利用現(xiàn)代技術(shù)探究數(shù)學(xué)奧秘

【摘要】通過(guò)借助電腦工具探究自編自解題目“已知圓A：x2+y2=R2（R>0），定點(diǎn)B（a，0）（a>0），E是BC所在直線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)E分CB的比為λ。

一、問(wèn)題的引出：

已知圓A：x2+y2=R2（R>0），定點(diǎn)B（a，0）（a>0），E是BC所在直線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)E分CB的比為λ。

（1）過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線與AC所在的直線相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡。

（2）若AC交圓于另一點(diǎn)F，過(guò)E點(diǎn)作直線AC的平行線交BF于G點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E與G分別做直線BC與BF的垂線，求這兩條垂線交點(diǎn)H的軌跡。

我對(duì)該題進(jìn)行了探索，在求解過(guò)程中我借助了電腦工具采用了幾個(gè)有特色的方法，探究出很多重要的結(jié)論，下面介紹一下我的探究過(guò)程，請(qǐng)專(zhuān)家給予指導(dǎo)。

二、探究過(guò)程：

探究一：E為特殊點(diǎn)的情況：

1.若E為BC的中點(diǎn)

借助幾何畫(huà)板工具很容易描繪P點(diǎn)的軌跡圖形是以A，B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓（如圖3），證明過(guò)程可以借助“動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A，B的距離之和等于定值”這一關(guān)鍵（證明過(guò)程略）。從圖3中可以得出第一個(gè)猜想：

BC的中垂線可能是橢園的切線，下面給出證明過(guò)程：

證明：若BC的垂直平分線EP不是橢圓P的切線，則直線與橢圓還有一個(gè)交點(diǎn)P'，所以應(yīng)有|P'A|+|P'B|=R，而 |P'B|=|P'C|，所以|P'A|+|P'C|=R，所以P'、A、C三點(diǎn)共線，所以 P'與P重合，所以猜想是正確的。

若設(shè)圓A：x2+y2=R2（R>0） ，定點(diǎn)B（a，0）（a>0），圓上有一動(dòng)點(diǎn)C（x0，y0） ，則容易得出：P點(diǎn)的軌跡方程為：

■+■=1 。

由此得出定理一：

定理一：圓A內(nèi)有一定點(diǎn)B，圓上有一動(dòng)點(diǎn)C，線段BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)P.則點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，該垂直平分線是該橢圓以P為切點(diǎn)的切線。

若AC交圓于F，線段BF的垂直平分線交AF于點(diǎn)J，EP與GJ交于點(diǎn)H，問(wèn)H的軌跡？

借助幾何畫(huà)板的演示可以看出H的軌跡是一條直線，根據(jù)圖象的特點(diǎn)可以得出猜想二該直線可能是橢圓的準(zhǔn)線。

下面給出證明過(guò)程：設(shè)圓A：x2+y2=R2（R>0）內(nèi)有一定點(diǎn)B（a，0）（a>0），圓上有一動(dòng)點(diǎn)C（x0，y0），則容易得出：

直線PE的方程為： y-■=-■（x-■） （1）

直線GJ的方程為： y+■=-■（x-■） （2）

考慮到：x■■+y■■=R2（R>0） 容易得：H的軌跡是直線方程為： x=■

因?yàn)镻點(diǎn)的軌跡方程為■+■=1 ，容易證明x=■，即是橢圓■+■=1 的準(zhǔn)線。

由此得出定理二：

定理二：圓A內(nèi)有一定點(diǎn)B，圓上有一動(dòng)點(diǎn)C，線段BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)P，AC交圓于F，線段BF的垂直平分線交AF于點(diǎn)J，EP與GJ交于點(diǎn)H，則H點(diǎn)的軌跡是P點(diǎn)軌跡橢圓的一條準(zhǔn)線。

利用幾何畫(huà)板拖動(dòng)點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)B在圓上或是在圓外的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的軌跡不是橢圓了，由此得出猜想三，這時(shí)點(diǎn)P的軌跡是是雙曲線，點(diǎn)H的軌跡是該雙曲線的一條準(zhǔn)線。

