偏差及所受攝動(dòng)力的不同，而發(fā)生星座衛(wèi)星軌道逐漸漂移，進(jìn)而引起星座整體構(gòu)形的漂移，從而影響星座的導(dǎo)航、覆蓋等性能.為了保持星座的整體構(gòu)形，需要對(duì)星座衛(wèi)星的軌道進(jìn)行控制.

星座軌道控制主要包括星座衛(wèi)星入軌后轉(zhuǎn)移軌道段的軌道控制和長期保持控制[1,3].星座軌道控制的目的是一方面保持星座中每個(gè)衛(wèi)星的軌道偏差在允許的偏差范圍內(nèi)，另一方面保持星座的整體空間構(gòu)形漂移較小，從而滿足應(yīng)用對(duì)星座構(gòu)形的需求.

本文主要針對(duì)運(yùn)行在中高軌道上的全球Walker星座的構(gòu)形長期保持控制問題，通過研究星座衛(wèi)星的軌道攝動(dòng)及構(gòu)形相對(duì)漂移，研究了星座構(gòu)形長期保持的控制方法及控制策略.對(duì)于星座構(gòu)形的保持，研究了星座構(gòu)形攝動(dòng)補(bǔ)償法和星座構(gòu)形數(shù)值微分修正法.最后給出了全球星座構(gòu)形長期保持控制策略并進(jìn)行了仿真驗(yàn)證.

1 星座衛(wèi)星軌道攝動(dòng)運(yùn)動(dòng)分析

對(duì)于中高軌道的星座衛(wèi)星來說，其主要的攝動(dòng)力為地球扁率J2項(xiàng)、日月引力以及太陽光壓.地球扁率J2項(xiàng)對(duì)衛(wèi)星軌道半長軸、偏心率、傾角的長期影響為零，對(duì)衛(wèi)星的升交點(diǎn)赤經(jīng)、近地點(diǎn)幅角和平近點(diǎn)角均有長期影響.日月引力對(duì)衛(wèi)星軌道傾角和升交點(diǎn)赤經(jīng)都有長期影響.衛(wèi)星軌道升交點(diǎn)赤經(jīng)、緯度幅角的長期攝動(dòng)主要由J2項(xiàng)引起，軌道傾角的長期攝動(dòng)主要由日月引力引起，偏心率矢量的長期攝動(dòng)主要由太陽光壓引起.

1.1 地球扁率攝動(dòng)分析

考慮地球扁率J2項(xiàng)攝動(dòng)，則星座衛(wèi)星平均軌道根數(shù)的長期變化率[4]為

(1)

可見地球扁率J2項(xiàng)攝動(dòng)對(duì)衛(wèi)星軌道半長軸、偏心率和傾角沒有長期影響，對(duì)升交點(diǎn)赤經(jīng)、近地點(diǎn)幅角和平近點(diǎn)角均有長期影響.在J2項(xiàng)攝動(dòng)的作用下，升交點(diǎn)赤經(jīng)的變化率、近地點(diǎn)幅角的變化率以及平近點(diǎn)角的變化率均與衛(wèi)星的軌道半長軸、偏心率和傾角有關(guān).

1.2 日月引力攝動(dòng)分析

太陽引力攝動(dòng)引起的衛(wèi)星軌道傾角長期變化率為

(cosβssinisinΩ-sinβscosissinicosΩ+sinβssiniscosi)

(2)

式中，t為時(shí)間，βs為太陽視運(yùn)動(dòng)的黃經(jīng)，is為黃道傾角，ns為地球繞太陽公轉(zhuǎn)的角速率.

如果不計(jì)βs的周期項(xiàng)，則化為

(3)

對(duì)太陽同步軌道，則式(2)化簡為熟知的結(jié)論作為其特例

(4)

月球引力攝動(dòng)引起的衛(wèi)星軌道傾角長期變化率為

sin2imcosi)-2cos2imsinicos(Ω+Ωm)]

(5)

可見日月引力攝動(dòng)對(duì)衛(wèi)星軌道傾角長期變化率的影響與衛(wèi)星的軌道半長軸、傾角和升交點(diǎn)赤經(jīng)有關(guān)，且軌道半長軸越大，日月引力攝動(dòng)引起的衛(wèi)星軌道傾角長期變化率的大小越大.

