淺談數(shù)學(xué)難點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)

確切地確定并成功地突破教學(xué)難點(diǎn)是提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。那么，如何確定又怎樣突破教學(xué)難點(diǎn)呢？我認(rèn)為，這不僅是一個方法問題，還是一個教學(xué)思想問題。中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，有不少知識使學(xué)生學(xué)起來感到困難。一般地說，這些困難是由于在學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和新知識的要求之間存在著一定的差距引起的。解決難點(diǎn)的過程，就是縮小和消滅差距的認(rèn)知過程。本文淺析形成難點(diǎn)的原因，從而提出解決難點(diǎn)的方法。

一、形成難點(diǎn)的幾種主要因素

在教學(xué)過程中，常見的形成難點(diǎn)的主要因素有：

1.知識的本身抽象而學(xué)生的具體經(jīng)驗(yàn)少

例如在講述數(shù)列極限定義時，對于無窮數(shù)列an=■

當(dāng)n無限增大時an的極限值為0，是以怎樣的方式接近，又以怎樣的形式體現(xiàn)，產(chǎn)生學(xué)習(xí)上的困難。

2.知識的精深而學(xué)生基礎(chǔ)知識淺薄

例如復(fù)數(shù)的概念學(xué)生不宜接受。虛數(shù)單位i則是從解二次方程的需要出發(fā)而給出的，i2=-1比較抽象。此外，復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)等概念也容易混淆，特別是復(fù)數(shù)的開方推導(dǎo)過程比較復(fù)雜，學(xué)生學(xué)起來很吃力，達(dá)不到形成能力的目的，因而產(chǎn)生困難。

3.知識的容量大，而學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握殘缺不全

例如用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題時，由假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立的遞推基礎(chǔ)去推證當(dāng)n=k+1時命題亦成立，往往用到多方面的知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化，學(xué)生一時難以融合各方面的知識而產(chǎn)生困難。

4.知識的內(nèi)部結(jié)構(gòu)錯綜復(fù)雜，而學(xué)生的分析綜合推理能力薄弱

例如三角函數(shù)的公式紛繁復(fù)雜，如果沒有相當(dāng)熟練地技能，就易感于表面的現(xiàn)象而不能產(chǎn)生正確的解題思路。

5.知識由舊到新，而學(xué)生的認(rèn)識守舊，沒有真正理解新知識的本質(zhì)，產(chǎn)生困難

例如數(shù)的概念由實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集后，并不是實(shí)數(shù)集所有性質(zhì)復(fù)數(shù)集都具有，而出現(xiàn)對于x∈c，x2≥0，x1=（x3）■這樣的錯誤。

6.對重要的數(shù)學(xué)思想方法沒有真正掌握

整體處理法、數(shù)學(xué)歸納法、分析綜合法……等方法在數(shù)學(xué)解題中占有相當(dāng)重要的地位，而學(xué)生卻沒有真正掌握，產(chǎn)生困難。

7.思維單一，方法死板

在解題過程中，知識的實(shí)質(zhì)比較隱蔽，而學(xué)生又喜歡從表面上著眼，一味以陳規(guī)考慮問題，如一見到題目，不管三七二十一，就用傳統(tǒng)的方法求解問題，限制了思維的擴(kuò)展，如求方程x■+2■=17的整數(shù)解，學(xué)生拿到題目后，往往采用兩邊同時平方的方法，進(jìn)而產(chǎn)生高次方程，不利于求解，若轉(zhuǎn)向考慮x的取值范圍是整數(shù)以及整數(shù)的性質(zhì)，通過解不等式組5x+1≥0x■≤17得x=0，1，2，3，4，又因2■是偶數(shù)，17是奇數(shù)，要使方程有整數(shù)解，x2即x必須為奇數(shù)，所以x=1或x=3，經(jīng)驗(yàn)證，x=3是原方程的解。