證明：當(dāng)點(diǎn)B在圓上時(shí)，非常簡(jiǎn)單發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P與圓心A是重合的，說(shuō)明這時(shí)點(diǎn)P年軌跡就是一點(diǎn)A，點(diǎn)H的軌跡也是點(diǎn)A，說(shuō)明猜測(cè)是不正確的，當(dāng)點(diǎn)B在圓外時(shí)，由雙曲線的定義知，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線，因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)H的軌跡方程分別是■+■=1， x=■ ，這時(shí)a>R所以以上兩個(gè)方程變?yōu)椋骸?■=1 與 x=■ 顯然直線x=■是■-■=1的一條準(zhǔn)線。

由此得到定理三：

定理三：若B點(diǎn)在圓A上，圓上有一動(dòng)點(diǎn)C，線段BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)P，AC交圓于F，線段BF的垂直平分線交AF于點(diǎn)J，EP與GJ交于點(diǎn)H，P點(diǎn)與H的軌跡都是圓心點(diǎn)A，若B點(diǎn)在圓外，點(diǎn)P的軌跡是一雙曲線，點(diǎn)H點(diǎn)的軌跡是該雙曲線的一條準(zhǔn)線。

從該題的探究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)猜想的結(jié)論當(dāng)點(diǎn)B在圓上時(shí)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線，而在證明過(guò)程中得出點(diǎn)P的軌跡確是一個(gè)點(diǎn)。

因此可以有以下心得：就是單純的從幾何畫(huà)板的圖形展示中得出的結(jié)論有時(shí)是不可靠的，必須經(jīng)過(guò)科學(xué)的證明才可信。

2.E與C點(diǎn)重合

容易得P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，其方程為：x2+y2=R2（R>0）

3.E與點(diǎn)B重合

設(shè)C（Rcosθ，Rsinθ），則E（a，0）

KBC =■，則PE的方程：y=■（x-a），AC的方程為：y=tanθx，將PE與AC的方程聯(lián)立得點(diǎn)P軌跡的參數(shù)方程為：x=■y=■

經(jīng)幾何畫(huà)板演示，圖形是由兩個(gè)類(lèi)似橢圓形成的圖形如圖5：

探究二：E為一般點(diǎn)的情況：

若點(diǎn)E為一般點(diǎn)， 點(diǎn)E分CB的比為λ。

（1）過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線與AC所在的直線相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡。

（2）若AC交圓于另一點(diǎn)F，過(guò)E點(diǎn)作直線AC的平行線交BF于G點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E與G分別做直線BC與BF的垂線，求這兩條垂線交點(diǎn)H的軌跡。

通過(guò)幾何畫(huà)板演示，由此得出一個(gè)猜想，

猜想四：（2）點(diǎn)H的軌跡還是一條直線。

下面給出該猜想的證明過(guò)程：

證明：設(shè)圓A：x2+y2=R2（R>0）內(nèi)有一定點(diǎn)B（a，0）（a>0），圓上有一動(dòng)點(diǎn)C（Rcosθ，Rsinθ），則 E（■，■）， F（-Rcosθ，-Rsinθ），G（■，■） K■=■，

KBF=■ 則HE的方程：

y-■=■（x-■） ，HG的方程為：

y+■=■（x+■）

由此得H點(diǎn)的參數(shù)方程：

x=■y=■（θ為參數(shù)）。

從橫坐標(biāo)x看，顯然是一條直線但從縱坐標(biāo)y看， 的值域還無(wú)法求出，這還不能說(shuō)明猜想五的準(zhǔn)確，只能說(shuō)明點(diǎn)H在垂直于AB的直線上。

由此得到出定理四：

定理四：已知圓A：x2+y2=R2（R>0），定點(diǎn)B（a，0）（a>0），E是BC所在直線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)E分CB的比為λ，若AC交圓于另一點(diǎn)F，過(guò)E點(diǎn)作直線AC的平行線交BF于E？蛐 點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E與E？蛐 分別做直線BC與BF的垂線，則這兩條垂線交點(diǎn)H在與線段AB垂直的直線上。（如圖6）

參考文獻(xiàn)：

《內(nèi)蒙古信息技術(shù)教學(xué)研究論文集》于顯雙 東北師范大學(xué)出版社