1.3 太陽光壓攝動(dòng)分析

(6)

其中

(7)

(8)

A為航天器垂直于光線方向的截面積，m為衛(wèi)星質(zhì)量，K為光壓系數(shù)，全吸收時(shí)K=1，ps為光壓強(qiáng)度.

2 星座構(gòu)形漂移運(yùn)動(dòng)分析

(9)

可見，Walker星座的衛(wèi)星間的平根數(shù)半長軸差、傾角差、偏心率差均可引起星座衛(wèi)星軌道面法向、軌道沿跡方向的相對(duì)演化.即使將Walker星座的平均軌道根數(shù)的半長軸、偏心率和傾角均完全按照設(shè)計(jì)結(jié)果控制至相等，此時(shí)地球扁率J2項(xiàng)攝動(dòng)不會(huì)引起星座構(gòu)形的演化；但日月引力引起Walker星座不同軌道面上的衛(wèi)星傾角攝動(dòng)不同，太陽光壓引起Walker星座不同軌道面上的衛(wèi)星偏心率矢量攝動(dòng)不同，進(jìn)而引起星座衛(wèi)星之間偏心率差δe、傾角差δi的絕對(duì)值逐漸增大，由式(9)知存在半長軸差、傾角差或偏心率差的Walker星座衛(wèi)星間的J2項(xiàng)攝動(dòng)不同，故而引起星座構(gòu)形的漂移.

3 控制策略計(jì)算方法

Walker星座構(gòu)形的控制需采用相對(duì)控制的方法，由于在入軌偏差、控制執(zhí)行偏差、J2項(xiàng)攝動(dòng)力、日月引力等的作用下，星座構(gòu)形整體漂移，控制方法只需保證星座整體幾何構(gòu)形的穩(wěn)定和單星軌道滿足特定要求即可.Walker星座整體構(gòu)形的控制可采取攝動(dòng)補(bǔ)償法和數(shù)值微分修正法兩種方法.

3.1 星座構(gòu)形攝動(dòng)補(bǔ)償法

星座構(gòu)形攝動(dòng)補(bǔ)償法[5-8]通過控制星座衛(wèi)星間的半長軸差和傾角差來達(dá)到間接控制升交點(diǎn)赤經(jīng)差和相位差的目的，記

(10)

令

λ1=ω1+M1

(11)

(12)

Φ為J2項(xiàng)作用下，星座衛(wèi)星軌道半長軸偏差和傾角偏差對(duì)升交點(diǎn)赤經(jīng)以及相位角的影響矩陣.Δt時(shí)間內(nèi)在J2項(xiàng)攝動(dòng)力的長期作用下，星座衛(wèi)星間升交點(diǎn)赤經(jīng)差和相位差的漂移分別為ΔΩ和Δλ，則要消除J2項(xiàng)攝動(dòng)力對(duì)星座衛(wèi)星間升交點(diǎn)赤經(jīng)差和相位差的漂移影響，所需的星座衛(wèi)星間半長軸和傾角的初始調(diào)整量為Δa和Δi，則

(13)

其中

(14)

如此，通過控制Walker星座衛(wèi)星之間的半長軸差和傾角差，達(dá)到了對(duì)升交點(diǎn)赤經(jīng)差和相位差聯(lián)合控制的目的.

Walker星座軌道的初始設(shè)計(jì)是平均軌道根數(shù)，星座各衛(wèi)星的半長軸、傾角均相等.設(shè)預(yù)定的星座控制周期為Δt，如果星座設(shè)計(jì)壽命為10年，且10年內(nèi)不做控制，則Δt=86400×365×10s.如果星座設(shè)計(jì)壽命為10年，但控制周期為3年，則Δt=86400×365×3s.

