線性代數(shù)中的幾個(gè)等價(jià)關(guān)系

【摘要】本文討論了線性代數(shù)之中的四個(gè)等價(jià)關(guān)系：矩陣等價(jià)，向量組等價(jià)，矩陣相似，矩陣合同；以及和四個(gè)等價(jià)關(guān)系相關(guān)的基本性質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】等價(jià)關(guān)系 矩陣 向量組 相似矩陣 合同矩陣

【中圖分類號(hào)】O151.2 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2013）08-0144-01

一、等價(jià)關(guān)系的定義

在一個(gè)給定的集合S上，我們可以定義元素之間的某種關(guān)系。如果該關(guān)系滿足三個(gè)性質(zhì)：（1）自反性（2）對(duì)稱性（3）傳遞性，我們稱該關(guān)系為等價(jià)關(guān)系（equivalence relation[1]），記為～。自反性就是S中的任意元素和自身有該種關(guān)系，即A～A；對(duì)稱性是若對(duì)于S中兩個(gè)元素A、B，如果A～B，則有B～A；傳遞性是指對(duì)于S中三個(gè)元素A、B、C，如果A～B，則有B～C，則有A～C。

二、等價(jià)關(guān)系與分類

若集合S上具有等價(jià)關(guān)系～，則按照該等價(jià)關(guān)系對(duì)S中的元素進(jìn)行分類，就是把具有等價(jià)關(guān)系的元素歸為一類，稱為等價(jià)類，使得S成為成為各等價(jià)類的無交并。這樣當(dāng)S有一個(gè)等價(jià)關(guān)系，S也就有了一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)。反之，對(duì)于集合S，若給一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)，則可以對(duì)S進(jìn)行分類。籍于此分類，我們對(duì)S中的元素可以定義一個(gè)關(guān)系～如下：A、BS，A～B當(dāng)且僅當(dāng)A和B屬于同一類。易于驗(yàn)證該關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。也就是說S上的一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)就會(huì)給出一個(gè)S上的等價(jià)關(guān)系。一般地我們有結(jié)論：集合S上的等價(jià)關(guān)系和分類方法是一一對(duì)應(yīng)的。

三、線性代數(shù)中的四個(gè)等價(jià)關(guān)系

3.1 矩陣的等價(jià)關(guān)系

不妨設(shè)S是實(shí)數(shù)域上的矩陣組成的集合，對(duì)于矩陣A、B，如果A、B同型，即有相同的行數(shù)和列數(shù)，且A經(jīng)過有限次初等變換成為B，則稱A與B等價(jià)[2]。

矩陣等價(jià)，這個(gè)“等”字之后意味著什么相等呢？該“等”實(shí)際是指矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等，同時(shí)矩陣的秩相等。我們有如下關(guān)于矩陣等價(jià)的定理。

定理1： 矩陣A和B等價(jià)的充要條件是它們同型且秩相等。

任何一個(gè)矩陣通過有限次初等變換可以化成標(biāo)準(zhǔn)型矩陣（參考文獻(xiàn)1），我們稱之該矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型。對(duì)此有如下結(jié)論：

推論1：矩陣A和B等價(jià)的充要條件是它們有相同的標(biāo)準(zhǔn)型。

推論2： n階方陣可逆的充要條件是它與單位矩陣等價(jià)。

根據(jù)初等變換和初等矩陣之間的關(guān)系，有如下結(jié)論。

定理2. 矩陣A和B等價(jià)的充要條件是CA=BD， 其中C和D是可逆矩陣。

在矩陣等價(jià)關(guān)系下，S中的矩陣的分類分為兩步走。首先同型的作為一大類；之后，對(duì)于k×l型矩陣這一大類，在秩相等要求下，可以分為m+1類，其中m=min（k，l）。

3.2 向量組的等價(jià)

設(shè)兩個(gè)向量組A：α1，α2，…，αs ； B：β1，β2，…，βt ，若向量組B中的向量都能由A中的向量線性表示；反之亦然。那么稱向量組A和B等價(jià)[2]，也記作A～B?？梢宰C明在該定義下這是一個(gè)等價(jià)關(guān)系。我們不妨把目光集中在實(shí)數(shù)域R上的向量和向量空間上。