8.“語言不通”產(chǎn)生困難

用數(shù)學(xué)的特定含義的詞句或符號表示的語言，我們稱為數(shù)學(xué)語言。數(shù)學(xué)語言具有敘述簡練，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，推理嚴(yán)密和表達(dá)抽象。某些字詞具有特定含義等特點(diǎn)，如兩個集合并集概念A(yù)∪B=x∈A或x∈B中的“或”與自然語言中的“或”是不相同的，自然語言中的“或”是作“不可兼有”理解，如甲去或乙去，應(yīng)是甲去且乙不去、乙去且甲不去中兩者之一成立。而并集概念中的“或”作“可兼有”理解，即有三種可能：甲去乙不去、乙去甲不去、甲乙都去，也就是甲乙中至少有一人去。正是數(shù)學(xué)語言的這些特點(diǎn)，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)上的困難。

二、解決難點(diǎn)的方法

針對上述形成難點(diǎn)的原因，相應(yīng)地有以下一些解決難點(diǎn)的方法：

1.豐富知識，積累經(jīng)驗(yàn)，由感性認(rèn)識逐步過渡到理性認(rèn)識

2.由淺到深、由粗到精、循序漸進(jìn)，逐步上升

如教授對應(yīng)、映射、函數(shù)、一一映射；逆映射、反函數(shù)等概念時；我們要一一講清各個概念，分析其間的區(qū)別與聯(lián)系，使學(xué)生真正理解各個概念，消除難點(diǎn)。

3.溫舊補(bǔ)缺，打好基礎(chǔ)

如在講授不等式的解法時，我們首先應(yīng)復(fù)習(xí)一下一元二次函數(shù)、一元二次方程，一元一次方程等有關(guān)知識，以便在解一元二次不等式時能借助一元二次函數(shù)圖像直觀、準(zhǔn)確、迅速地給出解答。

4.由淺入深，各個擊破

在求數(shù)列的通項(xiàng)公式一節(jié)時，有題：寫出數(shù)列7，77，777，7777……的通項(xiàng)公式。可先將數(shù)列改寫為7×1，7×11，7×111……進(jìn)一步寫成7×■，7×■，7×■……而數(shù)列9，99，999……的通項(xiàng)公式學(xué)生已很熟知。這樣就層層降低了解題難度。進(jìn)而寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=■（10n-1）（n∈N+）

5.左右襯托，相輔相成，突出本質(zhì)

例如用分析法證明問題時，有的學(xué)生要在分析完畢時加上“以上推理步步可逆“，判斷原命題得證。自以為該題證得完美，而并不去認(rèn)真地審視推理過程中的每一步是否真的可逆；對于不可逆的，我們通常用綜合敘述的方法來補(bǔ)分析法之不足，這亦是人們所說分析綜合法之優(yōu)勢。

6.揭露新舊概念的聯(lián)系與區(qū)別

例如在數(shù)的概念由實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集后，實(shí)數(shù)集的性質(zhì)復(fù)數(shù)集并不全部具有，但由于學(xué)生受實(shí)數(shù)集內(nèi)解題的“定勢思維”的影響，往往會不自覺地把實(shí)數(shù)集的性質(zhì)、法則及解題方法應(yīng)用到復(fù)數(shù)集中去，產(chǎn)生錯誤，數(shù)學(xué)中應(yīng)通過一些典型例題，加深學(xué)生對復(fù)數(shù)概念和性質(zhì)的理解，從而對實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)的性質(zhì)有一個鮮明的對比，有一個整體的認(rèn)識。

總之，在處理教學(xué)難點(diǎn)時，要樹立正確的教學(xué)觀，充分發(fā)揮它的正效應(yīng)；在策略上，要圍繞克服認(rèn)知難點(diǎn)這個總?cè)蝿?wù)來積極攻克知識難點(diǎn)。當(dāng)然，本文強(qiáng)調(diào)教學(xué)難點(diǎn)的積極作用，并不是主張問題越難越好。因?yàn)榻虒W(xué)難點(diǎn)的處理，都必須符合知識結(jié)構(gòu)與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的科學(xué)規(guī)律，遵循力所能及的原則。只有這樣，才能收到良好的效果。

（作者單位：新疆奎屯七師職業(yè)技術(shù)學(xué)校）