解答中學(xué)數(shù)學(xué)問題的步驟與要求

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的例題和習(xí)題在內(nèi)容和形式上雖然因年級(jí)、教材的不同而有所不同，但一般來說，不外是要求根據(jù)已知的條件求得未知的結(jié)果，或者是證明某些已知數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性。前一形式的問題一般稱為計(jì)算題或作圖題；而后一形式的問題一般稱為證明題。

任何形式的數(shù)學(xué)問題涉及的知識(shí)都不可能是單一的，解題過程往往是曲折的。即使對(duì)中學(xué)低年級(jí)來說，要求學(xué)生解答的習(xí)題也經(jīng)常具有這樣的特征。因此，解答數(shù)學(xué)問題必須遵循一定的步驟，符合一定的要求，才能達(dá)到解題教學(xué)的目的。

解答數(shù)學(xué)問題的一般步驟：

1.弄清問題的已知條件，已知數(shù)量之間或已知圖形之間的相互關(guān)系及問題的所求。這在解題過程中稱為題意的掌握或?qū)忣}。

2.回憶與問題有關(guān)的知識(shí)、原理，其中包括數(shù)學(xué)的概念、定理、公式和法則。這在解題過程中稱為知識(shí)的重現(xiàn)。

3.探求解決問題的關(guān)鍵，確定解題的方案。這在解題過程中稱為問題的類化。

4.寫出問題的解答過程。

5.根據(jù)已知條件檢查或驗(yàn)證答案的正確性和合理性。

6.修改解答過程的敘述。

在解題教學(xué)中，教師除了要使學(xué)生掌握上述解題的一般步驟以外，還必須在講解例題或解答習(xí)題時(shí)經(jīng)常體現(xiàn)出以下要求，使學(xué)生懂得解答數(shù)學(xué)問題的深刻含義，受到嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法的訓(xùn)練。

一、問題的答案必須是正確的、合理的

在解題過程中，使學(xué)生養(yǎng)成自我檢查的習(xí)慣，掌握各種檢查或驗(yàn)算的方法，更具有普遍意義。在解題教學(xué)中，檢查和驗(yàn)算既然作為一個(gè)必要的步驟，就必須教會(huì)學(xué)生掌握一些最基本的檢查和驗(yàn)算的途徑和方法。例如在解方程時(shí)將求得的解代入原方程；用不同的計(jì)算公式重復(fù)求解；運(yùn)用逆運(yùn)算進(jìn)行驗(yàn)算；作一精確的圖形來驗(yàn)證幾何問題的解答，等等。檢查和驗(yàn)算的途徑和方法是多種多樣的。教師在講解例題時(shí)，必須利用一切機(jī)會(huì)，采用一切可能的手段來保證解答的正確性，從而使學(xué)生在解題時(shí)也能學(xué)習(xí)運(yùn)用這些方法，從而確定自己的解答是沒有錯(cuò)誤的。目前，許多學(xué)生在解題時(shí)，尤其是在進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算后，對(duì)自己的計(jì)算結(jié)果不確定而依賴于與同學(xué)核對(duì)答案。對(duì)于這種情況，教師必須堅(jiān)持嚴(yán)格要求，使學(xué)生養(yǎng)成自我檢查的習(xí)慣。

二、解答要有充分的根據(jù)

學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往不能做到言必有據(jù)，或者是以直觀代替證明，或者是由于疏漏，以致問題的解答結(jié)論雖然是正確的，但未能以充分的理由為根據(jù)。

例如：在學(xué)生的作業(yè)中經(jīng)常出現(xiàn)與下述解題過程類似的敘述：

如圖1，已知PA與⊙O相切，在⊙O上取一點(diǎn)B，使PB=PA，連接PB，OB，于是∠PBO=90°。

雖然敘述過程反映的圖形屬性是正確的，但不足以說明∠PBO=90°的判斷有充分的根據(jù)。

數(shù)學(xué)問題的解答，無論是論證還是計(jì)算，都應(yīng)該做到言必有據(jù)，理由充足。后一步推演都應(yīng)該以前一步推演的成立為前提。這一種嚴(yán)格的要求應(yīng)首先體現(xiàn)于教師的講解和板演之中。只有當(dāng)教師解題是一貫嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，學(xué)生才有可能形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和思考問題的方式。