向量組A和B等價(jià)，這個(gè)“等”字背后意味著什么相等呢？實(shí)際上，“等”字是指A和B生成的向量空間相等，它們分別記作span（A）、span（B）。則有如下結(jié)論。

定理3： 向量組A～B的充要條件是span（A）=span（B）。

一個(gè)向量組A有一個(gè)不變量，就是向量組的秩r（A），它是一個(gè)決定span（A）維度大小的量，也就是等于span（A）維度。鑒于此有如下結(jié)論。

定理4： 向量組A～B的充要條件是A能被向量組B線性表示，且r（A）=r（B）。

注： 在定理4中，“A能被向量組B線性表示”這個(gè)條件不可刪減，即單由r（A）=r（B）推導(dǎo)不出A～B。舉一個(gè)反例：A：α1=（1， 0），α2=（2， 0）；B：β1=（0， 1），β2=（0， 2）；易見r（A）=r（B）=1，然而A不能被向量組B線性表示，故A與B不等價(jià)。

3.3 矩陣的相似

設(shè)A和B都是n階矩陣，如果存在可逆矩陣P，使得A=P-1BP，那么稱矩陣A和B相似[3]，不妨也記作A～B。由此定義可以證明矩陣的相似關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系。

如果矩陣A與對(duì)角矩陣相似，我們稱之為A可以對(duì)角化。并不是所有的矩陣都可以對(duì)角化。關(guān)于矩陣可以對(duì)角化的充要條件，各線性代數(shù)教材中有詳述。下面列舉幾個(gè)有關(guān)矩陣相似的重要的結(jié)論和事實(shí)。

定理5：如果矩陣A～B，那么它們有相同的特征值，因而有相同的行列式和痕。

定理6： f（x）為一個(gè)多項(xiàng)式，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣。如果矩陣A～B，那么f（A）～f（B），AT～BT。若A和B可逆，則A-1～B-1。

3.4 矩陣的合同

設(shè)A和B都是n階矩陣，如果存在可逆矩陣P，使得A=PTBP，那么稱矩陣A和B合同[3]，不妨也記作A～B。同樣，由定義可以證明矩陣的合同關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系。我們主要討論實(shí)對(duì)稱矩陣的合同和有關(guān)實(shí)二次型的問題。

每一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣都對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)二次型，后者可以通過可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)型，繼而化成規(guī)范型，稱為該二次型的規(guī)范型，其中規(guī)范型中正項(xiàng)個(gè)數(shù)稱為正慣性指數(shù)，負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù)[4]。合同的矩陣所對(duì)應(yīng)的二次型有著相同的規(guī)范型。故有如下結(jié)論。

定理6： 實(shí)對(duì)稱矩陣A和B合同充要條件是實(shí)二次型XTAX和 XTBX有相同的規(guī)范型。

定理7： 實(shí)對(duì)稱矩陣A和B合同充要條件是實(shí)二次型XTAX和 XTBX有相同的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)。

對(duì)于n階實(shí)對(duì)稱矩陣，在合同的等價(jià)關(guān)系下，其中最為特殊的一類是正定矩陣[4]。這里列舉幾個(gè)關(guān)于正定矩陣的結(jié)論。

定理8： 正定矩陣只與正定矩陣合同。

定理9： 若A是正定矩陣，則AT，A-1，Am（m為非負(fù)整數(shù)）均是正定矩陣。

定理10： 矩陣A是正定矩陣的充分必要條件是A與單位矩陣E合同。

還有關(guān)于正定矩陣重要結(jié)論，這里不再詳述。

參考文獻(xiàn)：

[1]J. J. Rotman，Advanced Modern Algebra（抽象代數(shù)，影印版），高等教育出版社，2004年。

[2]吳贛昌，線性代數(shù)（經(jīng)管類，第四版），中國(guó)人民大學(xué)出版社，2011年。

[3]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組 編，王萼芳，石生明 修訂，高等代數(shù)，第三版，高等教育出版社，2003年。

[4]吳傳生，經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——線性代數(shù)，第二版，高等教育出版社，2009年。