類比推理讓規(guī)律探究更深入
——由一則教學(xué)案例談起

類比推理讓規(guī)律探究更深入
——由一則教學(xué)案例談起

☉陜西師范大學(xué)出版總社中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考編輯部 潘紅玉

類比是一種數(shù)學(xué)思想，也是數(shù)學(xué)基本方法.它是由數(shù)學(xué)基本思想——“推理”派生而來.按推理過程的思維方向劃分，主要有三種形式，即類比推理、歸納推理和演繹推理.其中類比推理是指將新事物與已知事物之間的某些方面作類似比較，找出它們之間的相同點與相似點，并以此為依據(jù)，把已經(jīng)獲得的知識、方法、理論遷移到新事物中，通過推理等論證方法，推論出它們的其他屬性或規(guī)律，以及可能相同或相似的結(jié)論.類比推理對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高、思維品質(zhì)的改善、創(chuàng)新意識的培養(yǎng)等有著獨特的地位與作用.教學(xué)中若能巧妙運用，有時能起到嚴格的邏輯推理所不能達到的效果.

我們知道，數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生與發(fā)現(xiàn)是經(jīng)過人們大量的艱苦探索得到的.而數(shù)學(xué)規(guī)律由于其內(nèi)在的“無限魅力”更受到人們的景仰與追求！故而，教學(xué)中我們要努力摒棄重復(fù)機械，將學(xué)生的學(xué)習(xí)活動營造為一個不斷探索知識、追求真知的研究性過程，以使學(xué)生在這樣的教學(xué)氛圍中，滿足自己的好奇心和求知欲，并且體會到自己作為一個研究者、發(fā)現(xiàn)者和探索者的成功.而“類比推理”在數(shù)學(xué)規(guī)律探究過程中的應(yīng)用性教學(xué)，非常適合給學(xué)生營造這樣的教學(xué)氛圍.

一、案例及賞析

案例：有多少個三角形？

學(xué)生在小學(xué)已有學(xué)習(xí)三角形的基礎(chǔ)，進入初中后，在八年級上半學(xué)期進一步學(xué)習(xí)了認識三角形的相關(guān)特征后，教師出示了下列問題，引導(dǎo)學(xué)生進行規(guī)律探究：如圖1，下列各個圖形中各有多少個三角形？請說說你的發(fā)現(xiàn)過程.

圖1

（約3分鐘后，師生探討）

教師：括號中依次填的結(jié)果是多少？

學(xué)生1：前面三個填的分別是3、6、10，最后一個無法填出來.老師，三個點表示有多少條線段呢？

教師：你提出了一個很實際的問題.第1個三角形中有1條線段，第2個三角形中有2條線段，第3個三角形中的三個點是數(shù)學(xué)中的省略號，有3條線段，最后一個三角形中的三個點是數(shù)學(xué)中的省略號，表示有n條線段.

學(xué)生（眾）：老師，我們還沒有計算出來.

教師：好，那么請同學(xué)們說說前三個結(jié)果是如何得到的？

學(xué)生2：老師，我是一個一個地數(shù)出來的.

教師：你是如何數(shù)的呢？

學(xué)生2：老師，其實我是根據(jù)數(shù)線段的方法數(shù)出來的.

教師：數(shù)線段？好一個類比方法，不錯！那么請你上來示范一下，你是如何數(shù)線段的.

（該生在老師的示意下進行了數(shù)線段示范）

教師：很好，那么同學(xué)們是如何想到數(shù)線段這種方法的？

學(xué)生3：其實很簡單，一條線段就對應(yīng)著一個三角形.線段有幾條，三角形就有幾個.

教師：好一個很簡單，對！一條線段就對應(yīng)著一個三角形.假如三角形內(nèi)有4條線段，此時能夠得到幾個三角形？

學(xué)生3：我想想.嗯，就是15條，15個三角形.

教師：5條呢？

學(xué)生（眾）：5條時，21個.

教師：6條呢？

學(xué)生（眾）：28個.

教師：n條呢？

學(xué)生（眾）：n條是……

學(xué)生4：老師等一會，我們會找到規(guī)律的！

教師：老師相信你們！同學(xué)們不妨在草稿紙上寫一寫、算一算，把結(jié)論推理出來.

（約2分鐘后，部分同學(xué)舉手）

教師：很好！請同學(xué)們說說你們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.

學(xué)生5：我是從具體的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律的.三角形的個數(shù)分別是3，6，10，15，21，28，這樣下去，后面一個是在前面的基礎(chǔ)上相應(yīng)地增加了3，4，5，6，7，按照這樣的規(guī)律下去，最后一個圖形中三角形的個數(shù)就是…….老師，我說不清楚了，我把它寫出來吧.

教師：好，那么就請你上來把具體的過程寫出來.