三、問題的答案必須是詳盡的

數(shù)學(xué)問題的答案往往不是唯一的。在解答時(shí)要根據(jù)問題的條件，考慮可能出現(xiàn)的各種特殊情形，從而求出所有的解。

這些問題的解答的各種情形，都取決于對(duì)問題條件的全面考慮。一般在中學(xué)高年級(jí)階段出現(xiàn)的某些數(shù)學(xué)問題是經(jīng)常提出這種要求的，但達(dá)到這種要求的訓(xùn)練卻應(yīng)該在初中階段就開始。例如：在學(xué)習(xí)平面幾何的階段，有可能在三角形的作圖題的教學(xué)中，使學(xué)生懂得“討論”的必要性和怎樣進(jìn)行討論。然而就目前的教材來說，進(jìn)行這方面的系統(tǒng)訓(xùn)練為時(shí)過晚。

四、解題方法力求簡(jiǎn)捷

在解題教學(xué)中，教師通常比較重視向?qū)W生介紹一般解題方法，揭示一般的解題規(guī)律。這對(duì)于學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能是有根本意義的。但對(duì)于某些特殊方法的運(yùn)用也必須十分重視。因?yàn)樘厥夥椒ㄈ匀皇菃栴}本身的因果聯(lián)系的反映，只是需要更靈活地運(yùn)用知識(shí)，一般學(xué)生不易發(fā)現(xiàn)，因而顯得更可取。

例如：三角恒等式tanA tanB tanC=tanA+tanB+tanC（A+B+C=π）的證明通常是先將正切轉(zhuǎn)化為正弦和余弦的比，然后進(jìn)行推證。這是一般的證明方法。但如果由tan（A+B）=tan（π-C）利用和角的正切公式來推導(dǎo)，證明過程將簡(jiǎn)便得多。因此，在解題教學(xué)中，教師既要使學(xué)生牢固掌握一般的解題方法，又要使學(xué)生具有對(duì)各種特殊問題應(yīng)用各種特殊方法的本領(lǐng)。

五、注意問題條件與結(jié)論的推廣

數(shù)學(xué)問題的解答時(shí)常由于一些特殊情形的討論，經(jīng)過條件或結(jié)論的推廣，進(jìn)而得出具有一般性的解法。

例如：由A+B+C=π，可證得sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC。若進(jìn)一步考慮條件的推廣，將A+B+C=π改為A+B+C=nπ（n為整數(shù)），則可證得sin2A+sin2B+sin2C=（-1）■4sinA sinB sinC，證明方法并無原則上的改變。

又如：由A+B+C=π，可證得tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC，若進(jìn)一步考慮結(jié)論的推廣，則利用相同的解法還可證得tan nA+tan nB+tan nC=tan nA·tan nB·tan nC，n是整數(shù)。

對(duì)于個(gè)別數(shù)學(xué)問題考慮條件與結(jié)論的推廣，對(duì)學(xué)生掌握解題規(guī)律，發(fā)展數(shù)學(xué)思維都有積極意義。但教師對(duì)這一類問題必須慎重選擇，決非任何問題都加以任意推廣。有些問題雖然可以推廣條件或結(jié)論，但不一定在教學(xué)上有積極的意義。

六、解題過程的敘述應(yīng)合乎邏輯

數(shù)學(xué)問題的解答過程雖不必規(guī)定唯一的敘述形式，但應(yīng)有統(tǒng)一的要求，即敘述形式應(yīng)合乎邏輯。無論是簡(jiǎn)略的敘述或是詳細(xì)的敘述都應(yīng)該有條不紊地寫出主要的判斷過程，并且交代使每一個(gè)判斷成立的前提。因此，教師在講解例題時(shí)所做的示范，主要在于說明哪些步驟是必須交代的，哪些步驟是可以省略的。對(duì)于低年級(jí)的學(xué)生或是對(duì)于比較熟悉的解題形式的運(yùn)用，則應(yīng)使學(xué)生能夠掌握敘述上的取舍。應(yīng)要求學(xué)生參照教材中的范例或教師的示范，改進(jìn)自己的解題的敘述。尤其是在高年級(jí)階段的解題教學(xué)中，邏輯表達(dá)能力的培養(yǎng)不能拘泥于某種規(guī)格，而應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立的表達(dá)能力，使他們主動(dòng)考慮如何合乎邏輯地、條理清晰地、簡(jiǎn)明扼要地?cái)⑹鲎约旱慕忸}過程。