圖式應(yīng)用問題的典型錯例調(diào)查分析

謝祝

一、問題提出

在一年級第一學(xué)期的期末測試中，有一道圖式應(yīng)用題的錯誤率比較高，題目見下圖。

統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，除了7班的一個學(xué)生用加法4+5=9列式外，其余錯誤的學(xué)生都列式為9-4 = 5，錯誤率達到23.6%。

為什么該題的錯誤那么一致，且錯誤率又那么高呢？對此，筆者從“教材、做錯的學(xué)生、教師”三個方面入手進行了調(diào)查分析。

二、調(diào)查經(jīng)過

（一）對教材的調(diào)查

1.調(diào)查形式

采用訪談及資料查閱的形式。

2.調(diào)查內(nèi)容

（1）有關(guān)應(yīng)用問題的分類及表征形式。

此試題屬于半圖半文式的表示部總關(guān)系的減法應(yīng)用問題。

關(guān)于部總關(guān)系的應(yīng)用問題，有兩種常規(guī)的表達方式，一種是已知總數(shù)及拿去一部分，求剩余的，問題中帶有“還有”“還剩”等典型的詞語，這類應(yīng)用題（下文簡稱此類型應(yīng)用問題為“去掉模式”）一般在一上教材中出現(xiàn)（注：本文中提到的教材為2001年初審?fù)ㄟ^的人民教育出版社出版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，下文簡稱“舊人教版”），如“教室里有10個同學(xué)，走出去了6個，還剩幾個？”另一種是把總數(shù)分成兩部分，已知其中一部分，求另一部分，問題中不出現(xiàn)“還有”“還?！钡鹊湫偷脑~語，這類應(yīng)用題一般在一下教材中出現(xiàn)，如“教室里有10個同學(xué)，6個是男孩，幾個是女孩？”此試題屬于去掉模式的變異形式。

（2）教材出題統(tǒng)計。

人教版數(shù)學(xué)一年級上冊中出現(xiàn)的減法應(yīng)用問題均為全圖或半圖半文應(yīng)用問題，一共出現(xiàn)了29題，其中只有1題可以理解為靜態(tài)的過程，即“一共有8只鴨子，河里有3只，岸上有幾只？”（見圖1）其余的均可理解為動態(tài)的過程，即在表達題意時很明顯地可用上“跳走、拿去、摘了……”表示動態(tài)的詞語，都屬于“已知總數(shù)和去掉的一部分，求剩余的” “去掉模式”這一類型（如圖2、圖3）。

圖1 圖2 圖3

但類似于 “已知總數(shù)和剩余的，求去掉部分”這一類型的題在教材中的出現(xiàn)率為0%。在配套的作業(yè)本中，這一類型的題的出現(xiàn)率也為0%。

（二）對學(xué)生的訪談

1.對學(xué)生進行再測試

因為典型錯題是在第一學(xué)期期末測試中發(fā)現(xiàn)的，對學(xué)生的訪談需在第二學(xué)期開學(xué)初完成，中間相隔近30天?？紤]到期間教師對期末試卷進行了講評，或?qū)W生受家長及他人輔導(dǎo)，對了解學(xué)生當(dāng)時解題時的真實想法有所影響，因此，在開學(xué)第一天，筆者又對全年級的365名學(xué)生進行了一次針對性的測試，試題如下：

測試結(jié)果：第2、3題的錯誤很不統(tǒng)一，主要是算錯或數(shù)錯，錯誤率分別為8.8%與3.6%。

第1、4題的錯誤率明顯高于第2、3題，而且錯誤較為統(tǒng)一。如第1題，主要錯誤是列式為10-7=3，該錯誤率達到25.5% 。第4題，主要錯誤是列式為9-5=4，該錯誤率達到21.9%。

2.對學(xué)生進行訪談

那么，學(xué)生究竟是怎么思考的呢？筆者對期末測試與這次測試中第1、4題都錯誤的學(xué)生（共36名）進行了訪談，考慮到學(xué)生的答卷會影響學(xué)生的回答，教師出示的均為空白題。

訪談內(nèi)容主要為圖4至圖7，有的學(xué)生只回答1幅圖，有的學(xué)生根據(jù)需要回答2到4幅圖。

圖4

圖5

圖6

圖7

教師提問以下幾個問題：①這一題怎么做？②請說說這幅圖的意思。③問題是什么？④為什么這樣列式？⑤可不可以列式為9-4=5？為什么？視學(xué)生回答情況，教師可將問題的順序進行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。

