一個最值問題的多角度探究與推廣

題目：直線l經(jīng)過點P（2，1），且分別交x軸、y軸的正半軸于AB點，O為坐標原點，試求△AOB面積最小時直線l的方程.

在很多輔導(dǎo)書中都可看到與上例類似的題目.為此本文將在探究其多種處理方法的基礎(chǔ)上，予以一般意義上的推廣.

一、提出問題

問題1：最值型問題的一種常見處理方法是引進自變量構(gòu)建函數(shù)，借助于函數(shù)最值的探求來使得問題獲解.若將直線l的斜率k作為自變量，那么能建立起函數(shù)解析式，并使得問題得到解決嗎？

問題2：由于目標量——△AOB的面積易用截距表示，因此，若將直線方程設(shè)為截距式，則問題轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)在限定條件下的最值問題.按照此思路是否會簡單些呢？

問題3：考察P（2，1）在線段AB上的位置特點，你有何發(fā)現(xiàn)？能據(jù)此得到此題的一種純幾何解法嗎？

問題4：你能將此問題及其結(jié)論推向一般化嗎？

于是可知，當P為AB的中點時，△AOB的面積取得最小值.據(jù)此可以求得，當直線方程為x+2y-4=0時，面積取得最小值4.

推廣結(jié)論1：設(shè)P為第一象限內(nèi)一點，經(jīng)過P的直線在第一象限被坐標軸所截得的三角形面積最小，當且僅當P為所截線段中點.

推廣結(jié)論2：設(shè)P為∠AOB內(nèi)一點，經(jīng)過P的直線在內(nèi)被角的兩邊所截得的三角形面積最小，當且僅當P為所截線段的中點.