星座構(gòu)形攝動(dòng)補(bǔ)償法的計(jì)算過程為：考慮地球形狀攝動(dòng)力、日月引力、太陽光壓，首先根據(jù)初始設(shè)計(jì)的軌道平根數(shù)做平根數(shù)軌道預(yù)報(bào)，得出Δt時(shí)間后的ΔΩ和Δλ，由公式(13)計(jì)算所需的星座衛(wèi)星間半長軸和傾角的初始調(diào)整量Δa和Δi，更新星座衛(wèi)星初始軌道根數(shù)，再做平根數(shù)軌道預(yù)報(bào)，看Δt時(shí)間后的ΔΩ和Δλ是否滿足要求，如此迭代循環(huán).該過程一般執(zhí)行1至3次就可獲得滿意的結(jié)果.

3.2 星座構(gòu)形數(shù)值微分修正法

同星座構(gòu)形攝動(dòng)補(bǔ)償法不同，星座構(gòu)形數(shù)值微分修正方法是基于瞬根數(shù)的.根據(jù)是否做傾角修正，構(gòu)形數(shù)值微分修正方法又有兩種情形，其數(shù)值計(jì)算步驟為：

方法1.僅做半長軸修正情形

如果衛(wèi)星攜帶推進(jìn)劑剩余不多，則希望在盡量節(jié)約推進(jìn)劑的情況下進(jìn)行星座構(gòu)形的保持，此時(shí)，不進(jìn)行軌道面外的控制，僅采用半長軸修正來最大限度地保證星座構(gòu)形的穩(wěn)定.根據(jù)入軌后的軌道根數(shù)，進(jìn)行高精度軌道預(yù)報(bào)，根據(jù)Δt時(shí)間后的廣義相位差增量Δφ來計(jì)算半長軸的修正量，廣義相位差增量等于相位差的增量與升交點(diǎn)赤經(jīng)差的增量在衛(wèi)星軌道面內(nèi)的投影的和

Δφ=ΔΩcosi+Δλ

(15)

微分修正法的半長軸修正步長為

(16)

方法2.半長軸和傾角都做修正情形

根據(jù)入軌后的軌道根數(shù)，進(jìn)行高精度軌道預(yù)報(bào)，根據(jù)Δt時(shí)間后的相位差增量Δλ、升交點(diǎn)赤經(jīng)差增量ΔΩ，微分修正法的半長軸和傾角修正步長為

(17)

星座構(gòu)形數(shù)值微分修正方法的計(jì)算過程為：首先根據(jù)初始設(shè)計(jì)的軌道根數(shù)，加上高精度的動(dòng)力學(xué)模型，做軌道預(yù)報(bào)，得出Δt時(shí)間后的ΔΩ和Δλ，由式(16)或(17)計(jì)算所需的星座衛(wèi)星間軌道根數(shù)調(diào)整量，更新星座衛(wèi)星初始軌道根數(shù)，再做軌道預(yù)報(bào)，看Δt時(shí)間后的ΔΩ和Δλ是否滿足要求，如此迭代循環(huán).該過程一般執(zhí)行4至8次就可獲得滿意的結(jié)果.

同半長軸和傾角都做修正相比，僅做半長軸修正能更多地節(jié)省推進(jìn)劑的消耗，而從第4節(jié)的算例可見，星座構(gòu)形的漂移主要由相位差的漂移引起，而僅作半長軸修正能較好地對(duì)星座衛(wèi)星間相位差的漂移進(jìn)行控制，兼顧了構(gòu)形保持與節(jié)省推進(jìn)劑消耗量之間的平衡.

4 算 例

4.1 星座構(gòu)形攝動(dòng)補(bǔ)償法算例

以構(gòu)形為Walker24/3/1全球星座為例進(jìn)行星座控制策略的仿真計(jì)算，取軌道高度為21528km，傾角為55°，回歸周期為7天，一個(gè)回歸周期內(nèi)回歸13圈.取星座不同軌道面上的兩個(gè)衛(wèi)星軌道進(jìn)行試算，初始軌道平根數(shù)如下所示.歷元時(shí)刻為2015年9月21日10點(diǎn)30分0.0秒.設(shè)副星和主星的升交點(diǎn)赤經(jīng)差-120°，相位差45°.

如果不做星座的保持控制，則星座10年后的構(gòu)形漂移如表1所示.

