“數(shù)”與“形”融為一體

華羅庚先生曾指出：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非?！庇纱丝梢?，數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的重要地位，它是數(shù)學(xué)思想方法的核心。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合能不失時(shí)機(jī)地為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧?，可以將抽象的?shù)量關(guān)系具體化，把無(wú)形的解題思路形象化，不僅有利于學(xué)生順利的，高效率的學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)，智力的開發(fā)，能力的增強(qiáng)，使教學(xué)收到事半功倍之效。

一、由數(shù)想形

所謂由數(shù)想形即利用數(shù)的計(jì)算來(lái)揭示幾何形體的特征及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題中“數(shù)”的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用幾何圖形的特征，規(guī)律來(lái)研究解決問(wèn)題，可以化抽象為直觀，易于顯露出問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中對(duì)于不同的問(wèn)題，可將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不同的圖形。其中有一個(gè)原則：能把數(shù)量關(guān)系最清晰、最直接地顯示出來(lái)的圖形，是我們最佳的選擇。

例1：講數(shù)字3時(shí)，用3根小棒擺成三角形，講4時(shí)，用4根小棒擺成正方形。這樣處理，既有利于學(xué)生通過(guò)直觀實(shí)物抽象出數(shù)字3和4，也有利于學(xué)生初步認(rèn)識(shí)這些圖形的某一特征（如三角形有三條邊，正方形有四條邊）。通過(guò)數(shù)形結(jié)合探索規(guī)律可以培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力，發(fā)展思維的創(chuàng)造性。出題目時(shí)要注意多層次，以便于區(qū)分學(xué)生的不同思維水平。

（l）照下圖的樣子用小棒連著擺正方形。

□□ 擺2個(gè)用（ ）根

□□□ 擺3個(gè)用（ ）根

□□□□ 擺4個(gè)用（ ）根

（2）連著擺6個(gè)正方形，要用（ ）根小棒，寫出算式。

（3）如果不數(shù)小棒，你能找出一般的計(jì)算公式嗎？

此題有3個(gè)層次，第1小題是通過(guò)直觀進(jìn)行計(jì)算，第2小題離開直觀進(jìn)行計(jì)算，第3小題脫離具體計(jì)算概括公式。實(shí)驗(yàn)表明，學(xué)生的答案呈現(xiàn)不同的思維水平。例如，有的學(xué)生第2小題就做錯(cuò)了，有的學(xué)生第2題雖然做對(duì)，但不會(huì)在此基礎(chǔ)上概括出一般計(jì)算公式。

一位教師出了這樣一個(gè)題目：“某車間用一塊長(zhǎng)90分米、寬60分米的鐵皮剪成半徑是10分米的圓形鐵片，該怎樣下料才能使鐵皮的利用率最高？”

結(jié)果多數(shù)學(xué)生列成下式：90×60÷（3.14×102）≈17個(gè)；部分學(xué)生通過(guò)畫圖（左下圖）得到答案是12個(gè)；還有一部分學(xué)生通過(guò)操作（如右下圖）得到答案是13個(gè)。

通過(guò)討論，學(xué)生認(rèn)識(shí)到最后一種方法利用率高，而第一種計(jì)算方法是脫離了實(shí)際。通過(guò)這樣的問(wèn)題使學(xué)生初步體會(huì)到在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)絕不能生搬硬套所學(xué)的計(jì)算知識(shí)，還要注意對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行具體分析。

二、見形思數(shù)

“見形思數(shù)”的核心是將形的變化抽象為數(shù)學(xué)符號(hào)。某些有關(guān)幾何圖形性質(zhì)的問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，借助代數(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算或向量運(yùn)算，?？苫y為易，獲得簡(jiǎn)單易行的解題方案。

如，平行四邊形的面積公式是根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式推倒出來(lái)的。教學(xué)時(shí)可分三步走，首先教學(xué)生用數(shù)方格的方法來(lái)學(xué)習(xí)求平行四邊形的面積。接著引導(dǎo)學(xué)生操作，運(yùn)用割補(bǔ)，平移的方法，把一個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化為一個(gè)與它面積相等的長(zhǎng)方形。然后通過(guò)觀察思考分析推理，讓學(xué)生找出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與原平行四邊形的底和高的關(guān)系，從而推導(dǎo)出平行四邊形的面積計(jì)算公式。通過(guò)平移轉(zhuǎn)化的方法把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)，以舊引新，使學(xué)生既學(xué)會(huì)了新知識(shí)又復(fù)習(xí)了舊知識(shí)。

眾所周知，小學(xué)生從形象思維向抽象思維發(fā)展，一般來(lái)說(shuō)需要借助于直觀。

中年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)“求比一個(gè)數(shù)的幾倍還多幾（少幾）”的應(yīng)用題時(shí)，學(xué)生對(duì)“幾倍多幾”或“幾倍少幾”較難理解，為突破這個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，設(shè)計(jì)了下面的圖形：

結(jié)合圖形，讓學(xué)生說(shuō)，有6個(gè)□，△的個(gè)數(shù)比□的3倍還多4個(gè)；也可以說(shuō)，有6個(gè)□，△的個(gè)數(shù)比□的4倍少2個(gè)；

接著，出示下面的問(wèn)題：

（1）□有6個(gè)，△比□的3倍多4個(gè)，△有多少個(gè)？算式：6×3+4=22個(gè)

（2）□有6個(gè)，△比□的4倍少2個(gè)，△有多少個(gè)？算式：6×4-2=22個(gè)

比較兩題的算法，都要分兩步。第一步先求整倍是多少；第二步再加上倍相差的數(shù)。教學(xué)時(shí)不妨把這兩個(gè)相關(guān)的內(nèi)容結(jié)合起來(lái)一起教，并借助圖形的幫助，學(xué)生更容易理解，學(xué)生的思維也更靈活。如自編應(yīng)用題時(shí)，有的學(xué)生編了：“皮球的個(gè)數(shù)比足球的4倍少3個(gè)，也就是比足球的3倍多2個(gè)，皮球有多少個(gè)？”這題編得富有創(chuàng)造性，如果沒(méi)有圖形的幫助，這樣的教學(xué)效果也是不可能達(dá)到的。

解題經(jīng)驗(yàn)告訴我們，當(dāng)尋找解題思路發(fā)生困難時(shí)，不妨從數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)去探索；當(dāng)解題過(guò)程的復(fù)雜運(yùn)算使人望而生畏時(shí)，不妨從數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)去開拓新路；當(dāng)需要檢驗(yàn)結(jié)論正確時(shí)，不妨從數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)去驗(yàn)證，它常會(huì)給我們帶來(lái)滿意的效果。

數(shù)學(xué)研究的是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，而現(xiàn)實(shí)世界本身是同時(shí)兼?zhèn)鋽?shù)與形兩種屬性的，既不存在有數(shù)無(wú)形的客觀對(duì)象，也不存在有形無(wú)數(shù)的客觀對(duì)象。因此，在數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中，數(shù)和形常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下互相轉(zhuǎn)化。人們總是充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（作者單位：浙江省義烏市廿三里第二小學(xué)）