訪談過程如下：

（1） 是否自覺地先說圖意。（注：共訪談錯誤學(xué)生36名，其中教師讓2名學(xué)生直接先說圖意，因此不計入表內(nèi)）

Ⅰ：表示解答時能主動地先說圖意。

Ⅱ：表示解答時就直接列式。

（2）題意表達情況統(tǒng)計。

A：表示題意表達完全正確。

B：表示題意表達基本正確，但不流利、不完整。

C：表示題意表達錯誤。

D：表示不會表達題意。

（3）對C類題意表達錯誤的學(xué)生進行再分類統(tǒng)計。

a：表示一開始理解為圖1中的4只蝴蝶即飛走的只數(shù)或圖2中的5個漢堡即吃了的個數(shù)。

b：表示其他。

c：表示沒回答。

（4）列式正誤人數(shù)統(tǒng)計。

（5） 題意表達與列式是否正確的統(tǒng)計。

A1：題意表達正確列式正確的。

B1：題意表達正確列式錯誤的。

C1：題意表達錯誤列式正確的。

D1：題意表達錯誤列式錯誤的。

E1：不會表達題意，列式正確的。

（注：B1類的11名學(xué)生題意都理解正確，但算式中的減數(shù)都表示為吃了的數(shù)或飛走的數(shù)；C1類的17名學(xué)生都把題意理解成“一共有9只蝴蝶，飛走了4只，還剩幾只”或“一共有9個漢堡，吃了5個還剩幾個”）

（6）對30名學(xué)生確定減數(shù)的原因進行統(tǒng)計。（有6名學(xué)生訪談時沒有涉及這個問題）

a1：表示減去的數(shù)為飛走的或吃了的。

b1：表示 9-5或9-4都可以。

c1：表示說不清理由的。

d1：表示理由正確，要減去已知的。

3.訪談結(jié)果

（1）只有44.1%的學(xué)生看到題后先主動表達題意，總的來說，學(xué)生主動表達題意的意識不夠強。

（2）有50%的學(xué)生在表達題意時習(xí)慣套用“去掉模式”，即不區(qū)別圖中的已知與未知部分，統(tǒng)一表達成“已知總數(shù)與去掉部分，求剩余部分”這樣的格式。

（3）有80%的學(xué)生認(rèn)為不管“去掉部分”是否已知，在列減法時，減數(shù)必須表示“去掉部分”。

（三）對教師的問卷調(diào)查

為了了解教師對該類應(yīng)用問題的教學(xué)情況，特對全校數(shù)學(xué)教師進行了問卷調(diào)查。

1.需教師回答的問題

（1）關(guān)于下面的例題（一年級上冊），您將如何引導(dǎo)學(xué)生思考解答？（寫出主要的思考步驟即可）

（2）您還會出哪些相關(guān)的練習(xí)題？（至少出兩題）

2.答卷統(tǒng)計

（1）從第1題的答卷情況看，有25位教師都要求學(xué)生先看圖，說圖意，占96.2%。主要可分三種情況：

第一種，教師提問：“14只是什么意思？在圖中飛的2只是什么意思？要我們求什么？”共有9人，占34.6%。

第二種，教師引導(dǎo)：“從圖中你知道了什么？問題是什么？用三句話連起來說說圖意（即口頭形成文字應(yīng)用問題）。”共有7人，占26.9%。

第三種，教師引導(dǎo)：“請用三句話說出這幅圖的意思?！惫灿?人，占7.7%。

第四種，教師引導(dǎo)：“請用三句話說出這幅圖的意思。題中哪兩個是條件，哪一個是問題？” 共有7人，占28%。

（2）從第2題的調(diào)查情況看，有24名教師編的都是求“已知總數(shù)和去掉部分，求剩余部分”或“已知總數(shù)與一部分，求另一部分”的題，只有2名教師編出了“已知總數(shù)和剩余部分，求去掉的”習(xí)題，僅占7.7%。

3.調(diào)查結(jié)果

（1）對于新教材的教學(xué)，教師往往由于缺少主流的教學(xué)方法的引導(dǎo)，各自為戰(zhàn)，結(jié)果參差不齊，對于什么該教、教到何種程度，大家認(rèn)識不一。

（2）整個教學(xué)設(shè)計 缺少檢驗的環(huán)節(jié)。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，多數(shù)教師都存在著這樣一種陳舊的觀念：一年級解決問題不用寫“答”，到二年級了，才要求學(xué)生在算式的得數(shù)后寫上單位名稱，才要求學(xué)生在計算后寫上答案，如“答：吃了4個”。這樣的認(rèn)識是因為教師把寫答看成了一種形式，并沒有理解這種做法的真正意義。他們可能不知道在一年級不要求寫“答”，是因為學(xué)生的書寫能力達不到，而非不用檢查。

（3）通過編習(xí)題可以發(fā)現(xiàn)，教師改編教材的能力較弱。因此，在調(diào)查中一些一年級的教師常常埋怨此題超出了教學(xué)范圍，也就不足為怪了。

三、歸因分析

綜合以上教材、學(xué)生、教師三方面的調(diào)查，筆者認(rèn)為，該題的主要錯因是學(xué)生的思維受到了“去掉模式”的影響，教材編的題是“去掉模式”的，教師出的練習(xí)是“去掉模式”的，而學(xué)生的思維也是“去掉模式”的。眾所周知，一年級學(xué)生的學(xué)習(xí)主要依賴于生活經(jīng)驗，該經(jīng)驗就是只有“去掉”、才有“剩下”，這是存在于他們腦海中的事情發(fā)生的經(jīng)過，在他們上幼兒園甚至更早，大人就利用這個經(jīng)驗向他們滲透了減法的第一個意義。而此年齡段的學(xué)生的思維是以順向思維為主的，在他們的記憶中，“總數(shù)-去掉的=剩余的”的數(shù)量關(guān)系是如此熟悉，以至于對它絕對信任。