表1 不做控制的星座構(gòu)形漂移值

可見如果不做星座的保持控制，則10年后星座兩星的升交點(diǎn)赤經(jīng)差漂移量達(dá)到3.9°，相位差漂移達(dá)到9.34°.按照星座構(gòu)形攝動(dòng)補(bǔ)償法計(jì)算的副星控制策略如表2所示.按照構(gòu)形攝動(dòng)補(bǔ)償法計(jì)算出補(bǔ)償量后，進(jìn)行平均軌道根數(shù)的預(yù)報(bào)，考慮地球非球形攝動(dòng)項(xiàng)J2、J3、J4，日月引力，計(jì)算補(bǔ)償后的Δi、ΔΩ、Δλ.

表2 副星控制策略

可見，進(jìn)行構(gòu)形攝動(dòng)補(bǔ)償后，10年后兩星的升交點(diǎn)赤經(jīng)差漂移量為3.48°，相位差漂移達(dá)到3.58°，對(duì)相位差的漂移補(bǔ)償較好.對(duì)應(yīng)該攝動(dòng)補(bǔ)償控制策略的星座構(gòu)形漂移如表3所示.

表3 采用構(gòu)形攝動(dòng)補(bǔ)償控制策略后的星座構(gòu)形漂移值

由表3可見，進(jìn)行構(gòu)形攝動(dòng)補(bǔ)償控制后，升交點(diǎn)赤經(jīng)差的漂移方向不變，而相位差的漂移方向會(huì)反向，即相位差先逐漸減小，再逐漸增大，5年后相位差漂移達(dá)到-7.16°.

4.2 星座構(gòu)形數(shù)值微分修正法算例

仍以構(gòu)形為Walker24/3/1的全球星座為例，計(jì)算使用星座構(gòu)形數(shù)值微分修正方法的控制策略.為了對(duì)比，我們?nèi)允褂蒙弦恍」?jié)的軌道根數(shù)，將其看作瞬根.歷元時(shí)刻為2015年9月21日10點(diǎn)30分0.0秒.初始軌道根數(shù)如下所示：

如果不做星座的保持控制，考慮10×10階地球引力場、日月引力、太陽光壓.衛(wèi)星質(zhì)量均取為1900kg，截面積50m2，則星座的構(gòu)形漂移如表4所示.

表4 不做控制的星座構(gòu)形漂移值

由表4可知，星座衛(wèi)星主星和副星的相位差漂移速率較大.按照星座構(gòu)形數(shù)值微分修正法計(jì)算控制策略，如表5所示，由于星座構(gòu)形數(shù)值微分修正法直接使用瞬根進(jìn)行計(jì)算，所以避免了瞬平轉(zhuǎn)換的誤差，因此，我們將控制周期取為5年進(jìn)行試算.計(jì)算結(jié)果如表5和表6所示.

表5 副星控制策略

表6 采用構(gòu)形數(shù)值微分修正控制策略后的星座構(gòu)形漂移值

由表5和表6可知，星座構(gòu)形數(shù)值微分修正法對(duì)升交點(diǎn)赤經(jīng)差和相位差的控制效果極好.升交點(diǎn)赤經(jīng)差的漂移方向不變，而相位差的漂移方向會(huì)反向，即相位差先逐漸減小，再逐漸增大，5年后升交點(diǎn)赤經(jīng)差漂移1.76°，相位差漂移3.469°.

5 結(jié) 論

通過研究星座衛(wèi)星的軌道攝動(dòng)及構(gòu)形相對(duì)漂移，研究了星座構(gòu)形長期保持的控制方法及控制策略.對(duì)于星座構(gòu)形的保持，研究了星座構(gòu)形攝動(dòng)補(bǔ)償法，提出了星座構(gòu)形數(shù)值微分修正法.星座構(gòu)形攝動(dòng)補(bǔ)償法是基于平均軌道根數(shù)的，對(duì)相位差漂移的補(bǔ)償效果較好.星座構(gòu)形數(shù)值微分修正法是基于瞬根數(shù)的，在實(shí)際應(yīng)用中，避免了瞬平轉(zhuǎn)換的誤差，對(duì)相位差的漂移控制效果較好.對(duì)比兩種方法，從實(shí)際應(yīng)用的角度和計(jì)算精確程度來講，星座構(gòu)形數(shù)值微分修正法略好于星座構(gòu)形攝動(dòng)補(bǔ)償法.

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