用數(shù)學(xué)思想方法解高考三角函數(shù)題

摘 要： 三角函數(shù)是基本的初等函數(shù)之一，它涉及的公式多、變化多，是初等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容.本文通過(guò)分析歷年高考數(shù)學(xué)題中出現(xiàn)的三角函數(shù)題，闡述如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類(lèi)與整合等基本的教學(xué)思想方法解高考函數(shù)題.

關(guān)鍵詞： 三角函數(shù) 高考題 數(shù)學(xué)思想方法

縱觀(guān)近幾年的高考數(shù)學(xué)試題不難發(fā)現(xiàn)，三角函數(shù)問(wèn)題在每年高考中都分別有一道考查三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的選擇題、填空題和解答題，分值約占總分的15%，一般是結(jié)合實(shí)際，利用三角變換考查三角函數(shù)性質(zhì).雖然三角函數(shù)涉及的公式多、變換多，但不可否認(rèn)的是，在高考中三角函數(shù)問(wèn)題相對(duì)簡(jiǎn)單，較容易得分.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《新課標(biāo)》）明確提出在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要讓學(xué)生記住一些數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、掌握一些數(shù)學(xué)的基本技能，而且要讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的思想，積累數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面我將結(jié)合高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)的主要題型，論述數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)換思想和分類(lèi)與整合思想在解高考三角函數(shù)問(wèn)題中的運(yùn)用.

一、數(shù)形結(jié)合思想

所謂數(shù)形結(jié)合思想，就是通過(guò)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，對(duì)不易解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題借助圖形來(lái)解決.華羅庚先生說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事非?！睂?duì)數(shù)形結(jié)合解題技能進(jìn)行了精辟論述.通過(guò)對(duì)三角函數(shù)整體章節(jié)內(nèi)容及普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）的分析發(fā)現(xiàn)，三角函數(shù)實(shí)際上是平面圖形知識(shí)和函數(shù)知識(shí)的有效結(jié)合.因此，學(xué)生在解決高考三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)，首先要樹(shù)立數(shù)形結(jié)合思想，將三角函數(shù)看成是平面圖形和代數(shù)的結(jié)合體，利用“數(shù)”的精確性和“形”的直觀(guān)性，進(jìn)行三角函數(shù)問(wèn)題的有效解答.

在高考中，選擇題和填空題的特點(diǎn)（即只需寫(xiě)出結(jié)果而無(wú)需寫(xiě)出過(guò)程），為考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想提供了方便，能突出考查學(xué)生將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀(guān)的平面圖形的問(wèn)題解決意識(shí).而高考解答題要求寫(xiě)出解答過(guò)程，需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，對(duì)數(shù)量關(guān)系問(wèn)題的研究以代數(shù)為主，因此在高考解答題中對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的考查以“形”到“數(shù)”為主.

例1：（2012浙江理科4）把函數(shù)y=cos2x+1的圖像上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖像是（ ）

評(píng)定：本題是三角函數(shù)的圖像變換問(wèn)題，首先需要回顧一下三角函數(shù)圖像變換的規(guī)律：（1）平移變換：①沿x軸平移，按“左加右減”法則；②沿軸平移，遵循“上加下減”法則.（2）伸縮變化：①沿x軸伸縮時(shí)，橫坐標(biāo)x伸長(zhǎng)（0<ω<1）或縮短（ω>1）為原來(lái)的■倍（縱坐標(biāo)y不變）；②沿y軸伸縮時(shí)，縱坐標(biāo)y伸長(zhǎng)（A>1）或縮短（0

二、函數(shù)與方程思想

函數(shù)的思想是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀(guān)點(diǎn)、集合與對(duì)應(yīng)的思想，分析和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題得以解決；方程思想是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中的變量間的等量關(guān)系，從而建立方程或方程組或者構(gòu)造方程，通過(guò)解方程和方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使題得以解決.在高考試卷中，三角函數(shù)中的最值問(wèn)題有時(shí)候可轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題解決.

三、等價(jià)轉(zhuǎn)換思想

通過(guò)某種變化和手段，變換問(wèn)題的角度，使較難的三角問(wèn)題變得容易解決；在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要采用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將難解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題，將未解決問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決問(wèn)題.三角函數(shù)涉及的公式多、變化多，運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想可以把復(fù)雜的含三角函數(shù)的式子轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的式子.

點(diǎn)評(píng)：等價(jià)轉(zhuǎn)換思想是最重要的數(shù)學(xué)思想之一，本題就是利用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，結(jié)合正切函數(shù)的兩角和公式，將未解決問(wèn)題（tan（α+β）的值）轉(zhuǎn)換為已解決問(wèn)題（tanα+tanβ，tanα·β的值）.

四、分類(lèi)與整合思想

解題時(shí)，我們常常遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統(tǒng)一的方法、統(tǒng)一的式子繼續(xù)進(jìn)行了，因?yàn)檫@時(shí)被研究的問(wèn)題包含多種情況，這就必須在條件所給出的總區(qū)域內(nèi)，正確劃分若干個(gè)子區(qū)域，然后分別在各個(gè)子區(qū)域內(nèi)進(jìn)行解題，當(dāng)分類(lèi)解決完這個(gè)問(wèn)題后，還必須進(jìn)行綜合歸納，因?yàn)槲覀冄芯康漠吘故沁@個(gè)問(wèn)題的整體，這就是分類(lèi)與整合的思想.有分有合，先分后合，不僅是用分類(lèi)與整合的思想解決問(wèn)題的主要過(guò)程，而且是這種思想方法的本質(zhì)屬性.近幾年，高考題對(duì)分類(lèi)與整合的思想考查主要有：（1）有沒(méi)有分類(lèi)意識(shí)，遇到該分類(lèi)的問(wèn)題，是否想到分類(lèi)；（2）如何分類(lèi)，分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)是否統(tǒng)一，分類(lèi)有沒(méi)有不重不漏；（3）分類(lèi)之后如何解題，各類(lèi)的討論有沒(méi)有越級(jí)；（4）分類(lèi)討論后，有沒(méi)有整合，以及如何整合.

近年來(lái)高考數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的要求越來(lái)越高，這對(duì)高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的教學(xué)提出了新的要求.為使學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解高考三角函數(shù)問(wèn)題，教師應(yīng)該在教學(xué)中注意以下幾點(diǎn)：（1）利用三角函數(shù)是平面圖形與函數(shù)的有效結(jié)合體，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想；（2）利用三角函數(shù)是特殊的函數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生用函數(shù)與方程的思想；（3）利用三角函數(shù)公式多、變換多的特性，培養(yǎng)學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想；（4）利用三角函數(shù)的豐富性，培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)與整合的思想.對(duì)于一些復(fù)雜的三角函數(shù)問(wèn)題，有時(shí)需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法才能解決.數(shù)學(xué)思想方法是解決一切數(shù)學(xué)問(wèn)題的通法，數(shù)學(xué)教育的價(jià)值體現(xiàn)于數(shù)學(xué)的基本思想，數(shù)學(xué)文化的核心體現(xiàn)于數(shù)學(xué)的基本思想，學(xué)生一旦熟練地掌握了各種數(shù)學(xué)思想方法，就能以更廣的視角審視、理解和解答數(shù)學(xué)問(wèn)題.

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