（該生在黑板上寫出以下過程：設(shè)第n個圖形中三角形的個數(shù)為an，則有：a1=3，a2=a1+3，a3=a2+4，a4=a3+5，…，an=an-1+（n+1），將上述等式左邊分別相加，右邊分別相加，左右兩邊相同的項互相抵消，就得到an=3+3+4+…+ n+（n+1），即an=1+2+3+4+…+n+（n+1），因此可得到an=n+1）（n+2））

案例賞析：三角形個數(shù)問題是一個經(jīng)典的規(guī)律探索性問題.其本質(zhì)上是和“數(shù)線段問題”完全一致的.學(xué)生在洞悉問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上，形象直觀地將“一條線段對應(yīng)一個三角形”這個核心提煉出來.“數(shù)線段問題”早為學(xué)生所熟知，其蘊含的規(guī)律已被學(xué)生所掌握.通過類比，將問題由“數(shù)三角形問題”抽象成“數(shù)線段問題”，這是一次思維層面與深度的飛躍.學(xué)生通過對一系列等式的左右兩邊相加，類比推理并形成最終結(jié)論.教學(xué)中教師始終“站在學(xué)生的背后”，沒有向?qū)W生暗示探索的方向，沒有向?qū)W生提示探索的思路，而有的只是適時的追問與探索時空的充分給予，以及類比思想的有意滲透與類比方法的著意引導(dǎo).學(xué)生在這樣的課堂學(xué)習(xí)中，始終體驗著作為一個探索者不斷探索規(guī)律的樂趣，通過引導(dǎo)類比不斷將規(guī)律探究引向更為深入的思維層面.

二、案例的啟示

1.類比探究教學(xué)中要善于解析知識間的類比本質(zhì)

事物間總是相互聯(lián)系的.作為基礎(chǔ)工具學(xué)科的數(shù)學(xué)更加關(guān)注概念、定理等的聯(lián)系與區(qū)別.教學(xué)中，教師要著力解讀規(guī)律探究問題本身所蘊含的題理與本質(zhì)，找準與此相類似的、學(xué)生熟悉的解決手段或方法，并且尋找相對容易的問題載體，進行類比教學(xué).如本例中，通過“一條線段對應(yīng)一個三角形”這一核心聯(lián)系點，從中解析出問題間的類比本質(zhì).教師利用課堂的隨機發(fā)問引導(dǎo)學(xué)生進行深入的思考與探討，揭示了圖形中所蘊含的內(nèi)在規(guī)律，這為學(xué)生順利完成“有多少個三角形”的規(guī)律探究奠定了基礎(chǔ).其實這類問題與“同一條鐵路線上有n個站，鐵路部門需要論證決定幾種不同的票價”問題的本質(zhì)是一樣的.因此在教學(xué)中教師要善于解析知識內(nèi)在可以類比的本質(zhì)，著力剖析知識間的聯(lián)系點，施以恰當(dāng)?shù)念惐韧评?，從而最終將問題從根本上獲得突破與解決.

2.類比探究教學(xué)中要善于把握類比的教學(xué)時機

數(shù)學(xué)規(guī)律的探究要求學(xué)生能用不同的眼光觀察新事物并從中發(fā)現(xiàn)問題，用自己獨特而個性的思維方式進行探究，進而形成自己的個性化見解.但在探究進程中，由于學(xué)生的知識基礎(chǔ)與探究能力的差距，一定程度上會出現(xiàn)“不知所措”的現(xiàn)象.此時教師該如何恰如其分地進行“出手”引路？如本案例中，當(dāng)學(xué)生回答老師說是一個一個地把三角形數(shù)出來時，老師隨即一問：“你是如何數(shù)的呢？”迫使學(xué)生說出“我是根據(jù)數(shù)線段的方法數(shù)出來的”這個類比關(guān)鍵.而當(dāng)老師問到三角形內(nèi)有n條線段可得到多少個三角形時，學(xué)生一下子“卡殼”了.老師倒是不急，一句“同學(xué)們不妨在草稿紙上寫一寫、算一算，把結(jié)論推理出來”，讓學(xué)生動筆自己來推理得出結(jié)論.由此看來，類比推理教學(xué)時機的把握也是規(guī)律探究教學(xué)中應(yīng)該關(guān)注的一個問題.這種智慧式的類比點撥與推理引導(dǎo)也體現(xiàn)了教師的教學(xué)素養(yǎng).

3.類比探究教學(xué)中要善于推廣探究成果

類比探究數(shù)學(xué)規(guī)律的教學(xué)作為一種題型教學(xué)，其問題本身的解決不是終極目標，而是要把規(guī)律探究過程中所采用的類比推理方法、手段或探究的成果充分運用到后續(xù)的學(xué)習(xí)過程和問題解決之中.在這個轉(zhuǎn)化與運用過程中，教師必須充分考慮學(xué)生的可接受能力，以及學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀與已有的知識、能力基礎(chǔ)，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”與“認知水平基點”上借題發(fā)揮，設(shè)計出讓學(xué)生進一步深入思考、解決的問題，并通過這些問題的跟進分析和解決，一方面鞏固學(xué)生先前通過類比推理所獲得的知識，另一方面也是對規(guī)律探究的成果作進一步拓展運用的新嘗試.如本案例教學(xué)中，教師可作如下的教學(xué)跟進——握手問題：一次會議共有20名代表出席，若每位代表均與另外的代表握手一次，則所有代表一共握手多少次？其他如比賽的總場次問題等都是這一個模型.教學(xué)中要做好這方面的模型提煉，使之成為學(xué)生理解并掌握這一類問題解決的關(guān)鍵.

總之，在規(guī)律探究問題中運用類比推理進行教學(xué)，需要教師課前的精心預(yù)設(shè)、課中的智慧點撥與引導(dǎo)推進、課后的及時跟進與拓展.特別是教學(xué)實施時教師所采取的教學(xué)方式、方法顯得尤為關(guān)鍵.因為類比推理這種思想可使規(guī)律探究教學(xué)實施更能體現(xiàn)出教學(xué)的智慧與高效，更能踐行“充分激發(fā)學(xué)生自主進行探究性學(xué)習(xí)”的理念.

1.顧琰.類比，讓認知自然延伸［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（12）.

2.酈興江.合作融入探究，實現(xiàn)教學(xué)目標有效達成［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2014（12）.H