四、干預(yù)策略

（一）確定教學(xué)方法，幫助學(xué)生掌握問題解決的方法建模

圖8

對于如何引導(dǎo)學(xué)生看圖、說圖、理解題意，教師可是“八仙過海，各顯神通”。缺少了主流的教學(xué)方法，這給學(xué)生的解題方法的建模帶來了一定的困難。而人教版教材（2012年版）對問題解決這一類知識提出了比較規(guī)范的要求。如圖8，在步驟方面，通過“你知道了什么”“怎樣解答”“解答正確嗎”加以引導(dǎo)；在圖意表達上，教材用類似“左邊□只，右邊□只，一共有幾只”等語句填空的形式來幫助學(xué)生形成 “兩個條件和一個問題”的規(guī)范的基本表達形式；在方法上，用類似“求一共有幾只，要把兩部分合起來，怎樣計算”的語言加以提示。使學(xué)生對集合圈的圖式有個整體的感知，將兩部分合起來是加法的運算意義，告之學(xué)生基本的數(shù)量關(guān)系。教材這樣對解決問題的步驟、圖意表達及方法有了較明確的提示，使教師教有所依、學(xué)生學(xué)有所依。

（二）借助情境，促進學(xué)生自主建構(gòu)問題模型

從對學(xué)生訪談得到的數(shù)據(jù)中可以看到：由于學(xué)生的思維尚處在“前運算階段”，對于問題情境有特別的敏感性與依存性，所以展示合適的且豐富的問題情境，有利于學(xué)生對問題的解決。但同時發(fā)現(xiàn)，僅是通過對具體情境的感知，不利于學(xué)生對問題數(shù)量關(guān)系的識別，需要通過教學(xué)進行對比分析，才能幫助學(xué)生認(rèn)清問題的實質(zhì)。這從更深層次上看，教師在提供問題情境、幫助學(xué)生理解問題本質(zhì)的同時，更應(yīng)幫助學(xué)生摒棄具體描述（如那個量是指“剩下的”之類），從更一般意思上理解總數(shù)與部分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系，即促進學(xué)生自主建構(gòu)問題模型。

（三）增強學(xué)生主動反思的能力

在對教師的調(diào)查中，筆者發(fā)現(xiàn)，教師在解題步驟設(shè)計中缺少檢驗的環(huán)節(jié)。有些學(xué)生會看圖，會表達圖意，會列式，但卻無法做到圖—文—式之間的一一對應(yīng)。對此，筆者認(rèn)為，可以用口答進行彌補。剛開始，筆者是用師生分角色方法進行互答。在列式解答后，筆者問：吃了幾個？生答：吃了4個。然后讓學(xué)生檢查算式中的4是否為得數(shù)，以增強圖—文—式之間的聯(lián)系。如果這是筆者的一點不成熟的做法，那么慶幸的是人教版教材（2012年版）在解題步驟的最后一步中有了更明確的提示：我的答案正確嗎？這個提示對教師來說，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的檢驗習(xí)慣，更是喚起學(xué)生對整個思考過程的回憶，包括“還有沒有其他的方法？在這些解題的過程中，最大的困難是什么？錯了后，我是如何改正的？為什么這么改？……”看似簡單的一句話，卻能引導(dǎo)學(xué)生進行反思。

（四）增強教師改編教材的能力

筆者認(rèn)為，改編教材應(yīng)遵循為同一教學(xué)目標(biāo)服務(wù)的原則，不能隨意拔高教學(xué)目標(biāo)。編制不同的練習(xí)題，是以增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高他們的思維靈活性為目的的。通過調(diào)查可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生之所以嚴(yán)重受“去掉模式”的影響，是因為這類題“換湯不換藥”，重復(fù)、機械的練習(xí)過多而導(dǎo)致的。通過翻閱2012年版第一冊教材，對于類似圖9的應(yīng)用問題較舊教材有了增加，但筆者很遺憾地發(fā)現(xiàn)，類似于圖10的應(yīng)用問題，教材中還是沒有出現(xiàn)，因此，需要教師在教學(xué)中靈活地進行補充，做到一題多改，多練不如精練，以增強習(xí)題間的變異性與對比性。

圖9

圖10

圖11

很高興地看到，在調(diào)查問卷中，有一位教師直接在例題上改變問題，把問號移到別的地方，進行了對比練習(xí)，如圖11。

當(dāng)然，對于不同的學(xué)生，他們的接受能力是不同的，有的學(xué)生的逆向思維能力比較差，要求他們將互逆的量之間進行相互轉(zhuǎn)換，更是難上加難。因此，教師在教學(xué)中需要反思，更需要靜心等待。

（浙江省諸暨市實驗小學(xué)教育集團 311811）